【专题训练】专题资料:抛物线专项综合测试题(含答案)


专题资料:抛物线专项综合测试题(含答案)
1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 P ( m,?3) 到焦点的距离为 5,则抛物线方程为 ( A. x 2 ? 8 y B. x 2 ? 4 y C. x 2 ? ?4 y D. x 2 ? ?8 y 2.抛物线 y 2 ? 12x 截直线 y ? 2 x ? 1 所得弦长等于 ( A. 15 B. 2 15 C. 15
2



) D.15

3.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是 ( ) 4 4 9 9 A. x 2 ? ? y 或 y 2 ? x B. y 2 ? ? x 或 x 2 ? y C. x 2 ? 4 y D. y 2 ? ? 9 x 3 3 2 3 2 2 2 4.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上有 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C ( x3 , y3 ) 三点, F 是它的焦点,若 AF , BF , CF 成等差数列, 则( ) A. x1 , x 2 , x 3 成等差数列 时点 P 的坐标是 ( A. (0,0)
2

B. x1 , x 3 , x 2 成等差数列 )

C. y1 , y 2 , y3 成等差数列

D. y1 , y3 , y 2 成等差数列

5.若点 A 的坐标为(3,2) , F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 P 是抛物线上的一动点,则 PA ? PB 取得最小值 B. (1,1) C. (2,2)
1 D. ( ,1) 2

6.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 AB 的两端点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则关系式 等于 ( A.4 ) B.-4 C.p
2

y1 y 2

x1 x 2 的值一定

D.-p

2 7. 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P, Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p, q , 则

1 1 ? = p q



) A. 2a
2

B. 1

2a

C. 4a

D. 4
a

8 . 若 AB 为 抛 物 线 y =2px (p>0) 的 动 弦 , 且 |AB|=a (a>2p) , 则 AB 的 中 点 M 到 y 轴 的 最 近 距 离 是 ( )

a? p 2 9.已知圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 ,与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线相切,则 p ?
A.

a 2

B.

p 2

C.

a? p 2

D.

. .

2 10.如果过两点 A(a, 0) 和 B(0, a) 的直线与抛物线 y ? x ? 2 x ? 3 没有交点,那么实数 a 的取值范围是 2

11.已知点 A(2,8) ,B(x1,y1) ,C(x2,y2)在抛物线 y ? 2 px 上,△ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合 (如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程.

2 12.已知抛物线 y ? ax ? 1 上恒有关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点,求 a 的取值范围.

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13. 抛物线 x =4y 的焦点为 F, 过点(0, -1)作直线 L 交抛物线 A、 B 两点, 再以 AF、 BF 为邻边作平行四边形 FARB, 试求动点 R 的轨迹方程.

2

14.抛物线方程为 y =p(x+1)(p>0),直线 x+y=m 与 x 轴的交点在抛物线准线的右边。 (1)求证:直线与抛物线总有两个交点。 (2)设直线与抛物线的交点为 Q,P,且 OQ ? OP ,求 P 关于的函数 f ( m) 的表达式。

2

(3) 在 (2) 的条件下, 若 m 变化, 使得原点 O 到直线 QP 的距离不大于

2 , 求 P 的取值范围。 2

15.已知抛物线 y =4ax(0<a<1=的焦点为 F,以 A(a+4,0)为圆心,|AF|为半径在 x 轴上方作半圆交抛物线于 不同的两点 M 和 N,设 P 为线段 MN 的中点. (1)求|MF|+|NF|的值; (2)是否存在这样的 a 值,使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列?如存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由.

2

16.如图, 直线 y=

1 1 x 与抛物线 y= x2-4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与直线 y=-5 交于 Q 点. 8 2

(1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方 (含 A、B)的动点时, 求Δ OPQ 面积的最大值.

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参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 B 7 C 8 D 答案 D A B A C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 9. 2 10. (?? , ? 13 ) 4 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分)

11.[解析]: (1)由点 A(2,8)在抛物线 y 2 ? 2 px 上,有 8 2 ? 2 p ? 2 , 解得 p=16. 所以抛物线方程为 y 2 ? 32x ,焦点 F 的坐标为(8,0). (2)如图,由于 F(8,0)是△ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的 AF 定比分点,且 ? 2 ,设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 FM
2 ? 2x0 8 ? 2 y0 ? 8, ? 0 ,解得 x0 ? 11, y0 ? ?4 , 1? 2 1? 2

所以点 M 的坐标为(11,-4) . (3)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在 的直线不垂直于 x 轴.设 BC 所在直线的方程为: y ? 4 ? k ( x ? 11)(k ? 0). 由 ? y ? 4 ? k ( x ? 11), 消 x 得 ky 2 ? 32y ? 32(11k ? 4) ? 0 ,
? 2 ? y ? 32x

所以 y1 ? y 2 ? 32 ,由(2)的结论得 y1 ? y 2 ? ?4 ,解得 k ? ?4.
k

2

因此 BC 所在直线的方程为: 4 x ? y ? 40 ? 0. 2 12.[解析]:设在抛物线 y=ax -1 上关于直线 x+y=0 对称的相异两点为 P(x,y),Q(-y,-x),则
2 ? ? y ? ax ? 1 ① ? 2 ? ?? x ? ay ? 1 ② ,由①-②得 x+y=a(x+y)(x-y),∵P、Q 为相异两点,∴x+y≠0,又 a≠0,

∴x? y?

1 1 3 2 2 2 2 , 即y ? x ? ,代入②得 a x -ax-a+1=0,其判别式△=a -4a (1-a)>0,解得 a ? . 4 a a

x y ?1 2 13.[解析]:设 R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形 FARB 的中心为 C ( , ) ,L:y=kx-1,代入抛物线方程得 x - 2 2 2 4kx+4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=4,且△=16k -16>0,即|k|>1 ①,
x1 2 ? x 2 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ? ? 4k 2 ? 2 ,∵C 为 AB 的中点. 4 4 x x2 ? x2 ? ? 2k 2 ∴ 2 y ?1 y2 ? y2 ? ? 2k 2 ? 1 2 2 x ? 4k 2 ? y1 ? y 2 ?

?

y ? 4k ? 3

2

,消去 k 得 x =4(y+3),由① 得, x ? 4 ,故动点 R 的轨迹方程为 x =4(y+3)( x ? 4 ).

2

14.(2) p ? f (m) ?

1 m2 (m ? ?2) (3) m ? [?1, 0), p ? (0,1]; m ? (0,1], p ? (0, ] 3 m?2
y 2 ? 4ax ( x ? a ? 4) 2 ? y 2 ? 16

15. (14 分)[解析]: (1)F(a,0),设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), P( x 0 , y 0 ) ,由

? ? ? 0,? x1 ? x 2 ? 2(4 ? a) , MF ? NF ? ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? 8 (2)假设存在 a 值, ? x 2 ? 2(a ? 4) x ? (a 2 ? 8a) ? 0 ,

使的

MF , PF , NF
2

成等差数列,即 2 PF ? MF ? NF ? PF ? 4
2 2

x0 ? 4 ? a

( x0 ? a) 2 ? y0 ? 16 ? (4 ? 2a) 2 ? y0 ? 16 ? y0 ? 16a ? 4a 2 y0
2

y ? y 2 2 y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ?( 1 ) ? 2 4
第 3 页

2

2

?

4ax1 ? 4ax2 ? 2 4ax1 4ax2 4

? a( x1 ? x2 ) ? 2a x1 x2 = 2a(4 ? a) ? 2a a 2 ? 8a ?

2a(4 ? a) ? 2a a 2 ? 8a ? 16a ? 4a 2 ? a ? 1
?? ? 0 ?x ? x ? 0 2 ? 1 ?x x ? 0 ? 0 ? a ? 1 ? 1 2 ?y 2 ? 0 ? 0

矛盾.

∴假设不成立.即不存在 a 值,使的 或解:

MF , PF , NF

成等差数列.

PF ? 4

x0 ? 4 ? a ? x0 ? a ? 4
y?

知点 P 在抛物线上. 矛盾.

1 x x ? ?4 x ?8 2 16. 【解】(1) 解方程组 得 1 或 2 y ? ? 2 y2 ? 4 1 1 y ? x2 ? 4 8

即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB== y-1=

1 ,直线 AB 的垂直平分线方程 2

1 (x-2). 令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5). 2 1 2 (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x, x -4).∵点 P 到直线 OQ 的距离 8
1 x ? x2 ? 4 8 d= = 1 x 2 ? 8 x ? 32 , OQ ? 5 2 ,∴SΔ OPQ= 1 OQ d = 5 x 2 ? 8 x ? 32 . 2 16 8 2 2

∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, ∴-4≤x<4 3 -4 或 4 3 -4<x≤8. 2 ∵函数 y=x +8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, ∴当 x=8 时, Δ OPQ 的面积取到最大值 30.

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