河南省新县高级中学2013届高三数学第三轮适应性考试试题 理 新人教A版


新县高级中学 2013 届高三第三轮适应性考试数学(理)试题
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

2i 2 ) 1.复数 1 ? i (其中 i 为虚数单位)的虚部等于 (
A. ? i B. ? 1 C. 1 D. 0

(

)

? ? A ? ? x | log 1 ? 2 x ? 1? ? 0 ? ? 2 ? ,则 CR A ?( 2. 若全集为实数集 R , 集合



1 ( , ??) A. 2 B. (1, ??)

1 [0, ] ? [1, ??) 2 C.

1 (??, ] ? [1, ??) 2 D
)

3.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 10 3 ,则 h ? (

3 A. 2

B. 3

C.3

3

D.5

3
( )

4.阅读下面程序框图,则输出结果 s 的值为

1 A. 2

3 B. 2

C. ? 3

D. 3
2

5 . 已 知 某 次 月 考 的 数 学 考 试 成 绩 ? ~ N 90, ?

?

?(? ? 0) , 统 计 结 果 显 示

p?70 ? ? ? 110 ? ? 0.6 ,则 P?? ? 70 ? ? (
A. 0.2 B. 0.3

) D. 0.5

C. 0 . 1

1

? ? 2 1 ? x ? ? ? ? 2 x ? 展开式的中间项,若 f ( x) ? mx 在区间 ? 6.设 f ( x ) 是 ? 数 m 的取值范围是 ( )

6

? 2 , 2? 2 ? 上 恒成立,则实

? ??,5?
7. 函数

B.

? ??,5?

C.

?5, ???
? ? ?
,

(第 4 题)

D. ?5,???

y ? 2cos ?? x ? ? ??? ? 0 ?



? ? ?? ?? , ? 2 在区间 ? 3 6 ? 上单调递增, 且函数值从 ?2
( )

增大到 2 ,那么函数图像与 y 轴交点的纵坐标为

A. 1

B.

2

C.

3

D.

6? 2 2

xf ?( x) ? f ( x) ?0 f ? x? f ? 2? ? 0 x2 8. 设 是定义在 R 上的奇函数, 且 ,当 x ? 0 时, 有 恒成立,
则不等式 x f ( x) ? 0 的解集是
2

( B.



A. C.

? ?2, 0 ? ? ? 2, ?? ? ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ?
? ? a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 )

? ?2, 0 ? ? ? 0, 2 ? ? ??, ?2 ? ? ? 0, 2 ?

D.

9. 已知向量

x1 ? y1 ? ? ? ? x ? y2 的值为( ,若 | a |? 2,| b | ? 3, a ? b ? ?6, 则 2



2 A. 3

5 B. 6

2 C. 3 ?

5 D. 6 ?

10. 点 A、B、C、D 在同一个球的球面, AB ? BC ?

2 , AC ? 2 ,若四面体 ABCD 体积

2 的最大值为 3 ,则这个球的表面积为 125? 6 A.
B. 8?





25? C. 4

25? D. 16

a11 ? ?1 {a n } S a 10 11.已知数列 为等差数列,若 ,且它们的前 n 项和 n 有最大值,则使
Sn ? 0
A. 19 的 n 的最大值为 B. 11 C. 20 D. 21 ( )

12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为

F1、F2

,且两条曲线
2

在第一象限的交点为 P , 曲线的离心率分别为

? PF1F2
,则

是以

PF1

为底边的等腰三角形,若

PF1 ? 10

,椭圆与双 ( )

e1



e2

e1e2 ? 1

的取值范围是

A. (1, ?? )

4 B. ( 3 , ?? )

6 C. ( 5 , ?? )

10 D. ( 9 ,+ ? )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案答在指定的位置上)

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? ? ? y ? ax ? 1 ? 0 2 a ? ?? cos xdx ? x?2 6 13.已知 ,若 x、y 满足不等式组 ? , 则 z ? ?2 x ? y 的取值范
围是 . 14.将甲、乙、丙 3 名志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参 加一天且每天至多安排一人, 并要求甲安排在乙、 丙的前面, 则不同的安排方法共有 种.

1 ? x2
15.若方程 x ? a

?1 ? 0

仅有一解,则实数 a 的取值范围上 1 2 3 4 7 4 7 2 3



16.如右图,它满足: (1)第 n 行首尾两数均为 n ; (2)表中的递推关系类似杨辉三角, 则第 n 行

? n ? 2?

第 2 个数是

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.)

4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6

? ?? ? f ? ? ? ? f ? 0? f ( x) ? cos x(? sin x ? cos x) ? cos2 ( ? x) 2 17.( 12 分)设 ? ? R , 满足 ? 3 ? .
(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;
a2 ? c2 ? b2 c ? 2 2 2 a , b , c A , B , C 2a ? c , (2) 设 ?ABC 三内角 所对边分别为 且a ?b ?c 求 f ( x) 在

?0, B?上的值域.
18. (12 分)某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间 T (单位:年)有关,若

T ? 1 ,则销售利润为 0 元;若 1 ? T ? 3 , 则销售利润为 100 元, 若 T ? 3 ,则销售利润为 200
元.设每台该种电器的无故障使用时间 T ? 1 ,1 ? T ? 3 , T ? 3 这三种情况发生的概率分别 为

P 1, P 2, P 3

,又知

P 1, P 2

2 P ? P3 为方程 25x ? 15x ? a ? 0 的两根,且 2 .

3

(1)求

P 1, P 2, P 3

的值;

(2)记 ? 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求 ? 的分布列及数学期望.

19. (12 分)如图所示的几何体中,四边形 PDCE 为矩形, ABCD 为直角梯形,且 ?BAD = ?ADC = 90°,平面 PDCE ? 平面

ABCD ,

AB ? AD ?

1 2 , PD ? 2

(1)若 M 为 PA 的中点,求证: AC ? 平面 MDE ; (2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小.

P ? 2,1? 20. (12 分)如图,已知直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相切于点 ,且与 x 轴交于点 A ,O
2

为坐标原点,定点 B 的坐标为 (1) 若动点 M 满足

? 2, 0 ? .
,求点 M 的轨迹 C ; 不

??? ? ???? ? ???? ? AB ? BM ? 2 AM ? 0
'

(2) 若过点 B 的直线 l(斜率不等于零) 与 (1) 中的轨迹 C 交于

同的两点 E、F ( E 在 B、F 之间) ,试求△OBE 与△OBF 面积之比的 取值范围.

21.(12 分)已知函数 f ( x) ? ax sin x ? cos x ,且 f ( x) 在 (1)求 a 的值,并讨论 f ( x) 在 [?? , ? ] 上的单调性;

x?

?

2 ? 4 处的切线斜率为 8 .

g ( x) ? 1n(mx ? 1) ?
(2)设函数

1? x ,x ?0 xi ? ? 0, ?? ? 1? x ,其中 m ? 0 ,若对任意的 总存
g ( xi ) ? f ( x j )



? ?? x j ? ? 0, ? ? 2?



使











m









4

围. 22.(10 分)如图,四边形 ACED 是圆内接四边形,延长 AD 与的延长线 CE 交于点 B ,且

AD ? DE , AB ? 2 AC .
(1)求证: BE ? 2 AD ; (2)当 AC ? 2, BC ? 4 时,求 AD 的长. 24. (10 分)函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | (1)画出函数 y ? f ( x) 的图象; (2)若不等式 | a ? b | ? | a ? b |?| a | f ( x)(a ? 0, a, b ? R) 恒成立,求实数 x 的范围.

5

2013-05-14 理科数学三考答案: 1—6 BDBDAD 7—12

ADCCAB

? 2? ? ? ? ? ? ? a ? ? b, 3 9.C 解析:∵ | a |? 2,| b |? 3, a ? b ? ?6, ∴向量 a 与 b 平行,且
x1 ? y1 x1 y1 2 ? ? ?? x ? y2 x2 y2 3 ?ABC 是直角三角形, 10. C ∵ AB ? BC ? 2, AC ? 2 ,∴ 2
∴ ?ABC 的外接圆的圆心是边 AC 的中点 O1,如图所示,若使四面体 ABCD 体积的最大值 只需使点 D 到平面 ABC 的距离最大,又 设球的半径为 R,则由体积公式有:

OO1 ?

平面 ABC,所以点 D 是直线

OO1

与球的交点
2

O1 D ? 2



Rt ?AOO1

中, R ? 1 ? (2 ? R) ,
2

R?
解得:

5 4

S球O的表面积 ?

25? 4 ,故选 C
n2 ? n ? 2 2 16、

13、 [?6,?1]

14、 20

15、

2ac cos B c a2 ? c2 ? b2 c ? ? 2 2 2 2a ? c ,由余弦定理可变形为 2ab cos C 2a ? c ,由正弦定理为 (2)? a ? b ? c

cos B ?

1 ? ?B? 2 3

x ? (0, ] ? ? ? 2 x ? ? 3 6 6 2 ? f ( x) ? (?1,2]

?

?

?

?

18. 解: (Ⅰ)由已知得 :

?P 1?P 2 ?P 3 ?1 ? 3 ? ?P 1?P 2 ? 5 ? ? ? P2 ? P3

………12 分

解得:

=

,

=

,

=

.

(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,100,200,300,400.
6

1 1 1 P( ? =0)= 5 ? 5 = 25 1 2 2 2 8 ? P( =200)= 2 ? 5 ? 5 + 5 ? 5 = 25

1 2 4 P( ? =100)= 2 ? 5 ? 5 = 25

2 2 8 ? P( =300)= 2 ? 5 ? 5 = 25

2 2 4 P( ? =400)= 5 ? 5 = 25
随机变量 ? 的分布列为

?
p

0

100

200

300

400

1 25

4 25

8 25

8 25

4 25

1 4 8 8 4 ? 所求的数学期望为 E =0 ? 25 +100 ? 25 +200 ? 25 +300 ? 25 +400 ? 25 =240(元)
19. (Ⅰ)证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN ,

?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中点 ,

∴ MN // AC .………2 分

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE . …………4 分 (Ⅱ)解:设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原点,分 别以 DA, DC, DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则

P(0,0, 2 ), B(1,1,0), C (0,2,0) , PB ? (1,1,? 2 ), BC ? (?1,1,0) .

?? n1 ? (0,1, 0) n 1 PAD 设平面 的单位法向量为 则可设 . ……………………………7 分 ?? ? n ? ( x, y,1) 设面 PBC 的法向量 2 ,应有

? ?n2 ? PB ? ( x, y,1) ? (1,1,? 2 ) ? 0, ? ? ?n2 ? BC ? ( x, y,1) ? (?1,1,0) ? 0.
? x ? y ? 2 ? 0, ? ? x ? y ? 0. 即: ?

? 2 ?x ? ? 2 ? ?? ? 2 2 ?y ? 2 n , ,1) 2 ?( ? 2 ,所以 2 2 解得: ? .……………………………10 分

7

2 n ?n 1 cos? ? 1 2 ? 2 ? 2 2 n1 n2

,?? ? 60 . .……………………………12 分
?

(II)如图,由题意知直线 l 的斜率存在且不为零,设 l 方程为 y=k(x-2)(k≠0)①

x2 ? y2 ? 1 将①代入 2 ,整理,得
(2k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 ,

1 由△>0 得 0<k2< 2 .

设 E(x1,y1),F(x2,y2)

? 8k 2 , ? x1 ? x2 ? ? 2k 2 ? 1 ? 8k 2 ? 2 ? x x ? . 1 2 ? 2k 2 ? 1 则?

??

???? ?

② 令 x1 ? 2 BE ? ? ? BF , ? ? , 且0 ? ? ? 1. x2 ? 2
???? ?

S ?OBE | BE | , 则? ? S ?OBF | BF | ,由此可得

由②知

( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ?

?4 , 2k 2 ?1
2 2k ? 1
2

(x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ?
?

.

? 2k 2 ? 1 4? 1 ? ,即k 2 ? ? 2 8 (1 ? ? ) (1 ? ? )2 2

?0 ? k 2 ?

1 4 ? ? 1? 1 , 解得 ? ? , 0 ? 3 2 (1 ?? 2 ) 2 2 又?0 ? ? ? 1, ? 3 ? 2 ? 2? ? 1

2 ?2 ?? ?3

2 2.

∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是(3-2 2 , 1)

8

x ? [0, ] 2 时, f ( x) 单调递增, (Ⅱ)当


?

f ( x)min ? f (0) ? 1

则依题 g ( x) ? 1在

x ? ? 0, ?? ?

上恒成立

m?2 ) m g ?( x) ? , ( x ? 0, m ? 0) (mx ? 1)( x ? 1) 2 m( x 2 ?
m?2 ?0 ? 0, ?? ? 上恒成立,即 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递 ? ①当 m ? 2 时, m ,∴ g ( x) ? 0 在
增,又 g (0) ? 1 ,所以 g ( x) ? 1在

x ? ? 0, ?? ?

上恒成立,即 m ? 2 时成立

②当 0 ? m ? 2 时,当

x ? (0,

2?m ) m 时, g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 单调递减,

∴ g ( x) ? g (0) ? 1 ,故 0 ? m ? 2 时不成立,综上 m ? 2 22 解:(Ⅰ) 因为四边形 ACED 为圆的内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, ………(1 分)

BE DE ? 又 ?DBE ? ?CBA, 所以△BDE ∽△BCA ,则 BA CA .…………………………(3 分)
而 AB ? 2 AC , 所以 BE ? 2DE .………………………………………………………… (4 分) 又 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD. …………………………………………………………(5 分) (Ⅱ)由条件得 AB ? 2 AC ? 4 .…………………………………………………………(6 分)

9

设 AD ? t ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,即 ( AB ? AD) ? BA ? 2 AD ? 4,

所以 (4 ? t ) ? 4 ? 2t ? 4 ,解得

t?

4 4 AD ? 3 ,即 3 .…………………………………(10 分)

10


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