三角函数公式典型例题大全


高中三角函数公式大全以及典型例题
2009 年 07 月 12 日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tanA ? tanB tan(A+B) = 1 - tanAtanB tanA ? tanB tan(A-B) = 1 ? tanAtanB cotAcotB - 1 cot(A+B) = cotB ? cotA cotAcotB ? 1 cot(A-B) = cotB ? cotA 倍角公式 2tanA tan2A = 1 ? tan 2 A Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA ? ? tan3a = tana·tan( +a)·tan( -a) 3 3 半角公式 sin(
A 1 ? cos A )= 2 2 A 1 ? cos A )= 2 1 ? cosA

cos(

A 1 ? cos A )= 2 2 A 1 ? cos A )= 2 1 ? cosA

tan( tan(

cot(

A 1 ? cos A sin A )= = 2 sin A 1 ? cos A 和差化积 a?b a?b sina+sinb=2sin cos 2 2 a?b a?b cosa+cosb = 2cos cos 2 2 sin( a ? b) tana+tanb= cos a cos b

a?b a?b sin 2 2 a?b a?b cosa-cosb = -2sin sin 2 2

sina-sinb=2cos

积化和差
1 1 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 2 1 1 sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2 2 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa

sinasinb = -

? ? -a) = cosa cos( -a) = sina 2 2 ? ? sin( +a) = cosa cos( +a) = -sina 2 2 sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa
sin( tgA=tanA = 万能公式
sin a cos a

a 2 sina= a 1 ? (tan ) 2 2 a 2 tan 2 tana= a 1 ? (tan ) 2 2 其它公式 2 tan

a 1 ? (tan ) 2 2 cosa= a 2 1 ? (tan ) 2

a?sina+b?cosa= (a 2 ? b 2 ) ×sin(a+c) [其中 tanc= a?sin(a)-b?cos(a) = 1+sin(a) =(sin

b ] a a ] b

(a 2 ? b 2 ) ×cos(a-c) [其中 tan(c)=

a a a a +cos )2 1-sin(a) = (sin -cos )2 2 2 2 2 其他非重点三角函数 1 1 csc(a) = sec(a) = cos a sin a 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二: 设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系:

sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六: 3? ? ±α 及 ±α 与 α 的三角函数值之间的关系: 2 2 ? ? ? ? sin ( +α) = cosα cos ( +α) = -sinα tan ( +α) = -cotα cot ( +α) = -tanα 2 2 2 2 ? ? ? ? sin( -α)= cosα cos( -α)= sinα tan( -α)= cotα cot( -α)= tanα 2 2 2 2 3? 3? 3? sin( +α)= -cosα cos( +α)= sinα tan( +α)= -cotα 2 2 2 3? 3? 3? cot( +α)= -tanα sin( -α)= -cosα cos( -α)= -sinα 2 2 2 3? 3? tan( -α)= cotα cot( -α)= tanα 2 2 (以上 k∈Z) 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 正切定理: [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 三角函数 积化和差 和差化积公式

记不住就自己推,用两角和差的正余弦: 3.三角形中的一些结论:(不要求记忆) (1)tanA+tanB+tanC=tanA· tanB· tanC (2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)· sin(B/2)· sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA· sinB· sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ........................... 已知 sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证 tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 解:sinα=m sin(α+2β) sin(a+β-β)=msin(a+β+β) sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

三角函数典型例题
1 .设锐角 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A .

(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.
【解析】:(Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

1 , 2

由 ?ABC 为锐角三角形得 B ?

π . 6

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?
2 .在 ?ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C.

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? ? sin A,cos 2 A? ,n ? ? 4k,1?? k ? 1? , 且 m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.
【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,
2

??

?

?? ?

∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C. 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB

0

0

7

0

3

1

6

=sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA. ∵0<A<π,∴sinA≠0. ∴cosB=

1 . 2

∵0<B<π,∴B=

? . 3
2? ) 3

(II) m ? n =4ksinA+cos2A. =-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0, 设 sinA=t,则 t∈ (0,1] . 则 m ? n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈ (0,1] . ∵k>1,∴t=1 时, m ? n 取最大值. 依题意得,-2+4k+1=5,∴k=

?? ?

?? ?

?? ?

3 . 2

3 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c , sin

A? B C ? sin ? 2 . 2 2

I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值.
【解析】:I. sin

? ?C
2

? sin

?

C ? ? ? ? ? 即C ? ,所以此三角形为直角三角形. 2 4 2 2

C C C C ? ? cos ? sin ? 2 sin( ? ) 2 2 2 2 4

II. 16 ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? 2 ab ? 2ab , ? ab ? 64(2 ? 2 ) 2 当且仅当 a ? b 时取 等号, 此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 .
4 .在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A. B.C 的对边,C=2A, cos A ?

?

?

3 , 4

(1)求 cosC , cos B 的值; (2)若 BA ? BC ?

27 ,求边 AC 的长? 2
2

【解析】:(1) cos C ? cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? 2 ?

9 1 ?1 ? 16 8

1 3 7 3 7 由cosC ? , 得 sin C ? ;由cos A ? , 得 sin A ? 8 8 4 4 ? cos B ? ? cos? A ? C ? ? sin A sin C ? cos A cosC ? 7 3 7 3 1 9 ? ? ? ? 4 8 4 8 16

27 27 ,? ac cos B ? ,? ac ? 24 ① 2 2 a c 3 ? , C ? 2 A,? c ? 2a cos A ? a 又 ② sin A sin C 2
(2) BA ? BC ? 由①②解得 a=4,c=6

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 16 ? 36 ? 48 ?
? b ? 5 ,即 AC 边的长为 5.

9 ? 25 16

2 5 .已知在 ?ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x

? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.

(Ⅰ)求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ)若 AB ? 5 ,求 BC 的长.
【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程 x
2

? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 .

∴ tan( A ? B) ?

tan A ? tan B 2?3 ? ? ?1 1 ? tan A tan B 1 ? 2 ? 3
?

(Ⅱ)∵ A ? B ? C ? 180 ,∴ C ? 180? ? ( A ? B) . 由(Ⅰ)知, tanC ? ? tan(A ? B) ? 1 ,

∵ C 为三角形的内角,∴ sin C ?

2 2
3 , 10

∵ tan A ? 3 , A 为三角形的内角,∴ sin A ?

由正弦定理得: ∴ BC ?

AB BC ? sin C sin A

5 3 ? ?3 5. 2 10 2
B . C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 向 量
2

6 . 在 ?ABC 中 , 已 知 内 角 A .

? m ? 2 s iB n ?,

?

? ? n ? ? cos 2 B, 2cos ? ,3 ?

? ? B ? ? 1? ,且 m / / n ? 2 ?

(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值?
【解析】:(1) m / / n ?

?

?

B 2sinB(2cos2 -1)=- 3cos2B 2

?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3

2π π ∵0<2B<π,∴2B= ,∴锐角 B= 3 3 (2)由 tan2B=- 3 π 5π ? B= 或 3 6

π ①当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ∵△ABC 的面积 S△ ABC= 1 3 acsinB= ac≤ 3 2 4

∴△ABC 的面积最大值为 3 5π ②当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ac≤4(2- 3) ∵△ABC 的面积 S△ ABC= 1 1 acsinB= ac≤ 2- 3 2 4

∴△ABC 的面积最大值为 2- 3
7 .在 ?ABC 中,角 A. B.C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?
2 2 2

1 ac. 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; 2
1 4

(2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.
【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=

sin 2

1 A?C +cos2B= ? 4 2

(2)由 cos B ?

1 15 , 得 sin B ? . ∵b=2, 4 4
8

a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,
2

2

1

15 1 S△ ABC= acsinB≤ (a=c 时取等号) 2 3

故 S△ ABC 的最大值为

15 3

sin( ? ? ) 4 8 .已知 tan? ? a, (a ? 1) ,求 ? tan 2? 的值? ? sin( ? ? ) 2
【解析】

?

2a ; 1? a


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