3.2.2函数模型的应用实例导学案


3.2.2 函数模型的应用实例导学案
【学习目标】 1. 通过例题中汽车的行驶规律认识一次函数、分段函数的应用,提高读图能力. 2. 通过马尔萨斯的人口增长模型学会指数函数的应用,了解函数模型在生活中的作用. 【重点难点】 1.分段函数和指数函数的应用. 2.体会解决实际问题中建立函数模型的过程. 【学法指导】 自主探索与合作交流相结合. 【知识链接】 基本初等函数图象、分段函数及建模思想. 【学习过程】

一、预习自学
1. 我已学习过的几种函数: (在横线上依次填出相应函数解析式) 一次函数 ,二次函数 ,指数函数 , 对数函数 ___ ,幂函数 . 它们与现实世界有密切的联系,在生活中有广泛的应用. 2. 邮局规定,邮寄包裹,在 5 千克内每千克 5 元,超过 5 千克的超出部分按每千克 3 元 收费,邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为__ __.

3. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售单价 与日均销售量的关系如表所示(课本 104 页) : 销售单价(元) 日均销售量(桶) 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240

思考 1:你能看出表中的数据有什么变化规律?

思考 2:假设每桶水在进价的基础上增加 x 元,则日均销售量为多少?

思考 3:假设日均销售利润为 y 元,那么 y 与 x 的关系如何?

思考 4:上述关系表明,日均销售利润 y 元是 x 的函数,那么这个函数的定义域是什么?

思考 5:这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

1

二、新知探求
例 2.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数 为 2004 km 200,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 skm 与时间 th 的函数解析式,并作出相应的图象.(课本 P102)
v /(km ?h -1)

90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5

t/h

从这个练习我们看到: (ⅰ)在解决实际问题的过程中, ______能够发挥很大的作用, 因此,我们应当注意提高读图的能力. (ⅱ)在本题中我们用到了分段函数,由此我们也知道, 也是刻画现实问题的重要 模型. (ⅲ)大家在运用分段函数的时候要注意它的 . 那么我们该如何解函数的应用问题呢? 【背景材料】 人口问题是当今世界各国普通关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增 长提供依据.早在 1798 年, 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型: y ? y0 e rt , 其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t ? 0 时的人口数, r 表示人口的年平均增长率. 例 3、下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (人数单位:万人) 年份 人数 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 58796 1954 60266 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207

(1) 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) , 请用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人 口数据是否相符; (2)如果按此表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到 13 亿?(课本 p103)

2

从以上的例子可以看到,用已知的函数模型刻画实际问题的时候,由于实际问题的条件与得 出已知模型的条件有所不同,因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的 .因此, 往往需要对模型进行 .

三、归纳小结
解函数的应用问题,一般地可按以下四步进行: 第一步: 第二步: 第三步: 第四步:

四、课堂检测
1.、某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加,若在某个时刻这种细菌的个数为 200 个, 按照每小时成倍增长,如下表: 时间(小时) 细菌数(个) 0 200 1 400 2 800 3 1600

问:实验开始后 5 小时细菌的个数是多少? 2、下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图像写出一件事. ① 我离开家不久,发现自己把作业忘在家里,于是返回家里找到作业再上学. ② 我骑车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间. ③ 我出发后,心情轻松,缓慢行进,后来为了赶时间开始加速. ④ ________ .

0

(1)

0

( 2)

0

(3)

0

( 4)

3、在一定范围内,某种产品的购买量为 yt ,与单价 x 元之间满足一次函数关系,如果购买 1000 t , 每吨为 800 元,如果购买 2000 t ,每吨为 700 元,一客户购买 400 t ,单价应该为 ( A.820 元 B.840 元 C.860 元 D.880 元
3

)

五.学后反思
这节课学习的内容是什么?你掌握了吗? 你能说出解应用题的步骤和应注意的地方吗? 读 图和用图的能力是否得到提高了呢? 你知道如何建模了吗? 你还有其它困惑吗?

六.课外作业
1、以半径为 R 的半圆上任一点 P 为顶点,以直径 AB 为底边的 ?PAB 的面积 S 与高 PD ? x 的函 数关系式是( ) A. S ? Rx B. S ? 2Rx( x ? 0) C. S ? Rx(0 ? x ? R) D. S ? ?x 2 (0 ? x ? R)

2、一等腰三角形的周长是 20,则其底边长 y 关于其腰长 x 的函数关系式是( ) A. y ? 20 ? 2 x( x ? 10) C. y ? 20 ? 2 x(5 ? x ? 10) B. y ? 20 ? 2 x( x ? 10) D. y ? 20 ? 2 x(0 ? x ? 10)

3、在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况 由微机记录后显示出的图象如右图所示,现给出下面说法: ① 前 5 分钟温度增加的速度越来越快; ② 前 5 分钟温度增加的速度越来越慢; ③ 5 分钟以后温度保持匀速增加; ④ 5 分钟以后温度保持不变.? 其中正确的说法是( ). A. ① 与 ④ B. ② 与 ④ C. ② 与 ③

y ??C?

O

5

t ?分?

D. ① 与 ③
2

4、某产品的总成本 y 万元与产量 x 台之间的函数关系式是 y ? 3000? 20x ? 0.1x , x ? (0,240) , 若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ).

4

5、一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留物质约是原来的 的物质是原来的

4 ,经过 n 年,剩留 5

64 ,则 n ? _____. 125

6、某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车的月租 金增加 50 元时,未租出的车将会增加 1 辆,租出的车每辆需要维护费 150 元,未租出的车每辆每 月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?

7、某城市现有人口数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2% ,试解答下面的问题: (1)写出该城市人口总数 y (万人)与年份 x (年)的函数关系式; (2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 0.1 万人) ; (3)大约多少年后,该城市人口将达到 120 万人?(精确到 1 年) (4)若 20 年后,该城市人口总数不超过 120 万人,年自然增长率应控制在什么范围内?

5

答案

3.2.2

函数模型的应用实例

一.预习自学: 2. f ( x) ? ?

(x ? 5) ?5x ?25 ? 3(x ? 5)

(x> 5)

3. 详细解答见课本必修一第 104 页. 二.新知探求: 例 2. 详细解答见课本必修一第 102 页. 解:阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360 阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360km.

? ? ? ? S?? ? ? ? ?

50t ? 2004 80( t ? 1) ? 2054 90( t ? 2) ? 2134 75( t ? 3) ? 2224 65( t ? 4) ? 2299

0 ? t ?1 1? t ? 2 2?t?3 3? t ?4 4?t?5

填空: 函数图象 分段函数 定义域 例 3.见课本必修一第 103 页. 填空: 误差 修正 三.归纳小结: 解函数的应用问题,一般地可按以下四步进行: 第一步:阅读理解,认真审题; 第二步:引进数学符号,建立数学模型; 第三步:利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果; 第四步:再转移成具体问题作出解答. 四.课堂检测: 1. 6400 个; 2. 依次是(4) 、 (1) 、 (2) 事件 (3)可以是我出发后感到时间较紧,所以 加速前进,后来发现时间还很充裕,于是放慢了速度. 3. C; 六.课外作业 1. C; 2. C; 3. B; 4. 150 ; 5. 3; 6、解: (1) 100 ? 3600 ? 3000 ? 88 (2)设未租出的车为 x 辆,利润为 y 元 则 y=(3000+50x)(100-x)-150(100-x)-50x =-50x2+2100x+285000

50

当 x=21 时,月收益最大,最大收益是 307050 元 答:月租金为 4050 元时,月收益最大,最大月收益是 307050 元 8. 解: (1)y=100(1+1.2%)x (2) y=100(1+1.2%)10=112.7

(3) 100(1+1.2%) =120 (4) 100(1+x%)20≤120

x

1.012 =1.2 (1+x%)20≤1.2

x

lg1.2 X=log1.0121.2= lg1.012 =15
0<x<0.9
6


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