【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题2 不等式与线性规划 第7练


第7练

基本初等函数问题

题型一 指数函数的图象和性质 例 1 已知函数 f(x)=2|2x 是________. 破题切入点 判断函数 t=|2x-m|的单调区间,结合函数 y=2t 的单调性,得 m 的不等式,求 解即可. 答案 (-∞,4] m m 解析 令 t=|2x-m|, 则 t=|2x-m|在区间[ , +∞)上单调递增, 在区间(-∞, ]上单调递减. 而 2 2 m - y=2t 为 R 上的增函数, 所以要使函数 f(x)=2|2x m|在[2, +∞)上单调递增, 则有 ≤2, 即 m≤4, 2 所以 m 的取值范围是(-∞,4].故填(-∞,4]. 题型二 对数函数的图象和性质 1 例 2 已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈[ ,2]都有|f(x)|≤1 成立,则 a 的取 3 值范围是________. 破题切入点 要对字母 a 进行分类讨论. 1 答案 (0, ]∪[3,+∞) 3 解析 ∵f(x)=logax, 1 当 0<a<1 时,|f( )|-|f(2)| 3 1 =loga +loga2 3 2 =loga >0, 3 1 当 a>1 时,|f( )|-|f(2)| 3
-1-m|

(m 为常数),若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围

1 =-loga -loga2 3 2 =-loga >0, 3 1 ∴|f( )|>|f(2)|总成立. 3 1 要使 x∈[ ,2]时恒有|f(x)|≤1, 3 1 1 只需|f( )|≤1,即-1≤loga ≤1, 3 3 1 - 即 logaa 1≤loga ≤logaa, 3 1 - 亦当 a>1 时,得 a 1≤ ≤a,即 a≥3; 3 1 -1 当 0<a<1 时,得 a ≥ ≥a, 3 1 得 0<a≤ . 3 1 综上所述,a 的取值范围是(0, ]∪[3,+∞). 3 题型三 幂函数的图象和性质 例 3 已知周期函数 f(x)的定义域为 R,周期为 2,且当-1<x≤1 时,f(x)=1-x2.若直线 y=- x + a 与 曲 线 y = f(x) 恰 有 2 个 交 点 , 则 实 数 a 的 所 有 可 能 取 值 构 成 的 集 合 为 ________________________. 破题切入点 画出函数 f(x)的草图,对参数 a 取特殊值,验证是否满足题设条件. 5 答案 {a|a=2k+1 或 2k+ ,k∈Z} 4 解析 画出函数 f(x)的草图,当 a=1 时,如图所示,

直线 y=-x+1 与曲线 y=f(x)恰有 2 个交点; 5 5 当 a= 时,直线 y=-x+ 与曲线 y=f(x)恰有 2 个交点,如图所示,根据函数的周期性. 4 4 总结提高 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高中数学重要的基本初等函数,考查形式主要

是客观题,也有可能以解答题中某一小问的形式出现.考查重点主要有三个:一是考查指数 函数、对数函数、幂函数的图象和性质,二是考查指数式与对数式的运算,三是考查交汇性 问题. (2)解决好本部分问题需要注意以下三点: ①理清定义:掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念,并注意指数函数与幂函数的区别. ②心中有图:掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质,并能灵活运用函数图象和性
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质解题. ③把握交汇:把握指数函数、对数函数、幂函数与其他知识交汇的特点,在综合应用中强化 对这三种函数的理解.

1.若函数 y=ax+b-1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有________. 答案 0<a<1 且 b<0 解析 (1)当 0<a<1 时,不论上下怎样平移,图象必过第二象限;当 a>1 时,不论上下怎样平 移,图象必过第一象限. ∵y=ax+b-1 的图象经过第二、三、四象限, ∴只可能 0<a<1.

(2)如图,这个图可理解为 y=ax (0<a<1)的图象向下平移大于 1 个单位长度. ? ?b-1<0, ∴? 解得 b<0. ?|b-1|>1, ? 由(1)、(2)可知 0<a<1 且 b<0. 2. (2013· 课标全国Ⅱ改编)设 a=log36, b=log510, c=log714, 则 a, b, c 的大小顺序为________. 答案 a>b>c 解析 因为 a=log36=1+log32=1+ 1 1 ,b=log510=1+log52=1+ ,c=log714=1+ log23 log25 1 log72=1+ ,显然 a>b>c. log27 3.若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=________. 2 答案 4 解析 ∵0<a<1, ∴f(x)=logax 在[a,2a]上为减函数, ∴f(x)max=logaa=1, f(x)min=loga2a=1+loga2, ∴1=3(1+loga2), 2 2 即 loga2=- ,∴a= . 3 4
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4.函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________. 答案 (0, 6] 解析 要使函数 f(x)= 1-2log6x有意义, ?x>0, ? 则? 解得 0<x≤ 6. ?1-2log6x≥0. ? 5.“lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“y2=xz 成立”的________条件. 答案 充分不必要 解析 由 lg x,lg y,lg z 成等差数列,可以得出 2lg y=lg x+lg z,根据对数函数的基本运算可 得,y2=xz,但反之,若 y2=xz,并不能保证 x,y,z 均为正数,所以不能得出 lg x,lg y,lg z 成等差数列. 6.已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=________. 答案 2 解析 ∵f(x)=lg x,∴f(a2)+f(b2)=2lg a+2lg b=2lg ab. 又 f(ab)=1,∴lg ab=1,∴f(a2)+f(b2)=2. 7.已知 0<a<1,则函数 f(x)=ax-|logax|的零点个数为________. 答案 2

解析 分别画出函数 y=ax(0<a<1)与 y=|logax|(0<a<1)的图象,如图所示,图象有两个交点. 1?|1-x| 8.若函数 y=? ?2? +m 的图象与 x 轴有公共点,则实数 m 的取值范围是________. 答案 [-1,0) 解析 由题意得, ?1?1-x+m,x≤1 ?2? 函数 y= ?1?x-1+m,x>1 ?2?

? ? ?

.

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? ?? ?2? 首先作出函数 y=? 1? ?? ?2?

1

1-x

,x≤1 的图象,如图所示. ,x>1 1
1-x

x-1

? ?? ?2? 由图象可知要使函数 y=? 1? ?? ?2?

+m,x≤1 的图象与 x 轴有公共点,则 m∈[-1,0). +m,x>1

x-1

1?x 9.已知函数 f(x)=? ?5? -log3x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)与 0 的大小 关系为________. 答案 f(x1)>0 1 解析 当 x>0 时,f(x)=( )x-log3x 是减函数, 5 又 x0 是方程 f(x)=0 的根,即 f(x0)=0. ∴当 0<x1<x0 时,f(x1)>f(x0)=0. 10.(2014· 南京模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=ln(ex+ey),x,y∈R.当 x*x=y * 时,x= y.对任意实数 a,b,c,给出如下命题: ①a*b=b*a; ②(a*b)+c=(a+c)*(b+c); ③(a*b)-c=(a-c)*(b-c); ④(a*b)*c=a*(b*c); a+b * ⑤ a*b≥ . 2 其中正确的命题有________.(写出所有正确的命题序号) 答案 ①②③④⑤ 解析 因为 a*b=ln(ea+eb),b*a=ln(eb+ea), 所以 a*b=b*a,即①对; 因为(a*b)+c=ln(ea+eb)+c=ln[(ea+eb)ec] =ln(ea c+eb c)=(a+c)*(b+c),所以②对;
+ +

只需令②中的 c 为-c,即有结论(a*b)-c=(a-c)*(b-c),所以③对; 因为(a*b)*c=[ln(ea+eb)]*c=ln[ e =ln(ea+eb+ec), a*(b*c)=a*[ln(eb+ec)]=ln[ea+ e =ln(ea+eb+ec),
-5ln( eb ?ec ) ln( ea ?eb )

+ec]

]

所以(a*b)*c=a*(b*c),即④对; * 设 a*b=x,则 x*x=a*b, 所以 ln(ex+ex)=ln(ea+eb), 所以 2×ex=ea+eb, 所以 x=ln ea+eb ea+eb 2 ea· eb a+b * ,即 a*b=ln ≥ln = ,故⑤对. 2 2 2 2

故正确的命题是①②③④⑤. 11.设函数 f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的零点; (2)若对任意 b∈R,函数 f(x)恒有两个不同零点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-2x-3, 令 f(x)=0,得 x=3 或 x=-1. 所以,函数 f(x)的零点为 3 和-1. (2)依题意,方程 ax2+bx+b-1=0 有两个不同实根. 所以,b2-4a(b-1)>0 恒成立, 即对于任意 b∈R,b2-4ab+4a>0 恒成立, 所以有(-4a)2-4(4a)<0?a2-a<0,所以 0<a<1. 因此实数 a 的取值范围是(0,1). 12.(2014· 盐城模拟)设函数 f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n 为正整数,a,b 为常数.曲线 y=f(x) 在(1,f(1))处的切线方程为 x+y=1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的最大值. 解 (1)因为 f(1)=b,由点(1,b)在 x+y=1 上, 可得 1+b=1,即 b=0. 因为 f′(x)=anxn 1-a(n+1)xn,所以 f′(1)=-a.


又因为切线 x+y=1 的斜率为-1, 所以-a=-1,即 a=1.故 a=1,b=0. (2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn 1, n - f′(x)=(n+1)xn 1?n+1-x?. ? ? n 令 f′(x)=0,解得 x= , n+1


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n 在?0,n+1?上,f′(x)>0,

?

?

故 f(x)单调递增; n 而在?n+1,+∞?上,f′(x)<0, ? ? 故 f(x)单调递减. 故 f(x)在(0,+∞)上的最大值为 n n n ?1- n ?= n + . f?n+1?=?n+1?n· ? ? ? ? ? n+1? ?n+1?n 1

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