必修四 第一章 三角函数知识点及例题详解


第一章 三角函数 知识点详列 一、角的概念及其推广 正角:一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 零角:射线不做任何旋转形成的角 负角:一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角

记忆法则:
第一象限全为正,二正三切四余弦.

sin ? csc? tan ? cot?

为 正

全 正

sin?>0 cos?<0 tan?<0 cot?<0 sin?<0 cos?<0 tan?>0 cot?>0

sin?>0 cos?>0 tan?>0 cot?>0 sin?<0 cos?>0 tan?<0 cot?<0

为正

cos? sec?

为正

例 1、 (1)判断下列各式的符号: ① sin 340
?

? cos 265? ,

② sin 4 ? tan ? ?

? 23 ? ? ?, ? 4 ?



sin(cos ? ) 其中已知 ( cos ? ? ? cos ? , 且 tan ? ? 0) cos(sin ? )

答案:+ — —

2、象限角:角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在

第几象限,则称 ? 为第几象限角.

第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?

?

? ?

第二象限角的集合为 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

?

? ?

第四象限角的集合为 ? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ?

?

3、终边相同的角:一般地,所有与 α 角终边相同的角连同 α 在内(而且只有这样的角) ,

可以表示为 k

? 360? ? ? , k ? Z .

4、特殊角的集合:

?? ? ? 2k? , k ? Z ?; ? ; (2)终边在 X 轴非正半轴上的角的集合为 ? ? ?2k ? 1?? , k ? Z ? ? ; (3)终边在 X 轴上的角的集合为 ? ? ? k? , k ? Z ?
(1)终边在 X 轴非负半轴上的角的集合为 (4)终边在 Y 轴非负半轴上的角的集合为 ?? ?

? ? ? ?

? 2k? ? ? 2k? ?

? ?

? , k ? Z ?; 2 ?

(5)终边在 Y 轴非正半轴上的角的集合为 ?? ? (6)终边在 Y 轴上的角的集合为 ?? ?

? , k ? Z ?; 2 ?

? ?

? k? ?

?

? , k ? Z ?; 2 ?

k? ? ? , k ? Z ?; ?? ? ? (7)终边在坐标轴上角的集合为 ? 2 ?
(8)终边在一、三象限角平分线上的角的集合为 ?? ?

? ?

? k? ? ? k? ?

?
?

? , k ? Z ?; 4 ?

(9)终边在二、四象限角平分线上的角的集合为 ?? ?

? ?

? , k ? Z ?. 4 ?

二、弧度 1、定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度

2、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360? , 1? ?

? 180 ? ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

?

3、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 4、两个公式:

l r

若扇形的圆心角为 ? ?? 为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,
1 1 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2 三、三角函数
1.设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y)

则 P 与原点的距离 r ? 2.比值

x ? y ? x2 ? y2 ? 0
y r x 记作: cos? ? r y 记作: tan? ? x
记作:

2

2

y 叫做 ? 的正弦 r x 比值 叫做 ? 的余弦 r y 比值 叫做 ? 的正切 x
x 比值 叫做 ? 的余切 y
比值

sin ? ?

P (x, y)
r

记作:

x cot? ? y

?

r 叫做 ? 的正割 x
r 叫做 ? 的余割 y

记作:

sec? ?
csc? ?

r x
r y

比值

记作:

以上六种函数,统称为三角函数. 2.同角三角函数的基本关系式: (1)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 ; (2)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? ; , cot ? ? cos ? sin ? 2 2 (3)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .
3.诱导公式,奇变偶不变,符号看象限.

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
例 2.化简(1) sin(? ?

) ? cos(? ? ) ; 4 4 3 11? (2)已知 ? ? ? ? 2? , cos(? ? 9? ) ? ? ,求 cot(? ? ) 的值. 2 5

?

?

解: (1)原式 ? sin(? ?

? ( ? ? )] ? sin(? ? ) ? sin(? ? ) ? 0 . 4 2 4 4 4 3 3 (2) cos(? ? ? ) ? cos(? ? 9? ) ? ? ,∴ cos ? ? , 5 5 4 sin ? 4 ∵ ? ? ? ? 2? ,∴ sin ? ? ? , tan ? ? ? , 5 cos ? 3 11? 3? 4 ∴ cot(? ? ) ? ? cot( ? ? ) ? ? tan ? ? . 2 2 3 ) ? cos[
例 3 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250° (2) sin(?

?

?

?

?

?

?

4

)

(3)tan(-672°) ∴cos250°<0

(4) tan(

11? ) 3

解:(1)∵250°是第三象限角 (2)∵ ?

? ? 是第四象限角,∴ sin(? ) ? 0 4 4

(3)tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48° 而 48°是第一象限角,∴tan(-672°)>0

11? 5? 5? ? tan( ? 2? ) ? tan 3 3 3 5? 11? 而 是第四象限角,∴ tan ? 0. 3 3
(4) tan 例 4 求值:sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°. 解:原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°) +cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135° = 题型一

3 3 1 1 ? ? ? -1=0 2 2 2 2

象所在象限的判断

例 5(1)如果 ? 为第一象限角,试问

?
2

是第几象限角?

(2)如果 ? 为第二象限角,试问: ? ? , ?

? ? , ? ? ? 分别为第几象限角?

答案: (1)第一或者第三; (2)第三,第一,第四。 (3)已知角 ? 的终边与角

?
3

的终边相同,在

?0,2? ? 内,哪些角的终边与 ? 的终边相同?
3

答案: 题型二

? 7? 13?
9 , 9 , 9
弧长、扇形面积等有关问题

例 6 已知扇形的圆心角是 ? ,所在圆的半径是 R . (1)若 ?

? 60? , R ? 10cm, 求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积。

(2)若扇形的周长是一定值 C (C 答案: (1) 50?

? 0), 当 ? 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

?? 3? ?(cm 2 ) ? ?3 2 ? ? ?
4

C2 (2)当且仅当 ? ? . , 即 ? ? 2(? ? ?2舍去) 时,扇形面积有最大值 ? 16
题型三 函数值符号的判定 例 7 确定下列三角函数值符号: (1) tan(?556?12?) ,(2) cos

16? 17? ,(3) cot( ? ) 5 8

解:(1) tan(?556?12?) ? tan(?360? ? 196?12?) ? tan(?196?12?) ? 0

16? 4? 4? ? cos(4? ? ) ? cos(? ) ? 0 5 5 5 17? ? ? (3) cot(? ) ? cot(?2? ? ) ? cot(? ) ? 0 8 8 8
(2) cos 例 8 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250° (2) sin(?

?
4

)

(3)tan(-672°) ∴cos250°<0

(4) tan(

11? ) 3

解:(1)∵250°是第三象限角 (2)∵ ?

? ? 是第四象限角,∴ sin(? ) ? 0 4 4

(3)tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48° 而 48°是第一象限角,∴tan(-672°)>0

11? 5? 5? ? tan( ? 2? ) ? tan 3 3 3 5? 11? 而 是第四象限角,∴ tan ? 0. 3 3
(4) tan 题型四 三角函数线的应用

例 9 利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角
1? 解: 1? P2 o P1 x 210? o sin?≥ y

1 2

2? tan? ?

3 3
2?

y 30? T x

A

30?≤?≤150?

30? ? ? ? 90?或 210? ? ? ? 270?

例 10 求证:若 0 ? ?1 ? ? 2 ?

?
2

时,则 sin?1 ? sin?2 y P2 P1 o M2 M1 x

证明:分别作?1,?2 的正弦线 x 的终边不在 x 轴上 sin?1=M1P1 sin?2=M2P2 ∵ 0 ? ?1 ? ? 2 ? ∴M1P1 ? M2P2

?
2

即 sin?1 ? sin?2

题型五 利用三角函数关系进行化简与求值 例 11.化简(1) sin(? ?

) ? cos(? ? ) ; 4 4 3 11? (2)已知 ? ? ? ? 2? , cos(? ? 9? ) ? ? ,求 cot(? ? ) 的值. 2 5
解: (1)原式 ? sin(? ?

?

?

? ( ? ? )] ? sin(? ? ) ? sin(? ? ) ? 0 . 4 2 4 4 4 3 3 (2) cos(? ? ? ) ? cos(? ? 9? ) ? ? ,∴ cos ? ? , 5 5 4 sin ? 4 ∵ ? ? ? ? 2? ,∴ sin ? ? ? , tan ? ? ? , 5 cos ? 3 11? 3? 4 ∴ cot(? ? ) ? ? cot( ? ? ) ? ? tan ? ? . 2 2 3 ) ? cos[
例 12. (1) 若 tan ? ?

?

?

?

?

?

2 ,求值①

cos ? ? sin ? 2 2 ;② 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? . cos ? ? sin ?

1 ? sin 6 x ? cos 6 x (2)求值 1 ? sin 4 x ? cos 4 x

sin ? cos ? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 . 解: (1)①原式 ? sin ? 1 ? 2 1? cos ? 1 1 2 ②∵ cos ? ? ? , 2 1 ? tan ? 3 2 ?1 2 2 ∴原式 ? cos ? (2 tan ? ? tan ? ? 1) ? . 3 6 6 2 2 4 2 2 4 ) (2)∵ sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)(sin x ?sin x ?cos x ?cos x 2 2 2 2 2 2 ? (sin x ? cos x) ? 3sin x ? cos x ? 1 ? 3sin x ? cos 2 x . 4 4 2 2 2 2 2 2 2 又∵ sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) ? 2sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x ? cos x . 1?
∴原式 ?

1 ? sin 6 x ? cos6 x 3 ? . 1 ? sin 4 x ? cos 4 x 2

例 13 已知 sin ? , cos ? 是方程 4 x ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两个根,
2

?sin ? ? cos ? ? m ? 2m ? 1 ? 2 解:∵ ?sin ? ? cos ? ? ,代入 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? ? cos ? , 4 ? 2 ?? ? 16( m ? 2m ? 1) ? 0 ?
得m ?

3? ? ? ? 2? ,求角 ? . 2

1? 3 3? 2m ? 1 ,又 ? ? ? 2? ,∴ sin ? ? cos ? ? ? 0, 2 2 4 ? 3 1 1? 3 3? , cos ? ? ,又∵ ,∴ sin ? ? sin ? ? cos ? ? m ? ? ? ? 2? , 2 2 2 2 5? ∴? ? . 6
题型六 平方关系得应用 例 14 sin x ? cos x ?

1 2

求 sin 3 x ? cos3 x的值
2

说明:通过平方关系得到重要关系式: (sin x ? cos x) ? 1 ? 2 sin x cos x 例 15 求证:

1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x ? cos2 x ? sin 2 x 1 ? tan x

证明:左边 ?

sin 2 x ? cos2 x ? 2 sin x cos x (cos x ? sin x) 2 ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) cos2 x ? sin 2 x cos x ? sin x 1 ? tan x ? ? cos x ? sin x 1 ? tan x
2 2

说明: 利用平方关系得到“1”的妙用,即 1 ? sin x ? cos x 例 16 化简 1 ? 2 sin

?
2

cos

?
2

? 1 ? 2 sin

?
2

cos

?
2

(0 ? ? ?

?
2

)

由0 ? ? ?

?
2

,0 ?

?
2

?

? ?
2

即 cos ? cos

?
2

? sin ? sin

?
2

?0 ? 2 sin

故原式 ? cos

?
2

? sin

?

?

?
2

2

2

2

解:原式 ? (cos

?

? sin ) 2 ? (cos ? sin ) 2 ? cos ? sin ? cos ? sin 2 2 2 2 2 2 2 2

?

?

?

?

?

?

?

说明: 本题利用平方关系,和三角函数的大小关系进行化简 题型七 商数关系的应用 例 17 已知 tan? ? 2



sin ? ? cos? 的值 sin ? ? cos?

sin ? ?1 sin ? ? cos? cos? tan? ? 1 解: ? ? sin ? ? cos? sin ? tan? ? 1 ?1 cos? 2 ?1 由 tan? ? 2故原式 ? ?3 2 ?1
题型八诱导公式的应用

1 ? ? , ? 是第三象限角,求 cos(15 ? ? ) ? sin(? ? 15 ) 的值 3 ? ? ? ? ? 解:∵ ? 是第三象限角,∴ k ? 360 ? 255 ? ? ? 75 ? k ? 360 ? 345 ( k ? Z ) , 1 2 2 2 1 ? ? ∵ cos(75? ? ? ) ? ,∴ ? ? 75 是第四象限角,∴ sin(75 ? ? ) ? ? 1 ? ( ) ? ? , 3 3 3
例 18 例 2.已知 cos(75 ? ? ) ?
?

∴原式 ? cos(15 ? ? ) ? sin(15 ? ? ) ? sin(? ? 75 ) ? cos(? ? 75 ) ? ?
? ? ? ?

2 2 ?1 3

题型九 证明三角恒等式 例 19 求证

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

解: (不止一种方法) 注:关于三角恒等式的证明,常用方法: ①从一边开始证得它等于另一边,一般由繁到简; ②左右扫一法,即证明左右两边都等于同一个式子; ③凑和方法,即针对题设与结论间的差异,由针对性的变形,以消除差异的方法; ④比较好,即设法证明“ 左边 — 右边

? 0 ”或“

左边 ? 1” ; 右边

⑤分析法,即从被征的等式出发,逐步地探求使等式成立的充分条件,一直到已知条件或明 显的事实为止,就可以断定原等式成立。 题型九 三角函数的简单应用 例 20 已知sin?、co是关于 x 的方程 x (1)求 cos
3
2

? ax ? a ? 0(a ? R ) 的两个根。

( ? ? ) ? sin 3 ( ? ? ) 的值; 2 2 ??) ? 1 tan ?
的值。

?

?

(2)求 tan(? 答案: (1)1 ?

2; (2) 2 ? 1 。

三角函数的图像与性质

1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

? ?1,1?
当 x ? 2k? ?

? ?1,1?
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,
ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

R

?
2

? k ? ? ? 时,
?
2

最值

ymax ? 1 ; 当 x ? 2k? ?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周期性 奇偶性
2? 奇函数

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2? 偶函数

?
奇函数

? ?? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性

在 ? 2 k? ? ? , 2 k? ? ? k ? ? ? 上 是 增函数;在 ? 2k? , 2k? ? ? ?

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对称性 对称轴 x ? k? ?

?
2

? k ? ??

? ? ? 对称中心 ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? 对称中心 ? ? 2 ?

无对称轴

2、函数 y

? A sin(?x ? ? ) 的图像与函数 y ? sin x 图像的关系 ? A sin x( A ? 0, A ? 1) 的图像可以看成是 y ? sin x 图像上所有
。 ? 1) 或都缩短 ?0 ? A ? 1? 到原来的 A 倍(横坐标不变而得到的)

(1)振幅变换: y

点的纵坐标都伸长 ( A (2)周期变化:

y ? sin ?x?? ? 0, ? ? 1? 的图像,可以看成是 y ? sin x 的图像上

各点的横坐标都都缩短

?? ? 1? 或伸长 ?0 ? ? ? 1?到原来的 1 倍(纵坐标不变)而得到
?
2?

的,由于 y

? sin x 的周期为 2? ,故 y ? sin ?x?? ? 0, ? ? 1? 的周期为

?



(3)相位变化: y 点向左

? sin( x ? ? )?? ? 0 ? 的图像,可以看成是把 y ? sin x 的图像上各

?? ? 0?或向右 ?? ? 0? 平移 ? 各单位而得到的。
? sin x 的图像得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像有哪些方法?
? sin 2 x , x ? R 与 y ? sin x , x ? R 的简图。
2? ? ? ,我们先画在[0, ? ]上的简图 2

思考:由 y

例 1 画出函数 y

1 2

解:函数 y

? sin 2 x , x ? R 的周期为 T ?

令 z ? 2 x, sin z ? sin 2 x (换元法) 列表 2: 描点连线:

z ? 2x

0

? 2 ? 4
1

?
? 2
0

3? 2 3? 4
-1

2?

y ? sin x

x
sin 2x

0

?
0

0

y ? sin 2 x

1 2? x , x ? R 的周期为 T ? ? 4? ,我们先画在[0,4 ? ]上的简图 1 2 2 1 1 令 X ? x ,则 sin X ? sin x (换元法) 2 2
函数 y ? sin

列表 3:

X?

1 x 2

0 0 0

x
sin 2x

? 2 ?
1

?
2?
0

3? 2 3?
-1

2?

4?
0

例 2 函数 y

? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的图像可由 y ? 3 sin 2 x 的图像()

A.向左平移

?
3

个单位长度得到

B.向右平移

?
3

个单位长度得到

C.向左平移

?
6

个单位长度得到

D.向右平移

?
6

个单位长度得到

例 3 求函数 y 解:

?? ? ? sin ? ? 2 x ? 的单调增区间。 ?4 ?

?? ?? ? ? ? y ? sin ? ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ?, 4? ?4 ? ? ? ? 3? 令2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z. 2 4 2 3? 7? 解得k? ? ? x ? k? ? ,k ? Z . 8 8 3? 7? ? ? ?函数的单调区间是 ?k? ? , k? ? , k ? Z. 8 8 ? ? ?
注意易错点:直接把 ?

? ? ?? ? ? 2 x ? 带入 2k? ? ? x ? 2k? ? 中求出 x 。 2 2 ?4 ?

题型一 函数的定义域问题 三角函数的定义域是研究其他性质的前提, 求三角函数的定义域就是解简单的图像或三角函 数线来求解,注意数形结合的思想的应用。 例 1 求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ?

3 ? tan x ; (2) f ( x) ? tan(sin x) ; (3) f ( x) ?

解: (1)由 3 ? tan x ? 0 ,得 tan x ? ∴ f ( x) 的定义域为 (k? ? (2)∵ ?

3 ,∴ k? ?

?
2

? x ? k? ?

?
3

2 cos x ? 1 . tan x ? 1

(k ? Z ) .

?

?
2

, k? ? ](k ? Z ) . 2 3

?

? ?1 ? sin x ? 1 ?

?

2

,∴ x ? R .即 f ( x) 的定义域为 R .







1 ? xc? ? o s 1 0 ?c x ? o s ?2 2 ?l ? gx ? (? t a n 1 ) 0 ? ? n ?t x a ? ? ?t x ? ? n a 1 , 0得 ? ?t x a ? n ? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) ? ? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) ? 2 ? 2

0

1



? ? ? ? 2 k? ? 3 ? x ? 2k ? ? 3 ? ∴ ? x ? k? (k ? Z ) , ? ? ? ? k? ? ? x ? k? ? 4 2 ?
∴原函数的定义域为 (2k? ?

?

, 2k? ) ? (2k? , 2k? ? )(k ? Z ) . 4 3

?

(3) ?

?2 cos?x0?,1?0, tan x

? cos x ? ? 1 , ? ? ? tan x ? 0 2 , ? ? ? 2 k? ? ? ? x ? 2 k? ? 2? ( k ?Z ), ? 3 ? ? x ? k? (3k ?Z ). ? ? 又? x ? k? ?

?
2

(k ? Z ),故f ? x ?的定义域为

2? 2? ?? ? ? x ? 2k? ? , 且x ? k? , x ? k? ? ? ? 2k? ? 3 3 2? ?
题型二 三角函数的值域

2sin x cos 2 x 3 ? sin x 1 ? sin x 例 2. 求下列函数的值域: 1)y ? ( ; y ? log 2 (2) ; y? (3) . 1 ? sin x 3 ? sin x 3 ? cos x 2sin x(1 ? sin 2 x) 1 1 ? 2sin x(1 ? sin x) ? ?2(sin x ? ) 2 ? , 解: 由题意 1 ? sin x ? 0 , y ? ∴ 1 ? sin x 2 2 1 1 ∵ ?1 ? sin x ? 1 ,∴ sin x ? 时, ymax ? ,但 sin x ? ?1 ,∴ y ? ?4 , 2 2 1 ∴原函数的值域为 ( ?4, ] . 2 3 ? sin x 6 1 3 ? sin x (2)∵ ?1 ? sin x ? 1 ,又∵ ? ? 1 ,∴ ? ? 2 ,∴ ?1 ? y ? 1 , 3 ? sin x 3 ? sin x 2 3 ? sin x 3 ? sin x ∴函数 y ? log 2 的值域为 [?1,1] . 3 ? sin x 1 ? sin x 2 (3)由 y ? 得 sin x ? y cos x ? 3 y ? 1 ,∴ y ? 1sin( x ? ? ) ? 3 y ? 1 , 3 ? cos x 1 ?y 这里 cos ? ? , sin ? ? . 1? y2 1? y2
∵ | sin( x ? ? ) |? 1 , ∴ | 3 y ? 1|?

y2 ?1 . 解 得 0 ? y ?

3 ,∴原函数的值域为 4

3 {y | 0 ? y ? }. 4

题型三 三角函数最值问题 三角法术最值的求法类似于求函数的值域,常见的题型有以下几类

(1)形如 y 解。

? A sin(?x ? ? ) 或可化为此类的函数最值问题,应用三角函数的有界性求
? A sin 2 x ? B sin x ? C , 换元转化为二次函数求解,有时需对所含参

(2)可化为 y

数进行分类讨论。 (3) y 求解。 (4) y

?

a cos x ? b a sin x ? b 可利用分离常数法, cos x ? 1 来 或 (或y ? ) 型, c cos x ? d c sin x ? d a sin x ? b c cos x ? d

?

型,可用斜率公式或分离常数法来解决。

2sin x cos 2 x 3 ? sin x 1 ? sin x ; y ? log 2 (2) ; y? (3) . 1 ? sin x 3 ? sin x 3 ? cos x 2sin x(1 ? sin 2 x) 1 1 ? 2sin x(1 ? sin x) ? ?2(sin x ? ) 2 ? , 解: 由题意 1 ? sin x ? 0 , y ? ∴ 1 ? sin x 2 2 1 1 ∵ ?1 ? sin x ? 1 ,∴ sin x ? 时, ymax ? ,但 sin x ? ?1 ,∴ y ? ?4 , 2 2 1 ∴原函数的值域为 ( ?4, ] . 2 3 ? sin x 6 1 3 ? sin x (2)∵ ?1 ? sin x ? 1 ,又∵ ? ? 1 ,∴ ? ? 2 ,∴ ?1 ? y ? 1 , 3 ? sin x 3 ? sin x 2 3 ? sin x 3 ? sin x ∴函数 y ? log 2 的值域为 [?1,1] . 3 ? sin x 1 ? sin x 2 (3)由 y ? 得 sin x ? y cos x ? 3 y ? 1 ,∴ y ? 1sin( x ? ? ) ? 3 y ? 1 , 3 ? cos x 1 ?y 这里 cos ? ? , sin ? ? . 1? y2 1? y2
例 2. 求下列函数的值域: 1)y ? ( ∵ | sin( x ? ? ) |? 1 , ∴ | 3 y ? 1|?

y2 ?1 . 解 得 0 ? y ?

3 ,∴原函数的值域为 4

3 {y | 0 ? y ? }. 4
题型三 周期性问题 例 3.求下列函数的周期:

sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? cos 4 x ? sin 4 x 3 ; (1) y ? (2) y ? 2sin( x ? )sin x ; (3) y ? . ? 2 cos 4 x ? sin 4 x cos 2 x ? cos(2 x ? ) 3

?

1 sin 2 x ? sin 2 x ? 2 解: 1) y ? ( 1 cos 2 x ? cos 2 x ? 2
T?

. ( 2 ) y ? ?2sin x cos x ? ? sin 2 x , 故 周 期 T ? ? . ( 3 ) 2 ? 1 ? tan 4 x ? y? ? tan(4 x ? ) ,故周期 T ? . 4 1 ? tan 4 x 4 n? 例 4.若 f (n) ? sin ,( n ? N *) ,试求: f (1) ? f (2) ??? f (102) 的值. 6 n? 解:∵ f (n) ? sin , (n ? N * ) 的周期为 12, 6 ? 2? 12? 而 f (1) ? f (2) ? ? ? f (12) ? sin ? sin ? ? ? sin ? 0, 6 6 6 ∴ f (1) ? f (2) ? ? ? f (96) ? 0 , ∴原式 ? f (97) ? f (98) ? ? ? f (102) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (6) ? 2 ? 3 题型四 奇偶性问题 例 4 .判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ?| sin 2 x | ? x ? tan x ; (2) f ( x) ? 解:(1)∵ f ( x) 的定义域为 {x | x ? k? ?

?

? 3 3 sin(2 x ? ) cos 2 x 6 ? tan(2 x ? ? ) , ∴ 周 期 2 ? ? 6 3 3 cos(2 x ? ) sin 2 x 6 2

, k ? Z } ,∴定义域关于原点对称, 2 又∵ f (? x) ?| sin(?2 x) | ?(? x) ? tan(? x) ?| sin 2 x | ? x ? tan x ? f ( x) ,∴ f ( x) 为偶函数.
(2)∵ f ( x) 的定义域为 {x | x ? 2k? ? 数. 例 5 函数 y ? 5sin(2 x ? ? ) 是偶函数,则 ? 的值为 A. ( C. ) D.

?

cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x

?
2

, k ? Z } 不关于原点对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函

k? , (k ? Z )

B.

(2k ? 1)? ,(k ? Z )

2 k? ?

?
2

, (k ? Z )

k? ?

?
2

,(k ? Z )

题型五 函数图像的变换
x ? 例 6 为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所 3 6

有点 (



? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? 1 B.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6
A.向左平移

D.向右平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6

题型六 求解析式 例 7 如下图,它是函数 y ? A sin(? x ? 据,写出该函数解析式 【分析】观察图象,发现它的最大.最小值,找出它的周期.

?
3

) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? )的图象,根据图中的数

T 5? 3? , ? ?? ? 2 2 2 2? 2 2 ? 得 T ? 3? , 则 ? ? ? ,所以 y ? 5sin( x ? ) , T 3 3 3 2 ? 所求的表达式为 y ? 5sin( x ? ) 3 3
【解】由图得 A=5,

7? 例 8.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 在同一个周期内有最高点 ( ,3) ,最低点 ( , ?5) , 12 12

?

(例 1)

求它的解析式. 【分析】根据最高点和最低点,得到 A、b 及周期. 【解】∵2A=3-(-5)=8,∴A=4。∵2b=3+(-5)=-2,∴b=-1 ∵

T 7? ? ? 2? ? ? ? ∴ T ? ? ,?? ? ?2 2 12 12 2 T

? y ? 4sin(2 x ? ? ) ? 1 , 又图象过 ( ,3) ,从而? 3 ? 4sin( ? ? ) ? 1 ,得 ? ? 12 3 6
故? y ? 4sin(2 x ?

?

?

?

?

3

) ?1

(注:答案不唯一) 例 9.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )图象的最高点为 (2, 2) , 由这个最高点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点(6,0) 。 (1)求这个函数的表达式,并指出该函数的周期、频率、初相; (2)求该函数的单调递减区间. 【分析】读懂题意,转换成图象,发现它的振幅和周期. 【解】 (1)由题意,得 A= 2 , 则y?

2 sin( x ? ? ) ,又图象经过 (2, 2) ,得 2 ? 2 sin( ? ? ) ,得 ? ? 4 8 4 ? ? 1 1 ? 所以 y ? 2 sin( x ? ) 周期 T ? 16 ,频率 f ? ? ,初相 ? ? . 4 8 4 T 16 ? ? ? 3? (2)由 ? 2k? ? x ? ? ? 2k? ,解得 2 ? 16k ? x ? 10 ? 16k 2 8 4 2
所以该函数的递减区间为 [2 ? 16k ,10 ? 16k ] .

?

T 2? ? ? 6 ? 2 ? 4,?T ? 16,?? ? ? 4 T 8

?

?


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