江苏省苏锡常镇徐连六市2013届高三3月教学情况调研(一) 数学


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苏锡常镇徐连六市 2013 届高三 3 月教学情况调研(一) 数学Ⅰ试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分,考试时间 为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定地方。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一 律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指 定位置上. 1 . 已 知 全 集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6? , A ? ?1, 3, 5? , B ? ?1, 2, 3, 5? , 则
? ( A ? B) ? U

2013.3




? 2i ,其中是虚数单位,则 a ?

T ?1 I ? 3

2.若实数 a 满足

2 ? ai 1? i





While I ? 2 0
T ? T ?I I ? I ?2

3.已知 m 为实数,直线 l1 : mx ? y ? 3 ? 0 , l2 : (3m ? 2) x ? my ? 2 ? 0 , 则“ m ? 1 ”是“ l1 // l2 ”的 ▲ 条件(请在“充要、充分不

End While Print T

必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空) . 4.根据右图的伪代码,输出的结果 T 为 ▲ . 5.已知, m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,有下列四个命题: ①若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l ? ? ;②若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l ? ? ; ③若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l // ? ;④若 ? ? ? ? m ,且 l // m ,则 l // ? . 则所有正确命题的序号是 ▲ . 6.正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上, 则露在外面的 6 个数字恰好是 2,0,1,3,0,3 的概率为 ▲ . 7.已知 cos(750 ? ? ) ?
1 3

,则 cos(30 ? 2? ) 的值为
0





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? ? ? ? ? ? 8.已知向量 a , b 的夹角为 450 ,且 a ? 1 , 2a ? b ? 10 ,则 b ?





9.设 S n , Tn 分别是等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和,已知

Sn Tn

?

2n ? 1 4n ? 2

,n? N *,



a10 b3 ? b18

?

a11 b6 ? b15

?





10.已知 F1 , F2 是双曲线的两个焦点,以线段 F1 F2 为边作正 ?MF1 F2 ,若边 MF1 的中点在此双曲 线上,则此双曲线的离心率为 ▲ .
x x

11.在平面直角坐标系 xOy 中, A(1, 0) ,函数 y ? e 的图像与 y 轴的交点为 B , P 为函数 y ? e 图 像上的任意一点,则 OP ?AB 的最小值 12.若对于给定的正实数 k ,函数 f ( x) ?
k x

??? ??? ? ?





的图像上总存在点 C ,使得以 C 为圆心,1 为半径的圆 ▲
2) ? f ( ? 5 2

上有两个不同的点到原点 O 的距离为 2,则 k 的取值范围是 13.已知函数 f ( x) ?
x x ?1 ? x ?1 x?2 ? x?2 x?3 ? x?3 x?4


? 2) ?

,则 f (?

5 2

?

▲ .

14. 设函数 f ( x) ? ln x 的定义域为 ? M , ?? ? , M ? 0 ,对于任意 a ,b ,c ? ( M , ??) , a ,b , 且 若
c 是直角三角形的三条边长,且 f ( a ) , f (b) , f (c ) 也能成为三角形的三条边长,那么 M 的最

小值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答 案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 A , B , C 成等差数列. (1)若 BA?BC ?
??? ??? ? ? 3 2

, b ? 3 ,求 a ? c 的值;

(2)求 2 sin A ? sin C 的取值范围. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,已知 E ,

C1 G A1 B1

F , G 分别为棱 AB , AC , A1C1 的中点,

?ACB ? 90

0

, A1 F ? 平 面 ABC ,

CH ? BG , H 为垂足.求证:

C
·2·

H B

F A E

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(1) A1 E // 平面 GBC ; (2) BG ? 平面 ACH . 17.(本小题满分 14 分) 已知实数 a ,b ,c ? R , 函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 满足 f (1) ? 0 , f ( x) 的导函数为 f ?( x) , 设
3 2

满足 f ?(0) f ?(1) ? 0 . (1)求
c a

的取值范围;

(2) a 为常数, a ? 0 , 设 且 已知函数 f ( x) 的两个极值点为 x1 ,x2 ,A( x1 , f ( x1 )) ,B ( x2 , f ( x2 )) , 求证:直线 AB 的斜率 k ? ? ?
? ? 2a 9 ,? a? . ? 6?

18.(本小题满分 16 分) 某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安装球心为 径为 R (米)的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯
? ? ? ? 个部件组成,其中圆弧形灯托 EA , EB , EC , ED

O ,半

脚 三 所 在
O

圆的圆心都是 O 、半径都是 R (米) 、圆弧的圆心角 (弧度) 灯杆 EF 垂直于地面, ; 杆顶 E 到地面的距离 (米) ,且 h ? R ;灯脚 FA1 , FB1 , FC1 , FD1 是正 锥 F ? A1 B1C1 D1 的四条侧棱, 正方形 A1 B1C1 D1 的外接 径为 R(米) 四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为 ? , 度) .已知灯杆、灯脚的造价都是每米 a (元),灯托造 每米
a
A

D B

C

都是 ? 为 h 四 棱 圆 半 ( 弧 价 是 总 造

E

(元),其中 R , h , a 都为常数.设该灯架的
F

3 价为 y (元) .

(1)求 y 关于 ? 的函数关系式; (2)当 ? 取何值时, y 取得最小值?
A1

D1

C1

B1

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19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 E :
x
2

? y ? 1 的左、右顶点分别为 A , B ,圆 x ? y ? 4 上有一动点 P ,P 在 x 轴
2

2

2

4

的上方, C (1, 0) ,直线 PA 交椭圆 E 于点 D ,连结 DC , PB . (1)若 ?ADC ? 900 ,求 ?ADC 的面积 S ; (2)设直线 PB , DC 的斜率存在且 为 k1 ,k2 ,若 k1 ? ? k2 ,求 ? 的取值范围.
y

分别

D

P

A

O

C

B

x

20.(本小题满分 16 分) 设 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 的 和 为 S n , 对 于 任 意 正 整 数 m , n ,
Sm? n ? 2a2 m (1 ? S 2 n ) ? 1 恒成立.

(1)若 a1 ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 及数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a4 ? a2 (a1 ? a2 ? 1) ,求证:数列 ?an ? 成等比数列.

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江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一) 数学 II(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答, ...... ............ 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修 4-1 几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图, 已知 CB 是⊙O 的一条弦,A 是⊙O 上任意一点, 过点 A 作⊙O 的切线交直线 CB 于点 P , A
D 为⊙O 上一点,且 ?ABD ? ?ABP .

求证: AB ? BP ? BD .
2

C

· O D
(第 21-A 题)

B

P

B. (选修 4—2:矩阵与变换) (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?
?8? ?1? ?1 a ? ? ?1? ? 的一个特征值为 ?1 ? ?1 ,其对应的一个特征向量为 ?1 ? ? ? ,已知 ?c 0  ? ?1?

? ? ? ? ,求 A ? .
5

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 已知直线的参数方程 ?
? x ? 2?t ? ? y ? 1? ? 3t

(为参数) ,圆 C 的极坐标方程: ? ? 2 sin ? ? 0 .

(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)在圆 C 上求一点 P ,使得点 P 到直线的距离最小.

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D.(选修 4—5:不等式选讲) (本小题满分 10 分) 已知 a , b , c 都是正数,且 a ? 2b ? 3c ? 6 ,求 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22. (本小题满分 10 分) 如图, 圆锥的高 PO ? 4 , 底面半径 OB ? 2 , 为 PO 的中点, E 为母线 PB 的中点, F 为底面 周上一点,满足 EF ? DE . (1)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 O ? DF ? E 的正弦值.

P

D



D

E

A

O F

B

23. (本小题满分 10 分) (1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的概率都是
0.5 ,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用 ? 表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数

差的绝对值,求 ? 的分布列和数学期望; (2)某城市有 n ( n 为奇数, n ? 3 )个景点,一位游客游览每个景点的概率都是 0.5 ,且该游 客是否游览这 n 个景点相互独立,用 ? 表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值, 求 ? 的分布列和数学期望.

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答案:

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