2014年深圳市二模数学(理科)试题 无答案


绝密★启用前

试卷类型:A

2014 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码 是否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学 校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴 条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂 的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原 来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的 答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、 错涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:如果事件 A , B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A , B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A) P( B) 如果柱体的底面积为 S ,高为 h ,那么柱体体积 V ? Sh . 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1.函数 y ? ln(x ? 1) 的定义域是 A. (?1 , 0) B. (0 , ? ?) C. (?1 , ? ?) D. R

2014.4

2.方程 1 ? z 4 ? 0 在复数范围内的根共有 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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2014 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

3.两条异面直线在同一个平面上的正投影不 可能是 . A.两条相交直线 C.两个点 B.两条平行直线 D.一条直线和直线外一点

4.在下列直线中,与非零向量 n ? ( A , B) 垂直的直线是 A. Ax ? By ? 0 C. Bx ? Ay ? 0 5.已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? A. B. Ax ? By ? 0 D. Bx ? Ay ? 0

1 x ?1

B.

1 x ?1

1 的图象关于原点对称,则 f ( x) 等于 x ?1 1 1 C. ? D. ? x ?1 x ?1

6.已知△ ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则角 A 等于 A.

π 6

B.

π 3

C.

2π 3

D.

5π 6

7.已知不等式 | y ? 4 | ? | y | ? 2 x ? A. 1 B. 2

a 对任意的实数 x , y 成立,则常数 a 的最小值为 2x
C. 3 D. 4

8.如图 1,我们知道,圆环也可以看作线段 AB 绕圆心 O 旋转一周所形成的平面图形, 又圆环的面积 S ? π( R 2 ? r 2 ) ? ( R ? r ) ? 2π ?

R?r . 2 所以,圆环的面积等于是以线段 AB ? R ? r 为宽,以 AB 中点绕圆心 O 旋转一周

所形成的圆的周长 2π ?

R?r 为长的矩形面积. 2

请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题: 若将平面区域 M ? {( x , y) | ( x ? d )2 ? y 2 ? r 2} (其中 0 ? r ? d ) 绕 y 轴旋转一周, 则所形成的旋转体的体积是 A. 2 π r d C. 2π rd
2 2

A
B. 2 π r d D. 2π rd
2 2 2 2

B
?O

R r

图1
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二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为 必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.如图 2,在独立性检验中,根据二维条形图回答: 吸烟与患肺病
900

开始 输入 N i = 1, M = 0 a = RND, b = RND 否 b< a ? 是

关系(填“有”或“没有” ) .
不患肺病 患肺病

300

不吸烟 吸烟

图2

10.在 (2 x ? 3 ) 4 的二项展开式中,含 x 3 项的系数 是
2

M = M+1 i = i+1




11.以抛物线 y ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心, 离心率为 2 的双曲线方程为 .
i>N ? 是

?0 ? x ? y ? 1 12.设变量 x , y 满足 ? ,则 x ? y 的取 ?y ? 1
值范围是 .

S?

M N

输出 S 结束

13.在程序中, x ? RND 表示将计算机产生的 [0 , 1]

图3

区间上的均匀随机数赋给变量 x . 利用图 3 所示的程序框图进行随机模拟, 我们发现: 随着输入 N 值的增加,输出的 S 值稳定在某个常数上.这个常数是 给出具体数值) . (要求

注:框图中的“=” ,即为“←”或为“: =” .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中, A ,B 分别是直线 3? cos? ? 4? sin ? ? 5 ? 0 和圆 ? ? 2 cos? 上的动点,则 A , B 两点之间距离的最小值是 15. (几何证明选讲选做题)如图 4,△ OAB 是等腰三角形, .

O

图4

P 是底边 AB 延长线上一点,且 PO ? 3 , PA ? PB ? 4 ,
则腰长 OA ? .

A
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B

P

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

π? ? 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos? ? x ? ? ,其中 x ? R , ? 为正常数. 6? ? ?π? (1)当 ? ? 2 时,求 f ? ? 的值; ?3?
?π? (2)记 f ( x ) 的最小正周期为 T ,若 f ? ? ? 1 ,求 T 的最大值. ? 3?

17. (本小题满分 12 分) 某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏,规则如下: 每人连续投掷 5 支飞镖,累积 3 支飞镖掷中目标即可获奖;否则不获奖.同时要求在 以下两种情况下中止投掷:①累积 3 支飞镖掷中目标;②累积 3 支飞镖没有掷中目标. 已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数 p ( p ? 0.5 ) ,且掷完 3 支飞镖就中止 1 投掷的概率为 . 3 (1)求 p 的值; (2)记小明结束游戏时,投掷的飞镖支数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

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18. (本小题满分 14 分) 如图 5,已知△ ABC 为直角三角形, ?ACB 为直角.以 AC 为直径作半圆 O ,使半圆

O 所在平面 ? 平面 ABC , P 为半圆周异于 A , C 的任意一点.
(1)证明: AP ? 平面 PBC ; (2)若 PA ? 1 , AC ? BC ? 2 ,半圆 O 的弦 PQ // AC ,求平面 PAB 与平面 QCB 所 成锐二面角的余弦值.

P

Q

A

?

O

C

图5

B

19. (本小题满分 14 分) 设等差数列 {an } 的公差为 d , S n 是 {an } 中从第 2n ?1 项开始的连续 2n ?1 项的和,即

S1 ? a1 ,
S2 ? a2 ? a3 , S3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 , ? Sn ? a2n?1 ? a2n?1 ?1 ? ? ? a2n ?1 ,
? (1)若 S1 , S 2 , S3 成等比数列,问:数列 {Sn } 是否成等比数列?请说明你的理由; (2)若 a1 ?

8 ?1 1 ? 15 1 1 1 1 d ? 0 ,证明: ? ? ??? ? ? ? n ? , n ? N *. 4 S1 S2 S3 S n 9d ? 2 4 ? 1 ?

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20. (本小题满分 14 分) 已知 a 为正常数,点 A , B 的坐标分别是 (?a , 0) , (a , 0) ,直线 AM , BM 相交于 点 M ,且它们的斜率之积是 ?

1 . a2

(1)求动点 M 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线; (2)当 a ? 2 时,过点 F (1 , 0) 作直线 l // AM ,记 l 与(1)中轨迹相交于两点 P ,

Q ,动直线 AM 与 y 轴交于点 N ,证明:

| PQ | 为定值. | AM | ? | AN |

21. (本小题满分 14 分) 设 f ( x) 是定义在 [a , b] 上的函数,若存在 c ? (a , b) ,使得 f ( x) 在 [a , c] 上单调递增, 在 [c , b] 上单调递减,则称 f ( x) 为 [a , b] 上的单峰函数, c 为峰点. (1)已知 f ( x) ?

b ? a 的最大值;

1 2 ( x ? 2 x)(x 2 ? 2 x ? 2t 2 ) 为 [a , b] 上的单峰函数,求 t 的取值范围及 4

? x 2 x3 x n ?1 p 3 x n ? 4 ? ?, x ? ? ? ? ? ? (2) 设 f n ( x) ? 2014 ? px ? ? 其中 n ? N * ,p ? 2 . ? 2 3 n ?1 n ? 4 ? ? ? ? 1? ①证明:对任意 n ? N * , f n ( x) 为 ?0 , 1 ? ? 上的单峰函数; p? ?

? 1? ②记函数 f n ( x) 在 ?0 , 1 ? ? 上的峰点为 cn , n ? N * ,证明: cn ? cn ?1 . p? ?

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