电荷的场强公式


电荷的场强公式

q 1.根据点电荷的场强公式 E ? 4?? r 2 ,有人说:当 r ? 0 0

1

时,场强 E ? ? ,这种说法对不对?为什么?

不对。点电荷模型认为R《r,实际上r不可能 趋于零。

2. 一点电荷q 位于一立方体中心,立方体边长为a,试问通 过立方体一面的电场强度通量是多少?若把这点电荷移到 立方体的一个顶角上,这时通过立方体每一个面的电场 强度通量是多少?

q 6? 0

0

q 24? 0

3. 在真空中的A、B两板,相距为d,面积为S,各带电+q、q,求两板间的作用力f。有人说有两种做法:一种做法应 q2 用库伦定律 f ? ;另一种做法 f ? E ? q ,因 2 4?? 0 d 2 ? q 为E ? , ? ? ,所以 f ? q 。这两种做法是否正确? ?0 S ?0s f应该如何计算?

?

q

q0

r

?

所以计算B板受到的电场力

qq0 f ? Eq0 ? 4??0 r 2 q E? 4??0 r 2
注意E是q产生的电场 而不是q、q0的叠加场

? E? 2? 0
q2 f ? Eq ? 2? 0 s

4.判断下列说法是否正确: a.如果高斯面上场强处处为零,则该面内必无电荷; b.如果高斯面内无电荷,则高斯面上场强处处为零; c.如果高斯面上场强处处不为零,则该面内必有净电荷; d.如果高斯面内有净电荷,则高斯面上场强处处不为零。
? ? ? ? ?

??? ? ? ? ? ? ?? ?? ?
? ?

? ? ? ? ? ?
? ?

? ? ? ?

?q

?

?q

o

?

5.判断下列说法是否正确: a.场强为零的地方,电势也一定为零;电势为零的地方, 场强一定为零; b.电势较高的地方,场强一定较大;场强较小的地方,电 势也一定较低; c.场强相等的地方,电势相同;电势相等的地方,场强也都 相等; d.带正电的物体,电势一定是正的;带负电的物体,电势 一定是负的;

?q

?

?q
a a

?

?q

?

?q
a

p Ep ? 0 U p ? 0

p

a

?

Ep ? 0 U p ? 0

E ? ??U

选择题: 1、一个带正电的粒子,在电场力作用下从A点出发经C运 动到B点,其运动轨迹如图。已知质点运动的速率是递减的, 下面关于C点场强方向的四个图示正确的是 ( )

D
C

E
C
A B

E
A

C

B A

C

B

B

E
A

E

A

B

C

D

C
a? an
a

B

A

E

2、一弯成半径为R的半圆形的细塑料棒,沿其上半部分均 匀分布电荷+Q,沿其下半部分均匀分布电荷-Q,则在环心 O处的电场强度的大小为 (A )

A.

Q

? 2? 0 R 2

;

B. 4?? R 2 ; 0
2q

Q

C

Q

? ?0R
2

; D.

Q 4?? 0 R
?

电荷线密度 ? ? ?r ,两个对称电荷

元 dq +, dq-,在圆心O处的合场强 为 dE = dΕ+ + dE - , ,dE -大小相等, dE +

? ?
?
?
?

?

?
? ?

O

dq = λdl = λrdθ
dE? ? dE? ?

dq

? dl 4?? 0 r 2

?

? rd? dE ? dE? cos? ? dE- cos? ? 2 ? cos? 2 4?? 0 r ? ? cos? d? 2?? 0 r

E ? ? dE ? ?
2 0

?

?

2 0

? cos ? d? 2?? 0 r

? ? ? (sin - sin 0) 2?? 0 r 2 ? q ? ? 2 2 2?? 0 r ? ? 0 r

3、如图所示,在点电荷+q 的电场中。若取图中p点处电势 为零,则M点的电势为 (D ) A.

q

4?? 0 a

;

B.

q

8?? 0 a

;

C.

?q

4?? 0 a
o
?q ?

;

D.

?q

8?? 0 a
M

.

VM ? ? E ? dl
M
a

P

a

P ?

a

?

x

1 1 VM ? ? ? dr ? ( ? ) 2 2 a 4?? r 4?? 0 2a a 0

q

q

4、在场强为E的均匀静电场中,取一半球面,其半径为R, 场强的方向和半球面的轴平行,则通过半球面的电场强度 通量φe 为 A 1 2 2 2 ? R2 ? E . A. ? R ? E ; B. 2? R ? E ; C. 2? R ? E ; D. 2 通过半球面的E通量大小与通过半 球面竖直方向投影的E通量相等
R

?e ? ? E ? d S ? ? R2 ? E

5、有一半径为b的圆环状带电导线,其轴上有两点P1 和P2 , 到环心的距离如图所示,设无限远处电势为零, P1 、 P2点 的电势分别为U1和U2,则U1/U2为

D

1 A. 3

;

B.

2 5

;

C.

1 2

;

D.

5 2

.

U ? ? dU ? ? 4?? 0 r1 Q U2 ? 4?? 0 r2 U1 ? Q

dq 4?? 0 r
b

? O

b

b

P1
.

P2

r ? R ?x
2

2

6、如图所示,在点电荷+q和-q所产生的电场中,a、b、c、 d为同一直线上等间距的四个点,若将一点电荷+q0由b点移 到d点,则电场力 ( A) A. 做正功; B. 做负功; C. 不做功; D. 不能确定。 电场力的功
a ?
b ?

W ? q0 ?Ub ? U d ?

?q

?q

c ?

d ?

Ub ? 0
Ud ? Ud ? ? Ud ? Ud ? 0

7、在均匀静电场中,下面哪种说法是正确的 (B ) A. 各点的电势相等; B. 各点电势梯度相等; C. 电势梯度沿场强方向增加; D. 电势梯度沿场强方向减少。

? ?V ?V ?V E ? ?? i? j? ?y ?z ? ?x ? ??V ? x, y, z ?

? k? ?

8、已知厚度为d 的无限大带电导体平板,两表面上电荷均 匀分布,电荷面密度均为σ,如图所示。则板外两侧电场 强度的大小为

2? ? A. E ? ; B. E ? ; 2? 0 ?0

C

? C. E ? ; D. E ? 0 ?0
? ?
p

.

E p ? E1 ? E2
? E1 ? 2? 0 ? E2 ? 2? 0
o

d

x

9、两个一样的真空电容器C1和C2连接如图。电源对电容器充电 后,即断开电键,然后在C1两极板之间充满电介质。则两极板 上所带的电量和两个极板之间的电场强度所发生的变化是 (B ) A. 电量变小,电场强度变大; B. 电量变大,电场强度变小; C. 电量变大,电场强度变大; D. 电量变小,电场强度变小. 在C1两极板之间充满电介质 则

E1 ? ? U1 ? (U1 ? E ? d )

Q E? ?S

C1

C2
K

?

?U 2 ? U1

电荷向C1移动

10、真空中有一均匀带电球体和一均匀带电球面,如果它 们的半径和所带的电量都相等,则它们的静电能之间的关 系是 ( B) A.球体的静电能等于球面的静电能; B.球体的静电能大于球面的静电能; C.球体的静电能小于于球面的静电能; D.球体内的静电能大于球面内的静电能;球体外的静电能 小于球面外的静电能。

应用

?

q ? Eds ?

i

?0

分析球体、球面内外场强

球面内 E=0 球面、球体外

球体内 E∝r

E?
?

q 4?? 0 r 2

静电能

W面 ? ? w外dV
R

W体 ? ? w内dV ? ? w外dV
0 R

R

?

E ? Ex ? 2? 2 dE sin ?
? 2?
?

二、填空题 1、如图所示为一沿轴线放置的无限长分段均匀导线,电荷 线密度分别是+λ( x<0 )和 – λ( x>0 ) ,则坐标平面上点 ? ( 0 , a )处的场强为 i 。 2?? 0 a y ?

2 0

dq ? dx 2 sin ? ? 2? sin ? 2 2 0 4?? r 4?? 0 r 0
dx ? a d? 2 cos ?

0

?

(0, a )
??
dq
?

?

??
dq

x

a r? cos ?
E ? 2?
?
2 0

x ? atg?

? sin ? d? 4?? 0 a

2、如图所示,电荷线密度为λ1 的无限长均匀带电直线,其 旁垂直放置电荷线密度为λ2 的有限长均匀带电直线AB,两 a?b 者位于同一平面内,则AB所受静电力为 ?1?2 ln 。 2?? 0 a 带电直线AB处在非匀强电场中, ?1 建立坐标ox,取微元dx,则
?2
dx

dF ? E ? dq ?1 E? 2?? 0 x dq ? ?2 dx
F ??
a ?b a

A

B

o
a

x
b

dF ? ?

a ?b

a

?1?2 dx 2?? 0 x

3、两块无限大的带电平行平板,其电荷面密度分别为σ (σ>0)及 -2σ ? ,如图所示。试写出各区域的电场强度。 3?,方 E ? ,方向 右 I区E的大小 。II区的E的大小 E? 2 ? 向 右 。III区E的大小 。 2? ? ,方向 左

E?

2?
I

?

?2?

Ea ? E? ? E?

Eb ? E? ? E?
Ec ? E? ? E?

II

III

o a

b

c x

? E? 2?

4、半径为的无限长均匀带电圆柱面,其电荷面密 度为σ,则该圆柱面内、外场强分布为E(r)= ? R (r>R) _____0_____ (r<R) ; E(r)= _______________ E?

?

S

q ? Ed S ?

? 0r

i

过圆柱面内任一点作圆柱形高斯面则

?0

E ? 2? r ? l ? 0 ? r ? R ?
过圆柱面外任一点作圆柱形高斯面则

? 2? Rl E ? 2? r ? l ? ?r ? R? ?0

5、如图所示,在点电荷+q和-q产生的电场中,将一点电荷 q0 q 。 +q0沿箭头所示路径由a点移至b点,则外力作功 W ?? 电场力的功
b

8?? 0l

W ' ? q0 ?U a ? Ub ?
Ua ? q 4?? 0l ? q 8?? 0l
?q

l
?q ?

? q0

Ub ? 0

?

a
l

l/2 l/2

q0 q W '? 8?? 0l
外力作功

q0 q W ?? 8?? 0l

6、把正电荷从P点移到Q点,则电场力作_负__功(填正或 负),它的电势能 增加 (填增加或减少) Q 点 的电势高。

P

?
G

? Q

7、已知静电场的电势函数 U=6x-6x2y-7y2 (SI),由场强与电 势梯度的关系可得( 2,3,0 )点处的电场强度E =__66___i+ ___66__ j+____0__ k (SI)。

?U Ex ? ? ? ?6 ? 12 xy ?X ?U Ey ? ? ? 6 x 2 ? 14 y ?y ?U Ez ? ? ?0 ?z

8、在一均匀电场中E=2V· m-1,,沿电场线的方向平行放一 长为3cm 的铜棒,则此棒两端的电势差为U= 0 。

等势体

9、已知空气的击穿场强为 3×106V· m-1,则处于空气中一个 半径为1m 的球形导体能达到的最高电势Umax 3×106V 。

球形导体的电势
电场强度

U?

q

4?? 0 R q E? 2 4?? 0 R

? 3 ?10

6

10、如图所示的电容器中充有两种各向同性均匀介质,其 相对介电常数分别为εr1和εr2 ( εr2=2εr1) ,则充电后介质1中 的电场能量密度是介质2中的电场能量密度的 2 倍。

电场能量密度

1 2 we ? ? E 2
? E2 ? ? r 2? 0

? r1 ?r2

? E1 ? ? r1? 0

三计算题: 两个均匀带电的金属同心球壳,内球壳半径R1=5.0cm, 带电q1=0.60×10-8C,外球壳的内半径R2=7.5cm,外 半径R3=9.0cm,所带总电量为q2=-2.00×10-8C。求距 离球心r1=3.0cm,r2=6.0cm,r3=8.0cm,r4=10.0cm各 点处的场强和电势。 由于静电感应,外球壳所带 的电量将有分部分布在球壳 的内表面
q2 '' q2 '

q1
1 2

q2 ' ? ?q1 ? ?0.6 ?10?8 C

3 4

过1、2、3、4分别做高斯面

?

s

q ? Ed s ?

i

?0

E1 ? 4? r ? 0 q1 2 4 E2 ? 4? r2 ? ? 1.5 ?10 V / m q '' q ' q 1 ?0 q1 ? q2 ' 2 E3 ? 4? r3 ? ?0 ?0 q1 ? q2 '? q2 '' 2 4 E4 ? 4? r4 ? ? ?1.26 ?10 V / m ?0
2 1
2 2

1

2

3 4

U1 ? ? E ? dl ? ? E2 ? dl ? ? E4 ? dl ? ?1.04 ?103V
r1 R1 R3

?

R2

?

U2 ? ? E ? dl ? ? E2 ? dl ? ? E4 ? dl ? ?1.22 ?103V
r2 r1 R3

?

R2

?

U3 ? ? E ? dl ? ? E4 ? dl ? ?1.40 ?103V
r3 R3

?

?

U4 ? ? E ? dl ? ? E4 ? dl ? ?1.26 ?103V
r4 r4

?

?

2. 两同轴圆柱面,半径分别为RA和RB,设内、外圆柱面带 等量异号电荷,电势差为UAB,求两圆柱面间任意一点的 场强。 由高斯定理

? E? 2?? 0 r

q q C? ? U A ? U B U AB

E?

q 2?? 0 rl

U AB E? RB r ln RA

2?? 0l C? RB ln RA 2?? 0l q? U AB RB ln RA

q ?? l

3. 有一平行板电容器极板面积为S,间距为d,将其接在 电源上,保持电压U不变,将极板向外拉开,使其距 离增加1倍,计算:(1)静电能的改变;(2)电场 对电源做的功;(3)外力对极板做的功。

解: (1)拉开前的能量 1 1 ? 0 S 2 ? 0 SU 2 2 We1 ? C1U ? U ? 2 2 d 2d 拉开后的能量 2 ? S ? SU 1 1 0 We 2 ? C2U 2 ? U2 ? 0 2 2 2d 4d 2

?W ? We 2 ? We1 ? ?

? 0 SU
4d

(2)因电源作的功为ΔQU,故电场对电源所作的功应为-ΔQU

A ? ??QU ? ? ?Q2 ? Q1 ?U ? ?Q1 ? Q2 ?U ?0S Q ? CU ? U d ?0S 2 A? U 2d
(3)外力对极板所作的功变成电场能的增量和电场对电源 所作的功,即

A ' ? ?W ? A ?

?0S
4d

U

2

4. 一平行板电容器的两极板间有两层均匀介质,一层电介质 的εr1=4.0 ,厚度d1=2.0mm,另一层电介质的εr1=2.0 ,厚 度d2=3.0mm ,极板面积为S=50cm2,两极板间电压 U=200V。计算: (1)每层介质中的电场能量密度;(2)每层介质中的总能 量;(3)用公式计算电容器的总能量。 解:设介电体中的场强分别为E1和E2,真空中的场强为E0

U ? E1d1 ? E2 d2
E1 ?

? r1

E0

E2 ?

?r2

E0

? r1? r 2U E0 ? ? r 2 d1 ? ? r1d 2

? r 2U ? r1U E1 ? E2 ? ? r 2 d1 ? ? r1d 2 ? r 2 d1 ? ? r1d 2

代入数据的εr1=4.0 ,d1=2.0mm,εr1=2.0 ,d2=3.0mm , U=200V得 E1 E2 能量密度:

1 2 ?2 3 w1 ? ? r1? 0 E1 ? 1.1?10 J / m 2 1 2 ?2 3 w2 ? ? r 2? 0 E2 ? 2.2 ?10 J / m 2
W1 ? w1Sd1 ? 1.11?10 J W2 ? w2 Sd 2 ? 3.31?10 J
?7 ?7

(2)设两种介电体中的能量分别为W1和W2

(3)总体可视为二电容器串联:

C1 ?

? r1? 0 S
d1

? 8.85 ?10?11 F

C2 ?

? r 2? 0 S
d2

? 2.95 ?10?11 F

C1C2 ?11 C? ? 2.21?10 F C1 ? C2
电容器总能量

1 W ? CU 2 ? 4.42 ?10?7 J 2


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