高中数学选修4-1相似三角形的判定及性质第二课时


第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.3 相似三角形的判定及性质
复习回顾

相似三角形的定义
对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相 似比(或相似的系数). 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的 延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.

判定定理1
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么 这两个三角形相似.

简述:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角 相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似

已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,且 引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 AD AE 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 ? 求证:DE//BC A 于三角形的第三边. AB AC 证明: 作 DE?//BC,交AC于E?
AD AE ' ? ? AB AC AD AE ? ? AB AC AE AE ' ? ? AC AC

D

E?

E

采用了“同一法” B 的间接证明

C

∴AE=AE? 因此E与点E?重合即DE?与DE重合, 所以 DE//BC

在探究数学问题的过程中,应当做到“步步有 据”。 有时,为了寻找某个步骤的推理依据,往往会产 生一个原命题的辅助问题.数学家把这种辅助问题 称为引理. 当直接证明比较困难时,用间接法.

“同一法”是一种间接证明方法. “同一法”证明问题时:先作出一个满足命 题结论的图形,
然后证明图形符合已知条件,确定所做图形与 提设条件所指的图形相同,

从而证明命题成立.

例3.如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD, 点E在△ABC外, ?EBC ? ?ABD, ?ECB ? ?DAB. 求证 : ?DBE ∽ ?ABC.
证明:在△DBE与△ABC中,

?DBE ? ?EBC ? ?CBD, ?ABC ? ?ABD ? ?DBC.

? ?ABD ? ?EBC, ? ?DBE ? ?ABC. (1)
又?EBC ? ?ABD, ?ECB ? ?DAB.

A

? ?ABD ∽ ?CBE.
BE BC BE BD ? ? .即 ? ? . (2) BD AB BC AB
B

D
C

由(1)(2)及判定定理2知 ?DBE ∽ ?ABC.

E

判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两 个三角形相似. 简述:三边对应成比例,两三角形相似

已知:如图,在△ABC和△A?B?C?中
求证: △ABC∽△A’B’C’

A?B? B?C ? C ?A? ? ? AB BC CA

A?

证明: 在△ABC的边AB(或延长线)上截取 AD=A?B?,过点D作DE//BC,交AC于点E.
AD DE EA ? ? AB BC CA

△ADE∽△ABC
DE B?C ? EA C ?A? ? ? , ? BC BC CA CA

B?
A
D

C?

∵ AD=A?B?

AD A?B? ? ? AB AB ? DE ? B?C?, EA ? C?A? A?B? B?C ? C ?A? ∴△ADE≌△A?B?C? ? ? ? AB BC CA B

E

∴△ABC∽△A?B?C?

C

例 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、 BC、CA、AB的中点. 求证:△DEF∽△ABC
证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
? EF ? 1 1 1 BC , FD ? CA, DE ? AB 2 2 2

A F E D C

EF FD DE 1 ? ? ? ? BC CA AB 2

B

∴△DEF∽△ABC

直角三角形相似的判定定理 定理
那么它们相似。
两边对应成比例及夹角相等 两角对应相等

(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,

(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比 例,那么它们相似。 类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的 另一个判定定理.

定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与
另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。 AC 0 AB 已知 : Rt ?ABC 和Rt ?A?B?C ?中.?C ? ?C? ? 90 . ? . A?B? A?C ?
A A?

求证 : Rt?ABC ∽ Rt?A?B?C?
AB AC ? ? k. 证明:设 A?B? A?C ? 那么,AB ? kA?B?. AC ? kA?C?.

? BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? k ( A?B? ? A?C ? ) ? k B?C ? . AB AC BC ? BC ? kB?C ?. ? A?B? ? A?C ? ? B?C ? ? k .
2 2 2 2 2

C?

B?

C

B

由判定定理 Rt?ABC ∽ Rt?A?B?C? 3得

2.相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应 角平分线的比都等于相似比;

(2)相似三角形周长的比等于相似比;
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A? A

B

D

C

B?

D?

C?

2.相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应 角平分线的比都等于相似比;

证明 : ?ABC ∽ ?A?B?C?
? ?B ? ?B?. ?D?B? ? 900. ? ?ADB ? ?A ? ?ABD ∽ ?A?B?D?. AD AB ? ? . A?D? A?B?
B? B

A

D

C

A?

D?

C?

2.相似三角形的性质
(2)相似三角形周长的比等于相似比;
A

证明 : ?ABC ∽ ?A?B?C?
? AB ? kA?B?. BC ? kB?C?. AC ? kA?C?.
AB ? BC ? CA ? A?B? ? B?C ? ? C ?A? k ( A?B? ? B?C ? ? C ?A?) ? ? k. A?B? ? B?C ? ? C ?A?
A?

AB AC BC ? ? ? ? k. A?B? A?C ? B?C ?

B

D

C

B?

D?

C?

(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

S ?ABC ? S ?A?B?C ?

1 BC ? AD BC AD 2 ? ? ? ? k ? k ? k 2. 1 B?C ? A?D? B?C ? ? A?D? 2

A? A

B

D

C

B?

D?

C?

例 如图,已知AD、BE分别是△ABC中BC边 和AC边上的高,H是AD、BE的交点

求证:(1)AD?BC=BE?AC (2)AH?HD=BH?HE

分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD

例6.如图,锐角三角形ABC是一块钢板的余料,边 BC=24cm,BC边上的高AD=12cm.要把它加工成 正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶 点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长.
解:设正方形PQMN为加工成 的正方形零件.边QM在BC上, 顶点P,N分别在AB,AC上. △ABC的高与边PN相交于点 E.设正方形的边长为xcm. ? PN // BC
A P E

N
x

? ?APN ∽ ?ABC 12 ? x x AE PN ? ? ? ? 12 24 AD BC

B

Q

D

M

C

x ? 8(cm )

思考:

相似三角形中的高,中线,内角平分线, 周长,面积等要素都与相似比有关.
那么,与三角形有关但不在三角形内的

其他元素是否与三角形的相似比有联系呢? 你想到哪些元素?
三角形的外接圆和内接圆

结论:两个相似三角形的外接圆的直径比,周长比 问题1 两个相似三角形的外接圆的直径比,周长 等于相似比;面积比等于相似比的平方。 比,面积比与相似比有什么关系?
探究:∵∠C=∠C′而∠D=∠C ∠D′=∠C′ ∴∠D=∠D′, ∴Rt△ABD ∽ Rt△A′B′D′
AD AB ? ? ? k. A?D? A?B? AD ? ?O的周长 ? 2? ? ? ? ? AD 2 A?D? ?O?的周长 ? 2? ? ? ? ? A?D? 2
O B D C A?
O?

A

B?

C? D?

?O周长 AD ? ? ? k. ?O?周长 A?D?

AD 2 ?( ) ?O面积 2 ? ? ? k 2. ?O?面积 ? ( A?D? ) 2 2

问题2 两个相似三角形的内切圆的直径比,周长 比,面积比与相似比有什么关系?
结论:两个相似三角形的内切圆的直径比,周长比 等于相似比;面积比等于相似比的平方。

R

r

习题 1.3

5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边 AD,BE与CF交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
A E H D

F

B

C

BH BC AD AG ? ? ? EH EF EF EG
预备定理 定义 引理

G

习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC.求证:△DEF∽△ABC.
三边对应成比例 A F

D
B E O F C B

E
A

D

C △ACD∽△BCE.

7.△ABC是钝角三角形,AD,BE,CF分别是三条高. 求证:AD· BC=BE· AC

习题 1.3

10.如图,平行四边形ABCD中,AE︰EB=1︰2 求:△AEF与△CDF的周长比;

如果△AEF的面积等于6cm? 求△CDF的面积. ,
D C

F

A

E

B

1.相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比;

作业:
1、如果一个圆过△ABC的顶点B和C,并且分 别交AB、AC于点D和点E。
AD AE 求证: AC ? AB

2、已知E是圆内接四边形ABCD的对角线BD上 的一点,并且∠BAE=∠CAD, 求证: (1) AB ? CD ? AC ? BE (2) AD ? BC ? AC ? ED
3、已知:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,AB=a, AC=b,A′B′=a′,当 A′C′为多少时, △ABC∽△A′B′C′?
2.相似三角形周长的比等于相似比;3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;

1.相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比;

4、已知△ABC,求作△A′B′C′,使它与△ABC相似,并 且△ABC和△A′B′C′的相似比为2:3。

5、如图,线段EF平行于平行四
边形ABCD,的一边AD,BE与 CF交于一点G,AE与DF交于一 B 点H,求证:GH∥AB 6、如图:已知DE∥AB, EF∥BC。

G A E F C

D

H
A D B

O F

E

求证:△DEF∽ △ABC

C 2.相似三角形周长的比等于相似比;3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;

1.相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比;

7、如图, △ABC是钝角三角形,AD、BE、

CF分别是△ABC的三条高,
求证: ? BC ? BE ? AC AD
F E A

B

D

C

2.相似三角形周长的比等于相似比;3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;

小结
判定定理1
相 似 三 角 形 的 概 念

判定定理2

预备定理 直角三角形判定定理
判定定理3


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