第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系


2009~2013 年高考真题备选题库 第八章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系
) 1. (2013 江西,5 分)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A,B 两点,O 为 坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( A. 3 3 3 3 B.- 3 3

C.±

D.- 3

解析:本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系,意 在考查考生的数形结合的数学思想及运算能力.由 y= 1-x2

得 x2+y2=1(y≥0),即该曲线表示圆心在原点,半径为 1 的半 1 1 圆,如图所示.故 S△AOB= |OA|· |OB|· sin ∠AOB= sin ∠AOB. 2 2 所以当 sin ∠AOB=1, 即 OA⊥OB 时, S△AOB 取得最大值, 此时点 O 到直线 l 的距离 d=|OA|· sin 45° = 2 2 .设此时直线 l 的斜率为 k,则方程为 y=k(x- 2),即 kx-y- 2k=0,则有 = 2 2
2

|0-0- 2k|

3 3 ,解得 k=± ,由图可知直线 l 的倾斜角为钝角,故取 k=- . 3 3 k +1

答案:B 2. (2013 山东, 4 分) 过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦, 其中最短弦的长为________. 解析:本题主要考查直线与圆的位置关系,考查数形结合思想和运算能力.最短弦为过 点(3,1),且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦,易知弦心矩 d= ?3-2?2+?1-2?2= 2,所以 最短弦长为 2 r2-d2=2 22-? 2?2=2 2. 答案:2 2 3. (2013 江苏, 14 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(0,3), 直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切 线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M, 使 MA=2MO, 求圆心 C 的横坐标 a 的取 值范围. 解:本题考查直线与圆的方程,两直线交点和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关 系,意在考查学生用待定系数法处理问题的能力和用代数法处理几何性质的能力.

(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率 必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意, |3k+1|
2

3 =1,解得 k=0 或- , 4 k +1

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以 x2+?y-3?2=2 x2+y2,化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即 1≤ a2+?2a-3?2≤3. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ 12 . 5

12 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 0, . 5 4. (2012 天津,5 分)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y- 1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3 ] B.(-∞,1- 3 ]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2 ] D.(-∞,2-2 2 ]∪[2+2 2,+∞) 解析: 由题意可得 ?m+n?2 = 1 , 化简得 mn = m + n + 1 ≤ , 解得 m+n≤2 4 ?m+1?2+?n+1?2 |m+n| )

-2 2或 m+n≥2+2 2. 答案:D 5. (2012 陕西,5 分)已知圆 C:x2+y2-4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 C.l 与 C 相离 B.l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能 )

解析:把点(3,0)代入圆的方程的左侧得 32+0-4×3=-3<0,故点(3,0)在圆的内部,所 以过点(3,0)的直线 l 与圆 C 相交. 答案:A 6. (2011 江西,5 分)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不 同的交点,则实数 m 的取值范围是( )

A.(- C.[-

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3

B.(-

3 3 ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 )∪( ,+∞) 3 3

D.(-∞,-

解析:整理曲线 C1 方程得,(x-1)2+y2=1,知曲线 C1 为以点 C1(1,0)为圆心,以 1 为半 径的圆;曲线 C2 则表示两条直线,即 x 轴与直线 l:y=m(x+1),显然 x 轴与圆 C1 有两个交 |m?1+1?-0| 3 点, 知直线 l 与 x 轴相交, 故有圆心 C1 到直线 l 的距离 d= <r=1, 解得 m∈(- , 2 3 m +1 3 ),又当 m=0 时,直线 l 与 x 轴重合,此时只有两个交点,应舍去. 3 答案:B 7. (2012 江苏,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0, 若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 解析:设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d,则 d= d≤2,即 d= 4 答案: 3 8. (2009 山东,4 分)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________. 解析:依题意可设圆心坐标为(a,0),a>0, |a-1| 则半径为|a-1|,圆心到直线 l 的距离为 ,根据勾股定理可得, 2 |a-1| 2 ( ) +( 2)2=|a-1|2, 2 解得 a=3 或 a=-1(舍去),所以圆 C 的圆心坐标为(3,0), 则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 9. (2010 江苏,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点 到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 解析:因为圆的半径为 2,且圆上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1, 即要求圆心到直线的距离小于 1, 即 |c| <1, 12 +?-5?2
2

|4k-2|

,由题意知问题转化为 k2+1

|4k-2|
2

4 4 ≤2,得 0≤k≤ ,所以 kmax= . 3 3 k +1

解得-13<c<13.

答案:(-13,13) 10.(2009 江苏,16 分)(本小题满分 16 分)(2009· 江苏高考)在 平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2: (x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等.试求所 有满足条件的点 P 的坐标. 解:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交, 所以直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截 得的弦长为 2 3, 所以 d= 22-? 3?2=1. |1-k?-3-4?| 由点到直线的距离公式得 d= , 1+k2 7 从而 k(24k+7)=0,即 k=0 或 k=- , 24 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0. (2)设点 P(a,b)满足条件, 不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0, 1 则直线 l2 的方程为 y-b=- (x-a). k 因为圆 C1 和 C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长 相等, 所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等,即

?5+1?4-a?-b? k ? |1-k?-3-a?-b| ?
1+k2 = 1 1+ 2 k



整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5, 因为 k 的取值有无穷多个,所以
?a+b-2=0, ?a-b+8=0, ? ? ? 或? 解得 ?b-a+3=0, ? ? ?a+b-5=0,

?a=2, ? 1 ?b=-2,

5

?a=-2, 或? 13 ?b= 2 .

3

5 1 3 13 这样点 P 只可能是点 P1( ,- )或点 P2(- , ). 2 2 2 2 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.

考点二

圆与圆的位置关系
)

1. (2013 重庆,5 分)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M, N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17

解析:本题考查与圆有关的最值问题,意在考查考生数形结合的能力.两圆的圆心均在 第一象限, 先求|PC1|+|PC2|的最小值, 作点 C1 关于 x 轴的对称点 C1 (2, -3), 则(|PC1|+|PC2|)min =|C1 C2|=5 2,所以(|PM|+|PN|)min=5 2-(1+3)=5 2-4. 答案:A 2. (2012 山东,5 分)圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( A.内切 C.外切 B.相交 D.相离 )
′ ′

解析:两圆的圆心距离为 17,两圆的半径之差为 1、之和为 5,而 1< 17<5,所以两圆 相交. 答案:B 3. (2011 江西,5 分)如右图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动, M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端 点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出 的图形大致是( )

解析:如图,建立直角坐标系,由题意可知,小圆 O1 总与大圆 O 相内切,且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.设某时刻两圆相切于点 A, 此时动点 M 所处位置为点 M′,则大圆圆弧 AM 的长与小圆圆弧

AM ? 的长之差为 0 或 2π.切点 A 在三、四象限的差为 0,在一、二象

限的差为 2π. 以切点 A 在第三象限为例,记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1,记∠AOM=θ,则 ∠OM1O1=∠M1OO1=θ,故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ.大圆圆弧 AM 的长为 l1= θ×2=2θ,小圆圆弧 AM 的长为 l2=2θ×1=2θ,则 l1=l2,即小圆的两段圆弧 AM ? 与 AM 1 的长相等,故点 M1 与点 M′重合,即动点 M 在线段 MO 上运动,同理可知,此时点 N 在线 段 OB 上运动.点 A 在其他象限类似可得,故 M,N 的轨迹为相互垂直的线段. 观察各选项知,只有选项 A 符合 答案:A 4.(2009· 天津,4 分)若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________. 1 解析:两圆方程作差易知弦所在直线方程为:y= , a 如图,由已知|AC|= 3, |OA|=2. 1 有|OC|= =1,∴a=1. a 答案:1


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