第三章 空间向量与立体几何


第三章

空间向量与立体几何

§3.1 空间向量及其运算 §3.1.1 空间向量的线性运算
一、 空间向量的概念 1、空间向量:空间中既有 2、空间向量的表示: AB = a 3、零向量: 记作: 4、向量的模(长度) : 5、向量的基线:表示向量的有向线段所在的直线 6、相等向量: 7、 共线向量 (平行向量) : 基线互相 或 记作: 规定:零向量与任意向量平行。 二、 空间向量的线性运算 a 已知向量 a , b 1、 加法 又有 的量 ( A ) ( B )

记作:

的向量叫做共线向量或平行向量。

b

a ? b ? OA ? AB ? a ? b ? OA ? OB ?

(三角形法则) (平行四边形形法则)

注:若 M 为 OAB 的边 AB 的中点,则 OA ? OB ? 2、 减法

a ? b ? a ? (?b) ? OA ? AB ?
即 a ? b ? OA ? OC ? 3、 数乘 (1) | ? a |? (2) ? ? 0 时, ? a 与 a 方向 向 注: 三、 ;

?
(三角形法则)

; ? ? 0 时, ? a ?

; ? ? 0 时, ? a 与 a 方

? a / /a
空间向量运算律

(1) 加法交换律: (2) 加法结合律: (3) 分配律: 四、 例题 例 1 已知平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? ,化简下列向量表达式 (1) AB ? AD ? AA? ; (2) DD? ? AB ? BC ; (3) AB ? AD ?

1 ( DD? ? BC ) 2

注:三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量。 例 2 M , N 分别是四面体 ABCD 的棱 AB, CD 的中点,求证: MN ?

1 ( AD ? BC ) 2

五、 六、

练习:课本 81 页练习 A 第 3 题;练习 B 第 1,2,3 题 作业课时十七

§3.1.2 空间向量的基本定理
一、 共线向量定理 ) , a / / b 的充要条件是存在唯一的实数 x ,使 两个空间向量 a , b (

例 1 四边形 ABCD, ABEF 都是平行四边形,且不共面,M , N 分别是 AC, BF 的中点,判断

CE , MN 是否共线

二、

共面向量定理

1、 共面向量定理:平行于同一平面的向量,叫做共面向量。 2、 共面向量定理:如果 a , b 不共线,则向量 c 与向量 a , b 共面的充要条件是,存在唯一的 一对实数 x, y ,使 例 2 已知斜三棱柱 ABC ? A?B?C ? , 设 AB ? a, AC ? b, AA? ? c , 在面对角线 AC ? 上和棱 BC 上 分别取点 M , N ,使 AM ? k AC?, BN ? kBC(0 ? k ? 1) ,求证: MN 和向量 a, c 共面。

三、

空间向量分解定理

如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ,使

p ? xa ? yb ? zc ,其中 {a, b, c} 叫做空间的一个

, a, b, c 叫做



例 3 已知平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? ,设 AB ? a ,AD ? b,AA ? ? c ,试用基底 {a, b, c} 表示 以下向量: AC?,BD,CA?, DB?

例 4 已知空间四边形 OABC 中, M , N 分别是对边 OA, BC 的中点 , 点 G 在 MN 上,且

MG ? 2GN , 设 OA ? a, OB ? b, OC ? c ,试用基底 {a, b, c} 表示向量 OG

四、练习:课本 85 页练习 A,练习 B 五、作业:课时十八

§3.1.3 两个向量的数量积
一.两个向量的夹角

a

b

已知两个非零向量 a , b ,在空间中任取一点 O ,作 OA ? a , OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量 a ,

b 的夹角,记作
规定: ? a, b ??

.

(1) a , b 方向相同时, ? a, b ?? (2) a , b 方向相反时, ? a, b ?? (3) a , b 垂直时, ? a, b ?? 注:找两向量的夹角必须同起点 二.异面直线 1、 异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线 2、 异面直线所成的角:平移两条异面直线到同一个平面内,两条直线所成的 叫做两条异面直线所成的角 .如果两条异面直线所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂 直. 规定:异面直线所成角的取值范围是 例 1 正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,求下列向量的夹角

? ? (3) AB与A?D? ; (1) AB与AC? ; (2) AB与C A ;
? ? ? ? ? ? ? (4) AB与B A ;(5) AC与B A ;(6) A C 与CD

注:设直线 AB 与 CD 所成的角为 ? ,则 cos ? 三、两个向量的数量积 空间两个向量 a , b 一定可以平移到同一平面内 1、 定义:

cos ? AB, CD ?

a ? b ?| a || b | cos ? a, b ? 叫做两个空间向量 a , b 的数量积(或内积) ,它是一个实数.
2、 性质: (1) (3) 3、运算律: (1) (2) (3) (2) (4)

例 2 长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, AB ? AA? ? 2, AD ? 1, E 为侧面 AB? 的中心, F 为 A?D ? 的 中点,计算下列数量积: (1) BC ? ED? ;(2) BF ? AB? ;(3) EF ? FC?

例 3 已知 | a |? 2 2,| b |?

2 , a ? b ? 2 ,求 ? a, b ? 2

四、练习:课本 88 页练习 A 练习 B 四、 作业:课时作业十九

§3.1.3 空间向量的直角坐标运算
一、空间向量的直角坐标运算

a ? (a1, a2 , a3 ),b ? (b1, b2 ,b3 )
1. a ? b ? 2.

?a ?

3. a ? b ? 注:1. P( x, y, z), 则 OP ? 2. A(x1 , y1 , z1 ), B ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? 二、空间向量平行和垂直的条件 1. a / /b(b ? 0) ? 2. a ? b ? 或 或 或

三、两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式

a ? (a1, a2 , a3 ),b ? (b1, b2 ,b3 ) ,则
| a |? | b |?
? ?

cos ? a, b ??

?

注: 1. A(x1 , y1 , z1 ), B ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 | AB |? 四、例题 例 1 已知向量 a ? (1,1,0), 求 p ,q , p?q

b ? ( 0 , 1, 1 c)? , (1,0,1), p ? a ? b,

q ? a ?2 b ? , c

例 2 已知向量 a ? (?2,2,0),

n 使n ? a 且 b? ( ? 2 , 0 , 求一个向量 2),

n?b

例 3 已知 A(1,1,0), B ? (0,3,0),C(2, 2,3) , 求(1) cos ? AB, AC ? ; (2) AC 在 AB 上正投影的数量积


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