【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第一章 三角函数 1.2.3.1


阶 段 一

阶 段 三

1.2 1.2.3
阶 段 二

任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式(一~四)
学 业 分 层 测 评

第 1 课时

1.能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一~四.(难点) 2.掌握诱导公式一~四,会运用诱导公式化简、求值与证明.(重点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 诱导公式(一)

阅读教材 P18“公式一”的有关内容,完成下列问题. 终边相同的角的诱导公式(公式一):
sin α (k∈Z); sin(α+2kπ)=_______ cos α (k∈Z); cos(α+2kπ)=_______ tan α (k∈Z). tan(α+2kπ)=_______

25π 9π (1)sin =________;(2)cos =________; 6 4
? 7π? ? - (3)tan? ? ?=________. 4 ? ?

【解析】

? π? 25π π 1 ? ? (1)sin =sin?4π+6?=sin = . 6 6 2 ? ?

? π? 9π π 2 ? ? (2)cos =cos?2π+ ?=cos = . 4? 4 4 2 ? ? 7π? ? π? π ? ? ? ? (3)tan?- ?=tan?-2π+ ?=tan =1. 4? 4? 4 ? ?

1 2 【答案】 (1) (2) (3)1 2 2

教材整理 2

诱导公式(二)

阅读教材 P18“公式二”的有关内容,完成下列问题. 终边关于 x 轴对称的角的诱导公式(公式二):
-sin α ; sin(-α)=________

cos α ; cos(-α)=_______ -tan α tan(-α)=________.

? π? ? - (1)sin? ? 3?=________;(2)cos ? ?

330° =________;

? π? ? - (3)tan? ? 4?=________. ? ? ? π? π ? ? 【解析】 (1)sin?- ?=-sin =- 3 ? 3?

3 . 2

3 (2)cos 330° =cos(360° -30° )=cos(-30° )=cos 30° = . 2 ? π? π ? ? (3)tan?-4?=-tan =-1. 4 ? ?

3 3 【答案】 (1)- (2) (3)-1 2 2

教材整理 3

诱导公式(三)

阅读教材 P19“公式三”的有关内容,完成下列问题. 终边关于 y 轴对称的角的诱导公式(公式三):

sin α ; sin(π-α)=_______

-cos α ; cos(π-α)=________
-tan α tan(π-α)=________.

5π 3 (1)sin =________;(2)cos π=________; 6 4 (3)tan 1 560° =________. ? π? 5π π 1 ? ? 【解析】 (1)sin =sin?π-6?=sin = . 6 6 2 ? ?
? π? 3π π 2 ? ? (2)cos =cos?π-4?=-cos =- . 4 4 2 ? ?

(3)tan(4×360° +120° )=tan 120° =tan(180° -60° ) =-tan 60° =- 3. 1 2 【答案】 (1) (2)- (3)- 3 2 2

教材整理 4

诱导公式(四)

阅读教材 P19“公式四”的有关内容,完成下列问题. 终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四):

-sin α ; sin(π+α)=________
-cos α ; cos(π+α)=________
tan α tan(π+α)=______.

7π (1)sin 225° =________;(2)cos =________; 6 10π (3)tan =________. 3

2 【解析】 (1)sin 225° =sin(180° +45° )=-sin 45° =- . 2
? π? 7π π 3 ? ? (2)cos =cos?π+6?=-cos =- . 6 6 2 ? ?

? π? 10π ? (3)tan =tan?2π+π+3? ? 3 ? ? ? π? ? =tan?π+ ? 3? ? ?

π =tan = 3. 3
2 3 【答案】 (1)- (2)- (3) 3 2 2

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
给角求值

求下列各式的值: 4π 19π 21π (1)sin · cos · tan ; 3 6 4 (2)cos(-2 640° )+sin 1 665° ; 1+2sin 290° cos 430° (3) . 【导学号:06460012】 sin 250° +cos 790°

【精彩点拨】 再求值.
【自主解答】

利用诱导公式先把任意角的三角函数化为锐角三角函数,
? ? ? π? 7π? 5π? ? ? ? ? ? (1)原式=sin?π+ ?· cos?2π+ ?· tan?4π+ ? 3? 6? ? 4? ? ? ?

?π? ?7π? ?5π? ? ? ? ? ? =-sin? ?cos? ?tan? ?4? ?3? ?6? ? ? ? π? π? 3 ? ? ? ? =- cos?π+6?tan?π+4? ? 2 ? ? ? ? ? π? π? 3? ? ?? =- ?-cos6??tan4? ? 2? ?? ?

3 ? 3 3? ? ? =- ×?- ?×1= . 2 ? 2? 4

(2)原式=cos[240° +(-8)× 360° ] +sin(225° +4×360° )=cos 240° +sin 225° =cos(180° +60° )+sin(180° +45° ) 1+ 2 =-cos 60° -sin 45° =- . 2 1+2sin?-70° +360° ?cos?70° +360° ? (3)原式= sin?180° +70° ?+cos?70° +2×360° ? 1-2sin 70° cos 70° ?sin 70° -cos 70° ?2 = = cos 70° -sin 70° cos 70° -sin 70° sin 70° -cos 70° = cos 70° -sin 70° =-1.

利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤:

[ 再练一题] 1.求下列各三角函数式的值: (1)sin 1
? 31π? ? - 320° ;(2)cos? ). ? ?;(3)tan(-945° 6 ? ?

【解】 (1)sin 1 320° =sin(4×360° -120° ) =sin(-120° )=-sin(180° -60° ) 3 =-sin 60° =- . 2

? 31π? ? ? 5π? π? ? ? ? ? ? (2)cos?- 6 ?=cos?-6π+ 6 ?=cos?π-6? ? ? ? ? ? ? ?

π 3 =-cos =- . 6 2 (3)tan(-945° )=-tan 945° =-tan(225° +2×360° )=-tan 225° =-tan(180° +45° )=-tan 45° =-1.

化简求值

化简下列各式: cos?π+α?· sin?α+2π? (1) ; sin?-α-π?· cos?-π-α? cos 190° · sin?-210° ? (2) . cos?-350° ?· tan?-585° ?

【精彩点拨】 利用诱导公式一,二,四将函数值化为 α 角的三角函数值 或锐角的三角函数值,再约分化简.

【自主解答】

?-cos α?· sin α (1)原式= -sin?α+π?· cos?π+α?

-cos α· sin α = =1. sin α· ?-cos α? cos 190° · ?-sin 210° ? (2)原式= cos 350° · ?-tan 585° ? cos?180° +10° ?· sin?180° +30° ? = cos?360° -10° ?· tan?360° +225° ? ?-cos 10° ?· ?-sin 30° ? = cos 10° · tan 225° sin 30° sin 30° 1 = = = . tan 45° 2 tan?180° +45° ?

1.三角函数式的化简方法: (1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函 数. (2) 常用 “ 切化弦 ” 法 , 即表达式中的切函数通常化为弦函 数. 2.含有 kπ+α 的三角函数式的化简: 用诱导公式进行化简,碰到 kπ+α 的形式时,常对 k 分奇数、 偶数进行讨论,其目的在于将不符合诱导公式条件的问题,通过 分类使之符合条件,达到能利用公式的目的.

[ 再练一题] sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] 2. (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?
【解】 (1)当 k=2n(n∈Z)时, sin?2nπ-α?cos[?2n-1?π-α] 原式= sin[?2n+1?π+α]cos?2nπ+α? sin?-α?· cos?-π-α? = sin?π+α?· cos α -sin α· ?-cos α? = =-1; -sin α· cos α

当 k=2n+1(n∈Z)时, 原式= sin[?2n+1?π-α]· cos[?2n+1-1?π-α] sin[?2n+1+1?π+α]· cos[?2n+1?π+α] sin?π-α?· cos α sin α· cos α = = sin α· cos?π+α? sin α· ?-cos α? =-1.综上,原式=-1.

[ 探究共研型]
给值求值问题

探究 1 “α-15° ”与“165° +α”间存在怎样的关系?你能用 α-15° 表示 “165° +α”吗?

【提示】 由 165° +α-(α-15° )=180° 可知 165° +α=180° +(α-15° ). 探究 2 若 tan(α-15° )=-1,则 tan(165° +α)等于多少?
【提示】 由探究 1 可知 tan(165° +α)=tan[180° +(α-15° )] =tan(α-15)° = -1.

求值. (1)已知
?π ? 1 ? ? sin? +α?=- ,求 2 ?3 ? ?π ? ? cos?6+α? ?= ? ? ? 5π? ? sin?α- ? ?的值. 3 ? ?

?7π ? 3 ? (2)已知 ,求 cos? 6 +α? ?的值. 3 ? ? ?π ? ? 5π? ? ? ? 【精彩点拨】 (1)? +α?-?α- ? ?=2π; 3 3 ? ? ? ?
?7π ? ?π ? ? ? ? (2)? 6 +α?-?6+α? ?=π. ? ? ? ?

【自主解答】

? ? π? 5π? ? ? ? (1)∵?α+3?-?α- 3 ? ?=2π, ? ? ? ?

?? ? ? π? 5π? ?? ? ? ? ∴sin?α- 3 ?=sin??α+3?-2π? ? ?? ? ? ? ? ? π? 1 ? ? =sin?α+3?=- . 2 ? ? ? ? 7π? π? ? ? ? (2)∵?α+ 6 ?-?α+6? ?=π, ? ? ? ? ? ? ? ?7π ? π? ? ? ?? ? ? ∴cos? +α?=cos?π+?α+6?? ? ? ?? ?6 ? ?π ? ? =-cos? +α? ?=- 6 ? ?

3 . 3

对于给值求值问题, 要注意观察题目条件中的角与所求问题 中的角之间的联系,然后选择恰当的诱导公式进行转化,一般采 用代入法求值.

[ 再练一题] 3.已知
?π ? ? cos?6-α? ?= ? ? ?5 ? 3 π ? ? 2 ,求 cos?6π+α?-sin α- 的值. 3 6 ? ?

【解】

?5 ? ? π? ? ? 2? cos?6π+α?-sin ?α-6? ? ? ? ? ?

? ?π ?? ? ? ? ? ?? 2?π =cos?π-?6-α??-sin ?6-α? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?π ? ? 2?π ? ? ? ? =-cos?6-α?-?1-cos ?6-α? ?? ? ?? ? ? ?

=cos
? =? ? ?

2?π

? ? ?π ? ? ? ? - α - α - cos ?6 ? ?6 ?-1 ? ? ? ?

2+ 3 3 3? ?2 - -1=- . 3 3 3? ?

[ 构建· 体系]

1.sin 585° =________.
【解析】 sin 585° =sin(360° +225° )=sin 225° 2 =sin(180° +45° )=-sin 45° =- . 2 2 【答案】 - 2

23π 2.tan =________. 6
? ? π? π? 23π ? ? ? - 【解析】 tan =tan?4π- ?=tan? ? 6? 6? 6 ? ? ?

π 3 =-tan =- . 6 3

3 【答案】 - 3

3.sin2(2π-α)+cos(π+α)cos(π-α)+1=________.
【解析】 原式=sin2α+cos α· cos α+1 =1+1=2.

【答案】 2 4.化简:sin(-α)cos(π+α)tan(2π+α)=________.
【解析】 原式=(-sin α)· (-cos α)· tan α =sin2α.

【答案】 sin2α

3 5.已知 sin(π+α)= ,且 α 是第四象限角,求 cos(α-2π)的值. 5

3 3 【解】 ∵sin(π+α)= ,∴sin α=- , 5 5 又 α 是第四象限角, ∴cos α= 1-sin α= 4 ∴cos(α-2π)=cos α= . 5
2

【导学号:06460013】

? 3? ? ?2 4 1-?-5? = , 5 ? ?

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________

学业分层测评(五)
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