2.1.2用椭圆的简单几何性质(2)


2.1.2椭圆的简 单几何性质(2)
高二数学 选修1-1

第二章

圆锥曲线与方程
1

复习练习:
1.椭圆的长短轴之和为18,焦距为6,则椭圆 的标准方程为( C ) 2 2 2 2 x y x y A. ? ? 1. B. ? ? 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. ? ? 1或 ? ? 1. D. ? ?1 25 16 16 25 16 25
2、下列方程所表示的曲线中,关于x轴和y 轴 都对称的是( D ) A、x2=4y B、x2+2xy+y=0 C、x2-4y2=x D、9x2+y2=4

2

练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则其离心率

2 2



2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角
形,则其离心率为
1 2



3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分,则其

离心率为

1 3



3

4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列, 3 则其离心率e=__________ 5 5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于 四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组 成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率 3 ? 1。
点P是椭圆 6、
x2 a2

(±a,0) 时, ? b2 ? 1上的动点,当P的坐标为??????????

y2

a ;当P的坐标为(0, ±b) P到原点O的最大距离为?????????? ???????时,

b P到原点O的最小距离为------------;设F ( 1 c,0),则当P的
(-a,0) 时, a+c ;则当P的 坐标为---------PF1 的最大值为?????????

(a,0) 时, a-c 。 坐标为---------PF1 的最小值为?????????
4

已知BC ? F1 F2 , F1 B ? 2.8cm, F1 F2 ? 4.5cm, 求截口BAC所在椭圆的方程。

例5 如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕 其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分。过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一 个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线,经过旋转椭圆面反 射后集中到另一个焦点F2.
y B A F1 C o F2 x

解:建立如图所示的直角坐标系, x2 y 2 设所求椭圆方程为 ? 2 ? 1. 2 a b 2 2 在Rt?BF1 F2中, F2 B ? F1 B ? F1 F2 ? 2.82 ? 4.52

由椭圆的性质知, F1B ? F2 B ? 2a, 所以

1 1 a ? ( F1 B ? F2 B ) ? (2.8 ? 2.82 ? 4.52 ) ? 4.1 2 2

b ? a ?c ?
2 2

x2 y2 4.1 ? 2.25 ? 3.4 ? 所求的椭圆方程为 2 ? 52 ? 1 4.1 3.4
2 2

例6 点M ( x, y )与定点F (4,0)的距离和它到直线 25 4 l : x ? 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹。 4 5
y l M o d H x

25 解:设d是点M到直线l : x ? 的距离,根据题意, 4 ? ? MF 4 ? ? 点M的轨迹就是集合P ? ?M ? ?, d 5? ? ? ? ( x ? 4) ? y 2 4 由此得 ? . 25 5 ?x 4

F

将上式两边平方,并化简,得9 x 2 ? 25 y 2 ? 225,

x2 y 2 即 ? ?1 25 9
所以,点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
8

若点M ( x, y )与定点F (c, 0)的距离和它到定直线 探究:

a2 c l : x ? 的距离的比是常数 (a ? c ? 0),求点M的轨迹。 c a
思考上面探究问题,并回答下列问题: (1)用坐标法如何求出其轨迹方程,并说出轨迹 (2)给椭圆下一个新的定义

(3)若点M ( x, y )与定点F ?(?c, 0)的距离和它到定直线 a2 c ? l : x ? ? 的距离的比是常数 (a ? c ? 0),此时点M的 c a 轨迹还是同一个椭圆吗 ? a2 (4)当定点改为 F ?(0, ? c ),定直线改为 l ? : y ? ? 时,对应 c 的轨迹方程又是怎样呢 ? 9

探究、点M(x,y)与定点F (c,0)的距离和它到定直线 l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a(a>c>0),求点M 的轨迹。 解:设 d是M到直线l 的距离,根 据题意,所求轨迹就是集合 I’
y M l

MF c P={M| d ? a
由此得

}
? y2 c ? a

F’

o

F

x

? x ? c ?2

a2 ?x c

将上式两边平方,并化简,得 设 a2-c2=b2,就可化成

?a

2

?c x ?a y ? a a ?c
2 2 2 2 2 2

?

?

2

?

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

这是椭圆的标准方程,所以点M的轨迹是长轴、 短轴分别为2a,2b 的椭圆

10

I’

y

l

F’

o

F

x

由探究可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c 线的距离 的比是常数 e ? ?0 ? e ? 1? 时,这个点的轨 a 迹 就是椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常 数e是椭圆的离心率。 此为椭圆的第二定义.

x2 y2 ? 2 ? 1,相应于焦点F(c,0) 对于椭圆 2 a b 2 a 准线方程是 x ? , 根据椭圆的对称性,相应于
焦点F‘(-c.0) 准线方程是
所以椭圆有两条准线。

c

a2 , x ?? c

11

椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1
平面内与

图形

定义 2
平面内与
一个定点的距

两个定点 F1、 F2的距离的和
等于常数(大
焦点:F1 (?c,0)、F2 (c,0) a2 准线:x ? ? c

离和它到一条 定直线的距离 的比是常数
e? c (0 ? e ? 1) a

于 F1F2 )的点
的轨迹。

的点的轨迹。
焦点:F1 (0,?c )、F2 (0, c ) a2 准线:y ? ? c

12

由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下:

x2 y 2 a2 (1)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的准线方程为x ? ? a b c
y 2 x2 a2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的准线方程为y ? ? a b c

2a 2 b2 (2)两准线间的距离为 ,焦点到相应准线的距离为 c c (3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”,

否则其轨迹不存在。
(4)由椭圆的第二定义得,椭圆离心率的几何意义: “椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”
13

x y 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)上一点P的横坐标是x0 , a b F1、F2分别是椭圆的左、右焦 点,且e为离心率,则 Y PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 。
P

2

2

练 习

说明:

(第二定义 )

F1

O

F2

X

PF1 c ? ? a2 a x0 ? x2 y2 c ? 2 ?1 2 c a 2 F1,右焦点为F2,P0(x0,y0)为椭圆上一点, (a>b>0)左焦点为 a b ? PF1 ? ( x0 ? ) ? a ? ex0 a c其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径. 则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex 0。
PF2 c y2 x2 同 理 : ? ? 2 ? 2 ?( 1 a>b>0)下焦点为 F1,上焦点为F2,P0(x0,y0)为椭圆上一点, a a 2 a b ? x0 则|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey c 0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.
c a2 ? PF2 ? ( ? x0 ) ? a ? ex0 a c
14

焦半径公式

①焦点在x轴上时: │PF1│=a+exo,│PF2│=a-exo;
该公式的记忆方法为‘‘左加右减”,即在a与ex0之 间, 如果是左焦半径则用加号“+’’连接,如果是右焦半径用 “-”号连接.

②焦点在y轴上时: │PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。

该公式的记忆方法为‘‘下加上减”,即在a与ey0之 间, 如果是下焦半径则用加号“+’’连接,如果是上焦半径用 “-”号连接. 焦半径的最大值为:a+c

焦半径的最小值为:a-c

15

例7.

解:

16

课堂练习
x2 y2 11 ? ? 1 x ? ? 1、椭圆 上一点到准线 与到焦 11 7 2 点(-2,0)的距离的比是 ( )

B

2 ( A) 11 11

11 ( B) 2

2 (C ) 11

7 ( D) 11

2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆 的离心率是( C )

? A?

3

?B ?

3 2

?C ?

3 3

?D ?

3 4
17

3.若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 对应的焦点F 3x2-8x+4y2=0 (2,0),则椭圆的方程是 ____________

与两焦点的连线互相垂直,求P点的坐标。

x2 y 2 4:已知椭圆 ? ? 1,P为椭圆在第一象限内的点,它 45 20

? P(3, 4)

5 解 : a ? 3 5, b ? 2 5, c ? 5, e ? . 设P( x0 , y0 ), x0 ? 0, y0 ? 0. 3 PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 , F1F2 ? 2c. ? PF1 ? PF2
? PF1 ? PF2 ? F1 F2
2 2 2

?(a ? ex0 )2 ? (a ? ex0 )2 ? 4c2

? a2 ? e2 x02 ? 2c2
2

? x02 ? 9

代入椭圆方程得 : y0 ? 16

? P(3, 4)

18

变式: 1.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的 距离的比为0.8,则动点M的轨迹是( B ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定

19

例8:求椭圆

x 2 y2 ? ?1 4 9

上一点P,使得点P与椭圆

两焦点连线互相垂直.
解法1 : a ? 3, b ? 2, c ? 5
F1 (? 5,0), F2 ( 5,0) 设P( x0 , y0 )

? PF1 ? PF2
2 2

???? ???? ? ? PF1 ? PF2 ? 0 ?( x0 ? 5)( x0 ? 5) ? y02 ? 0
3 3 ? ? x0 ? x0 ? ? ? ? ? ? 5 5 解得: 或 ? ? ?y ? ? 4 ?y ? ? 4 0 0 ? ? 5 5 ? ?

? x0 ? y0 ? 5
x0 2 y0 2 又 ? ?1 9 4

3 4 3 4 ? P( ,? )或P( ? , ? ) 5 5 5 5

20

例8:求椭圆

x 2 y2 ? ?1 4 9

上一点P,使得点P与椭圆

两焦点连线互相垂直. 引申:当点P与两焦点连线成钝角时,求P点的横坐标 的取值范围.
解法2 : a ? 3, b ? 2, c ? 5, e ? 5 3

设P( x, y)
5 | PF2 |? a ? ex ? 3 ? x 3
2

5 2 x ?1 | PF1 | ? | PF2 | ? | F1F2 | 9 cos ?F1 PF2 ? ? ?0 2 | PF1 | ? | PF2 | 5 2 2(9 ? x ) 3 9 ?x ? ?
2 2

5 则: | PF1 |? a ? ex ? 3 ? x, 3

5 4 代入椭圆方程得y ? ? 5

3 4 3 4 ? P( ,? )或P( ? , ? ) 5 5 5 5 21

x y ? 1 的焦点为 F1 、F2 ,点 P 为其上的 思考: 椭圆 ? 9 4 动点, 当 ?F1 PF2 为钝角时, 则点 P 的横坐标的取值范围 是____________.
解 : 设P( x, y),
5 5 则: | PF1 |? a ? ex ? 3 ? x, | PF2 |? a ? ex ? 3 ? x 3 3
2 2 2

2

2

| PF1 | ? | PF2 | ? | F1 F2 | cos ?F1 PF2 ? 2 | PF1 | ? | PF2 |

5 2 x ?1 ? 9 5 2 2(9 ? x ) 9

??F1PF2为钝角 ??1 ? cos ?F1 PF2 ? 0, 5 2 x ?1 3 5 3 5 9 即? 1 ? ?0 解之得 ? ?x? 2 5x 5 5 2(9 ? ) 22 9

法二:(数形结合)以 F1 F2 为直径的圆交椭圆于 P 1,P 2

? xP1 ? xP ? xP2,
? x2 ? y2 ? 5 ? 2 而P1 , P2的坐标可由? x y2 ?1 ? ? 4 ?9
3 5 3 5 解得x P1 ? ? ,x P2 ? 5 5

3 5 3 5 ?? ?x? 5 5
23

小结
1. 椭圆的第二定义 2.焦半径: ①焦点在x轴上时: │PF1│=a+ex0,│PF2│=a-ex0; ②焦点在y轴上时: │PF1│=a+ey0,│PF2│=a-ey0。
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