【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 中档题目强化练——概率与统计


数学

R B(理)

中档题目强化练——概率与统计
第十二章 概 率

A组
1 2 3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

A组
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专项基础训练
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1.从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运会门票中任选 3 张,则选取的 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为 ( C ) 1 79 3 23 A. B. C. D. 4 120 4 24
解析 基本事件的总数是 C3 10,在三种门票中各自选取一张的方
1 1 法是 C1 C 5 3C2,故随机事件“选取的 3 张中价格互不相同”的概 1 1 5×3×2 1 C1 C 5 3 C2 率是 C3 = 120 =4, 故其对立事件“选取的 3 张中至少有 10 1 3 2 张价格相同”的概率是 1- = . 4 4

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2.已知 ξ 的分布列如下表,若 η=2ξ+2,则 D(η)的值为( D ) 1 1 P 6 1 5 10 A.- B. C. 3 9 9 1 1 1 1 解析 E(ξ)=-1× +0× +1× =- , 2 3 6 3 ξ -1 1 2 0 1 3

20 D. 9

? 1?2 1 ? 1?2 1 ? 1?2 1 5 D(ξ)=?-1+3? × +?0+3? × +?1+3? × = , 2 ? 3 ? 6 9 ? ? ? ?

20 ∴D(η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)= ,故选 D. 9

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3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即 以先赢 2 局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率是 A.0.216
解析

( D ) D.0.648

B.0.36

C.0.432

由题意知,甲获胜有两种情况,

一是甲以 2∶0 获胜,此时 P1=0.62=0.36; 二是甲以 2∶1 获胜, 此时 P2=C1 2×0.6×0.4×0.6=0.288, 故甲获胜的概率 P=P1+P2=0.648.

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4 . 已 知 x∈[ - 1,1] , y∈[0,2] , 则 点 P(x , y) 落 在 区 域 ?2x-y+2≥0, ? ?x-2y+1≤0 内的概率为 ?x+y-2≤0 ? 3 3 3 A. B. C. 16 8 4
解析 不等式组表示的区域如图所示, 1 1 阴影部分的面积为2×3×2-2×3×1= 3 3 2,则所求概率为8.

( B ) 3 D. 2

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5.有 n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率 都是 p(0<p<1),假设每位同学能否通过测试是相互独立的, 则至少有一位同学能通过测试的概率为 A.(1-p)n
解析

( D ) D.1-(1-p)n

B.1-pn

C.pn

显然 n 位同学参加某项选拔测试可看做 n 次独立重复试

验,其中没有一位同学能通过测试的概率为(1-p)n,故至少有 一位同学能通过测试的概率为 1-(1-p)n.

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6.在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三
2 V 3 棱锥 S-APC 的体积大于 的概率是________ .

3

解析

VS-APC 1 由题意可知 > ,如图所示, VS-ABC 3

三棱锥 S-ABC 与三棱锥 S-APC 的高相同,
VS-APC S△APC PM AP 1 因此 = = = > (PM,BN 为其高线), VS-ABC S△ABC BN AB 3 2 故所求概率为3.

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7.两封信随机投入 A,B,C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 2 ξ 的数学期望 E(ξ)=________. 3
解析 两封信投入 A,B,C 三个空邮箱,投法种数是 32=9,
4 A 中没有信的投法种数是 2×2=4,概率为9, A 中仅有一封信的投法种数是 4 1 C2×2=4,概率为 , 9

1 A 中有两封信的投法种数是 1,概率为9, 4 4 1 2 故 A 邮箱的信件数 ξ 的数学期望是9×0+9×1+9×2=3.

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8.随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),如果 P(ξ<1)=0.841 3,

0.3413 则 P(-1<ξ<0)=________.
解析 ∵ξ~N(0,1),

1-2[1-P?ξ<1?] ∴P(-1<ξ<0)=P(0<ξ<1)= 2
=0.341 3.

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? ? <0?. ? ?

9

10

9.已知集合

? ? ? x+2 ? 2 A={x|x +3x-4<0},B=?x? ? ? ?x-4

(1)在区间(-4,5)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (2)设(a,b)为有序实数对,其中 a,b 分别是集合 A,B 中任 取的一个整数,求“a-b∈A∪B”的概率.

解 (1)由已知得 A={x|x2+3x-4<0}={x|-4<x<1},
? ? ? x+2 ? B=?x? ? ? ?x-4 ? ? 显然 <0?={x|-2<x<4}, ? ?

A∩B={x|-2<x<1}.

设事件“x∈A∩B”的概率为 P1,
3 1 由几何概型的概率公式得 P1=9=3.

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? ? <0?. ? ?

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9.已知集合

? ? ? x+2 ? 2 A={x|x +3x-4<0},B=?x? ? ? ?x-4

(1)在区间(-4,5)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (2)设(a,b)为有序实数对,其中 a,b 分别是集合 A,B 中任 取的一个整数,求“a-b∈A∪B”的概率.
(2)依题意,(a,b)的所有可能的结果一共有以下 20 种:

(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2),(-3,3),(-2,-1), (-2,0),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-1,-1),(-1,0), (-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),

又 A∪B={x|-4<x<4},

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? ? <0?. ? ?

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9.已知集合

? ? ? x+2 ? 2 A={x|x +3x-4<0},B=?x? ? ? ?x-4

(1)在区间(-4,5)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (2)设(a,b)为有序实数对,其中 a,b 分别是集合 A,B 中任 取的一个整数,求“a-b∈A∪B”的概率.

因此“a-b∈A∪B”的所有可能的结果一共有以下 14 种:
(-3,-1),(-3,0),(-2,-1),(-2,0),(-2,1), (-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0), (0,1),(0,2),(0,3).
14 7 所以“a-b∈A∪B”的概率 P2=20=10.

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10.随着人们对环境关注度的提高,绿色低碳出行越来越受到市民 重视,为此某市建立了公共自行车服务系统,市民凭本人二代 身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车,初次办卡 时卡内预先赠送 20 分, 当诚信积分为 0 时, 借车卡将自动锁定, 限制借车,用户应持卡到公共自行车服务中心以 1 元购 1 个积 分的形式再次激活该卡,为了鼓励市民租用公共自行车出行, 同时督促市民尽快还车,方便更多的市民使用,公共自行车按 每车每次的租用时间进行扣分收费,具体扣分标准如下: ①租用时间不超过 1 小时,免费; ②租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,扣 1 分;

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③租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,扣 2 分; ④租用时间超过 3 小时, 按每小时扣 2 分收费(不足 1 小时的部分 按 1 小时计算). 甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都 不会超过 3 小时,设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是 0.5 和 0.6;租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.4 和 0.2. (1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率; (2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列和数 学期望.

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(1)设甲、乙所扣积分分别为 x1,x2,由题意可知,

P(x1=0)=0.5,P(x1=1)=0.4,P(x1=2)=1-0.5-0.4=0.1, P(x2=0)=0.6,P(x2=1)=0.2,P(x2=2)=1-0.6-0.2=0.2,
所以 P(x1=x2)=P(x1=x2=0)+P(x1=x2=1)+P(x1=x2=2) =0.5×0.6+0.4×0.2+0.1×0.2=0.4.

(2)由题意得,变量 ξ 的所有取值为 0,1,2,3,4. P(ξ=0)=0.5×0.6=0.3, P(ξ=1)=0.5×0.2+0.6×0.4=0.34, P(ξ=2)=0.5×0.2+0.6×0.1+0.4×0.2=0.24,

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P(ξ=3)=0.4×0.2+0.2×0.1=0.1,
P(ξ=4)=0.1×0.2=0.02, 所以 ξ 的分布列为

ξ

0

1

2

3

4

P 0.3 0.34 0.24 0.1 0.02
E(ξ)=0×0.3+1×0.34+2×0.24+3×0.1+4×0.02=1.2.

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3 4 5

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1.三人独立破译同一个密码.已知三人各自破译出密码的概率分 1 1 1 别为 、 、 ,且他们是否破译出密码互不影响,设“密码被破 5 4 3 译”的概率为 P1,“密码未被破译”的概率为 P2,则 P1,P2 的大小关系为 A.P1>P2 B.P1=P2 C.P1<P2 ( D.无法判断 )

解析

记“第 i 个人破译出密码”为事件 Ai(i=1,2,3),

1 1 1 依题意有 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= , 5 4 3

且 A1,A2,A3 相互独立.
设“密码未被破译”为事件 B,

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1.三人独立破译同一个密码.已知三人各自破译出密码的概率分 1 1 1 别为 、 、 ,且他们是否破译出密码互不影响,设“密码被破 5 4 3 译”的概率为 P1,“密码未被破译”的概率为 P2,则 P1,P2 的大小关系为 A.P1>P2 B.P1=P2 C.P1<P2 ( A ) D.无法判断

则 B= A 1 A 2 A 3,且 A 1, A 2, A 3 互相独立,

4 3 2 2 故 P2=P(B)=P( A 1)P( A 2)P( A 3)= × × = , 5 4 3 5
3 而 P1=1-P(B)=5,故 P1>P2.

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1 2. 一名学生通过某种外语听力测试的概率为 , 他连续测试 3 次, 3 那么,其中恰有一次通过的概率是 4 4 2 A. B. C. 9 27 9 ( A ) 2 D. 3

解析 该名学生测试一次有两种结果:要么通过,要么不通过, 他连续测试三次,相当于做了 3 次独立重复试验,那么,根据 n 次独立重复试验事件 A 发生 k 次的概率公式知, 连续测试 3 次恰 ? ? ? 1? ?2 4 1?1?1 ? 有一次获得通过的概率为 P=C3?3? · ?1-3? =9. ? ? ? ?

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3.某人随机地将编号为 1,2,3,4 的四个小球放入编号为 1,2,3,4 的四 个盒子中,每个盒子中放一个小球,球的编号与盒子的编号相同 时叫做放对了,否则就叫放错了.设放对的个数为 ξ,则 ξ 的期

1 望 E(ξ)=________.
解析 3×3 9 C1 8 4×2 因为 P(ξ=0)= 24 =24,P(ξ=1)= 24 =24,

C2 6 1 4×1 P(ξ=2)= 24 =24,P(ξ=4)=24,
8 6 1 所以 E(ξ)=1×24+2×24+4×24=1.

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4.某班有 50 名学生,一次考试的数学成绩 ξ 服从正态分布 N(100,102),已知 P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学
10 成绩在 110 分以上的人数为________ .
1-2P?90≤ξ≤100? 解析 由题意知,P(ξ>110)= =0.2, 2

∴该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50=10.

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5.在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是每场投 6 个球,至 少投进 4 个球, 且最后 2 个球都投进者获奖, 否则不获奖. 已 2 知教师甲投进每个球的概率都是 . 3 (1)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X, 求X的 分布列及数学期望; (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率; (3)已知教师乙在一场比赛中,6 个球中恰好投进了 4 个球, 求教师乙在一场比赛中获奖的概率;教师乙在一场比赛中获 奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗?

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(1)由题意, 知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.依条件可知 ? 2? ? X~B?6, ? . 3? ? ? ? ? ? ? k ?2?k ?1?6-k P(X=k)=C6?3? · (k=0,1,2,3,4,5,6). ?3? ? ? ? ?
所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 1 12 60 160 240 192 64 P 729 729 729 729 729 729 729

1 所以 X 的数学期望 E(X)= ×(0×1+1×12+2×60+3×160 729 2 916 +4×240+5×192+6×64)= =4. 729

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(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,



1 ?2?5 ?2?6 32 ?1?2 ?2?4 2 1 P(A)=C4×? ? ×? ? +C4× ×? ? +? ? = .
?3? ?3?

? ?

? ?

? ? ?3?

? ? ?3?

3

81

32 故教师甲在一场比赛中获奖的概率为 . 81

C2 2 4 (3)设教师乙在一场比赛中获奖为事件 B,则 P(B)= 4= , C6 5
2 2 32 即教师乙在一场比赛中获奖的概率为 .显然 ≠ , 5 5 81

所以教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中 获奖的概率不相等.


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