2014版高考数学一轮总复习 第68讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差课件 理 新人教A版


1.理解取有限个体的离散型随机变量及其分布列 的概念,会求简单的离散型随机变量的分布列. 2.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方 差的概念,能计算简单的离散型随机变量的均值、 方差,并能解决一些实际问题. 3.能识别两点分布、二项分布和超几何分布,并 能应用其相关理解解决简单问题.

1.随机变量的概念 如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样 的变量叫做① ____________ ,随机变量常用字母X ,Y,

?,?等表示.

?1? ② ___ 叫做离散型随机变量. ? 2 ? 如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的
随机变量叫做③ __________________ .

? 3? 若? 是随机变量,? ? a? ? b,其中a、b是常数,则?
也是随机变量.

2.离散型随机变量的概率分布列

?1? 概率分布列(分布列):设离散型随机变量? 可能取
的值为x1,x2, ,xi, xn .? 取每一个值xi (i ? 1, 2, n)的 ? ? ? 概率P ?? ? xi ? ? pi,则表
ξ x1 x2 … xi … xn

P

p1

p2



pi



pn

称为④ ______________________ ,简称?的分布列.

? 2 ? 二项分布:如果一次试验中某事件发生的概率是p,
那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的 概率是P ?? ? k ? ? Ck p k ? q n-k,其中k ? 0,1,2, ,n, ? n q = 1 - p,我们称这样的随机变量? 服从⑤ _______ , 记作? ~B(n,p),其中n,p为参数,并称p为成功概率.

? 3? 两点分布:若随机变量X的分布列是
X P 0 1-p 1 p

像这样的分布列称为两点分布列.如果随机变量 的分布列为⑥ ______________ ,就称? 服从两点分布, 且称p ? P ? x ? 1? 为成功概率.

? 4 ? 超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取 n件,其中恰有? 件次品,则事件 ?? ? k ? 发生的概率为
C k C n ??kM P ?? ? k ? ? M nN ,k ? 0,1, 2, ,m, ? CN 其中m ? min{M ,n},且n ? N,M ? N,n,M ,v ? N*. 称分布列

0
C C C
0 M n ?0 N ?M n N

1
1 C1 C n?? M M N Cn N

?

m
C m C n??m M N M n CN

?

为⑦

.如果随机变量?的分布列为超几何分布列,

则称随机变量? 服从超几何分布.

3.离散型随机变量的分布列的性质 ⑧ __________________________ . 4.离散型随机变量的均值 若离散型随机变量?的分布列为:

ξ P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn

 则称E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn为⑨ ___ 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值 的平均水平.

5.离散型随机变量的方差 称D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ???
2 2

? x n ? E? ?

2

? pn ??为随机变量?的方差,其算术平方

根为随机变量?的⑩ __________ ,记作?? . 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值 相对于均值的平均波动大小(即? 取值的稳定性).

6.性质

?1? E ? c ? ? c,E ? a? ? b ? ? ? __________ (a、b、c为常数); ? 2 ? 设a、b为常数,则D ? a? ? b ? ? ? ______(a、b为常数); ? 3? D? ? ? __________ ; ? 4 ? 若? 服从二项分布,即? ~B(n,p),则E? ? ? ______ ,
D? ? ? ___ .

? 5? 若? 服从两点分布,则E? ? ? ___ ,D? ? ? ___ .

【要点指南】 ①随机变量;②所有取值可以一一列出的随机变量; ③连续型随机变量;④随机变量?的概率分布列; ⑤二项分布;⑥两点分布列;⑦超几何分布列; ⑧Pi ? 0(i ? 1, 2,3, ), Pi ? 1;⑨随机变量?的均值 ? ?
i ?1 n

或数学期望;⑩标准差;

1.某运动员投篮命中率为 0.8, 则该运动员 1 次投篮时命中次 数 X 的期望为( A.0.2 C.0.16 ) B.0.8 D.0.4

【解析】X 的可能取值为 0,1,其分布列为

所以 EX=0×0.2+1×0.8=0.8,故选 B.

2.已知随机变量 X~B(n,p),若 EX=8,DX=1.6,则 n 与 p 的值分别为( A.100 和 0.08 C.10 和 0.2 ) B.20 和 0.4 D.10 和 0.8

【解析】因为 X~B(n,p),
?EX=np=8 ?n=10 所以? ,解得? ,故选 D. ?DX=np?1-p?=1.6 ?p=0.8

3.某口袋里装有大小相同的卡片4张,这4张卡片上分别标 有数字1,2,3,4,从中任抽2张卡片,则抽到卡片上的数字 为偶数数字的张数为随机变量X,则X的期望为 差为 1 3 . 1 ,方

【解析】依题设 X 的可能取值为 0,1,2,且 X 服从超几何 分布,其分布列如下表:

C2 1 2 其中 P(X=0)=C2=6, 4 C1C1 4 2 2 P(X=1)= C2 =6, 4 C2 1 2 P(X=2)=C2=6. 4 1 4 1 因此 EX=0×6+1×6+2×6=1. 1 4 1 1 2 2 DX=(0-1) ×6+(1-1) ×6+(2-1) ×6=3.
2

4.已知随机变量 X 和 Y 满足 Y=12X+7,且 EY=34,若 X 的分布列如下表:

1 则 m= 3

1 ,n= 3

.

【解析】 由 Y=12X+7,得 EY=12EX+7=34,求 9 1 1 9 得 EX=4,即 1×4+2×m+3×n+4×12=4, 1 1 又4+m+n+12=1, 1 1 联立求得 m=3,n=3.



两点分布及应用

【例 1】(2011· 湖南卷)某商店试销某种商品 20 天,获 得如下数据:

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变), 设 某天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货, 若发现存货少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货. . ... 将频率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数, X 的分布 求 列和数学期望.

【解析】 (1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量 1 5 3 为 0 件”)+P(“当天商品销售量为 1 件”)=20+20=10.

(2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. 5 1 P(X=2)=P(“当天商品销售量为 1 件”)=20=4; P(X=3)=P(“当天商品销售量为 0 件”)+P(“当天商 1 品销售量为 2 件”)+P(“当天商品销售量为 3 件”)=20+ 9 5 3 20+20=4.

故 X 的分布列为

1 3 11 X 的数学期望为 EX=2×4+3×4= 4 .

【点评】两点分布的题型特征是随机变量的可能取值只 有 2 个,计算其中一个随机变量取值相应的概率后,另一个 随机变量相应的概率可以直接计算,也可以利用对立事件的 概率之和为 1 计算.

素材1

某运动员投篮的命中率为 p=0.6. (1)求一次投篮时命中次数 ξ 的均值,方差; (2)求重复 5 次投篮时,命中次数 η 的均值与方差.

【解析】(1)投篮一次,命中次数 ξ 的分布列为:

则 Eξ=0×0.4+1×0.6=0.6, Dξ=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24. (2)重复 5 次投篮,命中次数 η 服从二项分布,即 η~B(5,0.6), 故 Eξ=5×0.6=3. Dξ=5×0.6×0.4=1.2.

二 超几何分布及应用
【例 2】(2011· 辽宁卷)某农场计划种植某种新作物,为此 对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试 验,选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地 中, 随机选 n 小块地种植品种甲, 另外 n 小块地种植品种乙. 假 设 n=4, 在第一大块地中, 种植品种甲的小块地的数目记为 X, 求 X 的分布列和数学期望.

【解析】 可能的取值为 0,1,2,3,4, X 服从超几何分布, X 且 1 1 P(X=0)=C4=70, 8 C1C3 8 4 4 P(X=1)= C4 =35, 8 C2C2 18 4 4 P(X=2)= C4 =35, 8 C3C1 8 4 4 P(X=3)= C4 =35, 8 1 1 P(X=4)=C4=70. 8

即 X 的分布列为

1 8 18 8 X 的数学期望为 EX=0×70+1×35+2×35+3×35+ 1 4×70=2.

【点评】超几何分布的题型特征是样本共分为两大类, 而求随机变量的取值是由取其中一类的个数确定的,同时知 道在该类中取多少个,但不知道是哪几个,且概率计算公式 Ck Cn -kM M N 为 P(X=ξ)= Cn (k=0,1,2,?,M). N


素材2
一批零件有 9 个合格品,3 个不合格品,安装机器时,从 中任取一个,若取出不合格品不再放回去,设在取得合格品以 前已取出的不合格品数为随机变量 ξ. (1)求 ξ 的分布列; (2)若工人取得合格品以前取出 1 个不合格品获得劳务费 50 元,求工人所得劳务费 η 的期望.

【解析】 (1)设随机变量 ξ 表示在取得合格品以前已取出 的不合格品数,则 ξ=0,1,2,3, 9 3 可得 P(ξ=0)=12=4, 3 9 9 P(ξ=1)=12×11=44, 3 2 9 9 P(ξ=2)=12×11×10=220, 9 9 9 1 P(ξ=3)=1-12-44-220=220,

故 ξ 的分布列为:

9 9 9 1 3 (2)由(1)Eξ=0×12+1×44+2×220+3×220=10, 则 Eη=E(50ξ)=50Eξ=15(元).

【点评】本素材系几何分布,应与超几何分 布加以区别.



二项分布及应用

【例 3】(2011· 全国大纲卷)根据以往统计资料,某地车主 购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险 的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的 概率; (2)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购 买的车主数.求 X 的期望.

【解析】记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种 保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中 的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买. (1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.

(2)D= C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, X~B(100,0.2),即 X 服从二项分布, 所以期望 EX=100×0.2=20.

【点评】随机变量服从二项分布的判定标准是对应 的试验服从独立重复试验模型,在分析求解时应树立判 定并转化为二项分布问题求解的意识.

素材3

(2011· 厦门质检)某社会机构为更好地宣传“低碳”生活观 念,对某市 A、B 两个大型社区进行了一次生活习惯是否 符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族”,否则称为“非低碳族”,这两族的人数占各 自小区总人数的比例 P 统计如下:

(1)如果甲、乙两人来自 A 区,丙、丁两人来自 B 区,求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率; (2)A 区经过大力宣传后,每周非低碳族中有 20%的人加入 到低碳族的行列,如果 2 周后随机从 A 区中任选 25 人,记 ξ 表 示这 25 人中低碳族人数,求 Eξ.

【解析】 (1)记“4 人中恰有 2 人是低碳族”为事件 A. 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33 P(A)=2×2×5×5+4×2×2×5×5+2×2×5×5=100.

(2)设 A 区有 a 人,2 周后非低碳族的概率 1 12 a×2×?1-5? 8 P1= =25, a 8 17 则 2 周后低碳族的概率 P=1-25=25. 17 17 依题意,ξ~B(25,25),则 Eξ=25×25=17.



随机变量的分布列与期望的实际应用

【例 4】(2010· 北京卷)某同学参加 3 门课程的考试.假设 4 该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为5,第二、第三门课 程取得优秀成绩的概率分别为 p、q(p>q),且不同课程是否取 得优秀成绩相互独立. ξ 为该生取得优秀成绩的课程数, 记 其 分布列为

(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (2)求 p,q 的值; (3)求数学期望 Eξ.

【解析】 事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”, 4 i=1,2,3,由题意知 P(A1)=5,P(A2)=p,P(A3)=q. (1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事 件“ξ=0”是对立的,所以该生至少有 1 门课程取得优秀成 6 119 绩的概率是:1-P(ξ=0)=1-125=125.

(2)由题意知,P(ξ=0)=P( A1 · 2 · 3 ) A A =P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 6 =5(1-p)(1-q)=125, P(ξ=3)=P(A1· 2· 3)=P(A1)P(A2)P(A3) A A 4 24 =5pq=125, 6 整理得,pq=25,p+q=1. 3 2 注意到 p>q,故可解得 p=5,q=5.

(3)由题意知, a=P(ξ=1) =P(A1· 2 · 3 + A1 · 2· 3 + A1 · 2 · 3) A A A A A A 4 1 1 =5(1-p)(1-q)+5p(1-q)+5(1-p)q 37 =125;

b=P(ξ=2) =P(A1· 2· 3 +A1· 2 · 3+ A1 · 2· 3) A A A A A A 4 4 1 =5×p(1-q)+5×(1-p)q+5pq 58 =125, 6 24 58 (或者 b=1-125-125-a=125) 6 24 9 则 Eξ=0×125+1×a+2×b+3×125=5.

【点评】期望、方差问题既可以以实际问题情况为载体, 又可以分析决策实际问题.

素材4

随机抽取某婴幼儿奶粉生产企业的某种产品 200 件, 经国家质检部门检测, 其中有一等品 126 件、 二等品 50 件、 三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获 得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润为 ξ(单位:万元).

(1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的数学期望); (3)为了提高乳制品的质量,经技术革新后,虽仍有四 个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%. 如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三 等品率最多是多少?

【解析】 (1)ξ 的可能取值为-2、1、2、6, 4 1 20 1 P(ξ=-2)=200=50,P(ξ=1)=200=10, 50 1 126 63 P(ξ=2)=200=4,P(ξ=6)=200=100. ξ 的分布列为:

(2)ξ 的数学期望为: 1 1 1 63 Eξ=(-2)×50+1×10+2×4+6×100=4.34, 即 1 件产品的平均利润是 4.34 万元. (3)技术革新后 ξ 的可能取值仍为-2、1、2、6,但 ξ 的分布列为:

其中 x、y 分别为三、二等品率,根据分布列的性质有: 1 70 29 x+y=1-100-100=100, 所以技术革新后 1 件产品的平均利润为: 1 70 476 Eξ=(-2)×100+1· x+2· y+6×100=100-x. 要使 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元, 476 3 即 Eξ≥4.73,由100-x≥4.73 得 x≤100. 即要使技术革新后 1 件产品平均利润不小于 4.73 万元, 三等产品率最多为 3%.

备选例题

袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ 表示所取球的 标号. (1)求 ξ 的分布列、期望和方差; (2)若 η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值.

【解析】(1)ξ 的分布列为

1 1 1 3 1 所以 Eξ=0×2+1×20+2×10+3×20+4×5=1.5. 1 1 1 2 2 Dξ=(0-1.5) × 2 +(1-1.5) × 20 +(2-1.5) × 10 +
2

3 1 2 (3-1.5) ×20+(4-1.5) ×5
2

=2.75.

(2)由 Dη=a2Dξ,得 a2×2.75=11,即 a=± 2. 又 Eη=aEξ+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
?a=2 ?a=-2 所以? 或? 即为所求. b=-2 b=4 ? ?

【点评】(1)在求随机变量分布列时,关键是分析判 定离散型随机变量 ξ 取每一个可能值时对应的随机事件, 从而正确求出其概率. (2)若两变量之间存在某种线性关系,则可以直接利 用其中一个变量的期望与方差求出另一个变量的期望与 方差.

1.求离散型随机变量的概率分布列的步骤: (1)求出随机变量ξ 的所有可能取值; (2)求出各取值的概率; (3)列成表格.

(4)用分布列的性质P1+P2+?+Pi+?Pn=1进行验证.
2.期望和方差是离散型随机变量的两个最重要的特 征数.有时判断某事物的优劣,计算其期望就能区 别出来,而有时仅靠期望不能完善地说明随机变量 的分布特征,还需研究其方差.

3.随机变量ξ 是可变的,可取不同值,而期望 Eξ 是不变的,它描述ξ 取值的平均状态.
4.方差Dξ 表示随机变量ξ 对期望Eξ 的平均偏离 程度,Dξ 越大,表明平均偏离程度越大,说明ξ 的取值越分散,反之,Dξ 越小,ξ 的取值越集中 在Eξ 附近.


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