正弦定理和余弦定理教案


正弦定理和余弦定理 知 识 梳 理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 a b c = = sin A sin B sin C=2R (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C

内容

b2+c2-a2 cos A= ; 2bc (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c 常见变形 (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C cos B= a2+c2-b2 2ac ;

a2+b2-c2 cos C= 2ab

(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (1)已知三边,求三个角; 解决的问题 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其 其他两角 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 他两角

图形

关系式 解的个数

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高). 1 1 1 (2)S=2bcsin A=2absin C=2acsin B.

辨 析 感 悟 1.三角形中关系的判断
1

(1)在△ABC 中, sin A>sin B 的充分不必要条件是 A>B. (2)(教材练习改编)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° . 2.解三角形 1 5 (3)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3,则 sin B=9. 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b=6. 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形. (6)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形. [感悟· 提升] (×) (√) (√) (√) (√)

(×)

1.一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大 的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B,如(1). 2.判断三角形形状的两种途径 施边、角转换. 一是化边为角;二是化角为边,并常用正弦(余弦)定理实

考点一

利用正弦、余弦定理解三角形

【例 1】 (1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3 b,则角 A 等于 π A.3 π B.4 ( ). π C.6 π D.12

(2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,c=4 2, B=45° ,则 sin C=______. 解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3sin B,

∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0. 3 ∴sin A= 2 .又∵△ABC 为锐角三角形, π? π ? ∴A∈?0,2?,∴A=3. ? ? 2 (2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 2× 2 =25,即 b=5. 2 4 2× 2 c· sin B 4 所以 sin C= b = =5. 5
2

答案

4 (1)A (2)5

规律方法 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角, 该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C=( A.30° B.45° C.45° 或 135° ). D.60°

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A= A.30° 解析 B.60° ( C.120° ). D.150°

2 3 2 2 (1)由正弦定理,得sin 60° =sin C,

2 解得:sin C= 2 ,又 c<a,所以 C<60° ,所以 C=45° . (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, ∴cos A= b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 = = = 2bc 2bc 2bc 2,

又 A 为三角形的内角,∴A=30° . 答案 考点二 (1)B (2)A

判断三角形的形状

【例 2】 (2014· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小;(2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,

得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= 2bc =2,∴A=60° . (2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. ∵0° <B<120° ,∴30° <B+30° <150° . ∴B+30° =90° ,B=60° .
3

∴A=B=C=60° ,△ABC 为等边三角形. 【训练 2】 (1)(2013· 山东省实验中学诊断)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC 是 ( A.钝角三角形 B.直角三角形 ). C.锐角三角形 D.等边三角形 ( ).

(2)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC 的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形

D.等腰或直角三角形
2 2 2

解析

a +b -c 1 (1)由 2c2=2a2+2b2+ab, 得 a2+b2-c2=-2ab, 所以 cos C= 2ab = 2ab =-

1 -2ab

1 <0,所以 90° <C<180° ,即△ABC 为钝角三角形. 4 (2)由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C, 得 b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)], 即 b2sin Acos B=a2cos Asin B, 即 sin2 Bsin Acos B=sin2 Acos Asin B, 所以 sin 2B=sin 2A,由于 A,B 是三角形的内角, 故 0<2A<2π,0<2B<2π. 故只可能 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B=2. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 答案 考点三 (1)A (2)D 与三角形面积有关的问题

【例 3】 (2013· 新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a= bcos C+csin B. (1)求 B;(2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 审题路线 正弦定理 (1)a=bcos C+csin B ― ― → sin A=…?sin(B+C)=…?求出角 B. 边化角 ?得出 a2 与 c2 的关系式?利用基本不等式求 ac 的最大值即可.

1 ? ?S= acsin B, (2)由? 2 ? ?b2=a2+c2-2accos B 解 (1)由已知及正弦定理,

4

得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B=4. 1 2 (2)△ABC 的面积 S=2acsin B= 4 ac. 由已知及余弦定理,得 π 4=a2+c2-2accos .又 a2+c2≥2ac, 4 故 ac≤ 4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2

因此△ABC 面积的最大值为 2+1. 【训练 3】 (2013· 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2A- 3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小;(2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 解 (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,

得 2cos2A+3cos A-2=0, 1 π 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A=2或 cos A=-2(舍去).因为 0<A<π,所以 A=3. 1 1 3 3 (2)由 S=2 bcsin A=2bc·2 = 4 bc=5 3,得 bc=20. 又 b=5,所以 c=4. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21, 故 a= 21. b c 又由正弦定理,得 sin Bsin C=asin A· asin A bc 20 3 5 = a2 sin2A=21×4=7. 解三角形问题 【典例】 (12 分)(2013· 山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c 7 =6,b=2,cos B=9.

5

(1)求 a,c 的值;(2)求 sin(A-B)的值. [规范解答] (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,

得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 7 又 b=2,a+c=6,cos B=9, 所以 ac=9, 解得 a=3, c=3, 分) (2)在△ABC 中, 4 2 sin B= 1-cos2B= 9 , (7 分) 由正弦定理得 sin A= asin B 2 2 b = 3 . (9 分) (6

因为 a=c,所以 A 为锐角, 1 所以 cos A= 1-sin2A=3. 10 2 因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= 27 . 【自主体验】 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A;(2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解 (1)由 c= 3asin C-ccos A 及正弦定理,得 (12 分) (10 分)

3sin Asin C-cos A· sin C-sin C=0, π? 1 ? 由于 sin C≠0,所以 sin?A-6?=2, ? ? π π 5π π 又 0<A<π,所以-6<A-6< 6 ,故 A=3. 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8,解得 b=c=2.

基础巩固题组 一、选择题 1.(2013· 绍兴模拟)在△ABC 中,若 a2-c2+b2= 3ab,则 C=( A.30° B.45° C.60° D.120°
6

).

解析 答案

a2+b2-c2 3ab 3 由 a -c +b = 3ab,得 cos C= 2ab = 2ab = 2 ,所以 C=30° .
2 2 2

A ).

3 2. (2014· 合肥模拟)在△ABC 中, A=60° , AB=2, 且△ABC 的面积为 2 , 则 BC 的长为( 3 A. 2 解析 B. 3 C.2 3 D.2

1 1 3 3 S = 2 ×AB· ACsin 60° = 2 ×2× 2 AC = 2 ,所以 AC = 1 ,所以 BC2 = AB2 + AC2 -

2AB· ACcos 60° =3,所以 BC= 3. 答案 B

π π 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4,则△ABC 的 面积为( A.2 3+2 解析 ). B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1

b c 由正弦定理sin B=sin C及已知条件得 c=2 2,

2+ 6 1 2 3 2 又 sin A=sin(B+C)=2× 2 + 2 × 2 = 4 . 2+ 6 1 1 从而 S△ABC=2bcsin A=2×2×2 2× 4 = 3+1. 答案 B ).

4.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= 3,则 c=( A.2 3 解析 B.2 C. 2 D.1

a b a b 1 3 3 由sin A=sin B,得sin A=sin 2A,所以sin A=2sin Acos A,故 cos A= 2 ,又 A∈(0,

π π π π),所以 A=6,B=3,C=2,c= a2+b2= 12+? 3?2=2. 答案 B

5.(2013· 陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B= asin A,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 解析 ). C.钝角三角形 D.不确定

B.锐角三角形

由正弦定理及已知条件可知 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2 A,即 sin(B+C)=sin2 A,而

B+C=π-A,所以 sin(B+C)=sin A,所以 sin2 A=sin A,又 0<A<π,sin A>0,∴sin A=

7

π 1,即 A=2. 答案 A

二、填空题 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B+cos B= 2, 则角 A 的大小为________. 解析 π? π ? 由题意知,sin B+cos B= 2,所以 2sin?B+4?= 2,所以 B=4,根据正弦定理可 ? ?

a b 2 2 1 π 知sin A=sin B,可得sin A= π,所以 sin A=2,又 a<b,故 A=6. sin4 π 答案 6 7.(2014· 惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B= 3 ac,则角 B 的值为________. 解析 a2+c2-b2 3 3 由余弦定理,得 2ac =cos B,结合已知等式得 cos B· tan B= 2 ,∴sin B= 2 ,

π 2π ∴B=3或 3 . π 2π 答案 3或 3 8.(2013· 烟台一模)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b=2,cos C 1 =4,则 sin B 等于________. 解析 1 15 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4,即 c=2.由 cos C=4得 sin C= 4 .由正弦

b c bsin C 2 15 15 定理sin B=sin C,得 sin B= c =2× 4 = 4 (或者因为 c=2,所以 b=c=2,即三角 15 形为等腰三角形,所以 sin B=sin C= 4 ). 答案 15 4

三、解答题 1 9.(2014· 宜山质检)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a=2c+bcos C. (1)求角 B 的大小;(2)若 S△ABC= 3,b= 13,求 a+c 的值.
8



1 (1)由正弦定理,得 sin A=2sin C+sin Bcos C,

又因为 A=π-(B+C),所以 sin A=sin(B+C), 1 可得 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin C+sin Bcos C, 1 π 即 cos B=2,又 B∈(0,π),所以 B=3. 1 π (2)因为 S△ABC= 3,所以2acsin3= 3,所以 ac=4, 由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac, 所以(a+c)2=b2+3ac=13+12=25,即 a+c=5. 10.(2013· 北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值;(2)求 c 的值. 解 所以 3 2 6 (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A,所以在△ABC 中,由正弦定理,得sin A=sin 2A, 2sin Acos A 2 6 6 = ,故 cos A = sin A 3 3.

6 3 (2)由(1)知 cos A= 3 ,所以 sin A= 1-cos2A= 3 . 又因为∠B=2∠A, 1 2 2 所以 cos B=2cos2A-1=3,所以 sin B= 1-cos2B= 3 . 在△ABC 中,sin C=sin(A+B) 5 3 =sin Acos B+cos Asin B= 9 . asin C 所以 c= sin A =5. 能力提升题组 一、选择题 → → 2 2 1. (2014· 温岭中学模拟)在锐角△ABC 中, 若 BC=2, sin A= 3 , 则AB· AC的最大值为( 1 A.3 解析 4 B.5 C.1 D.3 ).

1 4 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bc×3=4,由基本不等式可得 4≥3bc,即 bc≤3,所以

9

→ → 1 AB· AC=bccos A=3bc≤1. 答案 C

2.(2013· 青岛一中调研)在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么△ABC 的形状 为( ). B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能

A.锐角三角形 解析

由题意可知 c>a,c>b,即角 C 最大,

所以 a3+b3=a· a2+b· b2<ca2+cb2,即 c3<ca2+cb2,所以 c2<a2+b2.根据余弦定理,得 cos C= 三角形为锐角三角形. 答案 A a2+b2-c2 π > 0 ,所以 0 < C < 2ab 2,即

二、填空题 1 3.(2013· 浙江卷)在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM=3,则 sin∠BAC =________. 解析 如图,令∠BAM=β,∠BAC=α,故|CM|=|AM|sin(α-β),

∵M 为 BC 的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β).在△AMB 中,由正弦定理知,

|AM| |BM| sin B=sin β, |AM|· sin?α-β? |AM| 即 = , sin β ?π ? sin?2-α? ? ? 1 2 2 ∵sin β=3,∴cos β= 3 , 1 ?2 2 ? 1 ? ∴3=cos α· sin α-3cos α? ? 3 ? 2 2 1 = 3 sin αcos α-3cos2α, 整理得 1=2 2sin αcos α-cos2α,

10

所以

2 2tan α-1 =1, tan2 α+1

6 解得 tan α= 2,故 sin α= 3 . 答案 6 3

三、解答题 4.(2013· 长沙模拟)在△ABC 中,边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 bcos C=(3a -c)cos B. → → (1)求 cos B;(2)若BC· BA=4,b=4 2,求边 a,c 的值. 解 (1)由正弦定理和 bcos C=(3a-c)cos B,

得 sin Bcos C=(3sin A-sin C)cos B, 化简,得 sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, 即 sin(B+C)=3sin Acos B, 1 故 sin A=3sin Acos B,所以 cos B=3. → → → → → → (2)因为BC· BA=4,所以BC· BA=|BC|· |BA|· → → cos B=4,所以|BC|· |BA|=12,即 ac=12.① a2+c2-b2 1 2 2 又因为 cos B= 2ac =3,整理得,a +c =40.②
2 2 ?a +c =40, ?a=2, ?a=6, 联立①②? 解得? 或? ?ac=12, ?c=6 ?c=2.

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