正弦余弦定理应用举例3


例6 一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行,需要航行多少距离(角度精确到0.1°,距 离精确到0.01n mile)?

解:在⊿ABC中,∠ABC= 180°-75°+32°=137°, 根据余弦定理,

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 67.52 ? 54.02 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 cos137? ? 113.15

根据正弦定理, BC AC ? sin ?CAB sin ?ABC BC sin ?ABC sin ?CAB ? AC 54.0 sin 137? ? 113.15 ? 0.3255,
所以,∠CAB=19.0°,
75°-∠CAB=56.0°.

答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15n mile.

例7 在⊿ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到 0.1cm? ) (1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;

1 解:)应用S ? ca sin B, 得 (1 2 1 ? 2 S ? ? 23.5 ? 14.8 ? sin 148.5 ? 90.9(cm ) 2

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;

b c b sin C (2)根据正弦定理, ? ,c ? , sin B sin C sin B 1 1 2 sin C sin A S ? bc sin A ? b , 2 2 sin B ? ? ? ? ? A ? 180 ? ( B ? C ) ? 180 ? (62.7 ? 65.8 ) ? 51.5 , 1 sin 65.8? sin 51.5? S ? ? 3.162 ? ? 4.0(cm 2 ). ? 2 sin 62.7

(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.

(3)根据余弦定理的推论,得 c ? a ? b 38.7 ? 41.4 ? 27.3 cos B ? ? ? 0.7679 2ca 2 ? 38.7 ? 41.4 2 2 sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? 0.7697 ? 0.6384
2 2 2 2 2 2

1 应用S ? ca sin B, 得 2 1 S ? ? 38.7 ? 41.4 ? 0.6384 ? 511.4(cm 2 ). 2

例8 在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成 市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少(精确到0.1cm? )?

解:设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论,

c 2 ? a 2 ? b 2 127 2 ? 682 ? 882 cos B ? ? ? 0.7532, 2ca 2 ? 127 ? 68 sin B ? 1 ? 0.75322 ? 0.6578. 1 应用S ? ca sin B, 得 2 1 2 S ? ? 127 ? 68 ? 0.6578 ? 2840.38(m ). 2 答:这个区域的面积是2840.38m 2 .

例9 在?ABC中,求证: a ? b sin A ? sin B () 2 ? 1 ; 2 c sin C (2)a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(bc cos A ? ca cos B ? ab cos C ).
2 2 2 2

在任一?ABC 中,求证:

a(sin B ? sin C ) ? b(sinC ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0

在⊿ABC中,若B=60°,2b=a+c,试 判断⊿ABC的形状。


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