2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章 第4节 随机事件的概率


第一节 第四节

随机事件的概率(文) 随机事件的概率(理)

[主干知识梳理]
一、事件 1.在条件S下, 一定会发生 的事件,叫做相对于条件S的必 然事件. 2.在条件S下, 一定不会发生 的事件,叫做相对于条件S的

不可能事件.
3.在条件S下, 可能发生也可能不发生 的事件,叫做相对 于条件S的随机事件.

二、概率和频率 1. 用概率度量随机事件发生的 可能性大小 供关键性依据. 2.在相同条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事 nA 件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. n 能为我们决策提

3.对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验 次数的增加 稳定于 计概率 P(A). 概率 P(A),因此可以用 频率fn(A) 来估

三、事件的关系与运算 文字表示 如果事件A 发生 ,则事件 符号表示

包含关


B 一定发生 ,这时称事件B
包含事件A(或称事件A包含 B?A(或A?B)

于事件B)

相等关系

若B?A,且A?B,那么称 事件A与事件B相等 若某事件发生 当且仅当事件 A=B

并事件(和
事件)

A发生或事件B发生 ,则称 此事件为事件A与事件B的 并事件 (或和事件) A∪B(或A+B)

若某事件发生 当且仅当 交事件(积 事件) 事件A发生且事件B 发生, 则称此事件为事件A与事 A∩B(或AB)

件B的交事件(或积事件)
互斥事件 若A∩B为 事件, A∩B=? 不可能 则事件A与事件 B互斥

若A∩B为 不可能 对立事 件



件,A∪B为 必然事件 , 那么称事件A与事件B互为 对立事件

四、概率的几个基本性质
1.概率的取值范围: 0≤P(A)≤1 .

2.必然事件的概率P(E)= 1 . 3.不可能事件的概率P(F)= 0 . 4.概率的加法公式:

如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= P(A)+P(B) .
5.对立事件的概率: 若 事 件 A 与 事 件 B 互 为 对 立 事 件 , 则 A∪B 为 必 然 事 件.P(A∪B)= 1 ,P(A)= 1-P(B) .

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)掷一枚均匀的硬币两次,事件 M:一次正面朝 上,一次反面朝上;事件 N:至少一次正面朝上.则下列结果 正确的是 ( )

1 1 A.P(M)= P(N)= 3 2 1 1 B.P(M)= P(N)= 2 2 1 3 C.P(M)= P(N)= 3 4 1 3 D.P(M)= P(N)= 2 4 D [由条件知事件 M 包含: (正、 反)、 (反、 正). 事件 N 包含: (正、 正)、(正、反)、(反、正). 1 3 故 P(M)= ,P(N)= .] 2 4

2.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么互斥

而不对立的事件是
( A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 )

D.恰有一个红球与恰有二个红球
D [A中的两个事件不互斥,B中两事件互斥且对立,C中

的两个事件不互斥,D中的两个互斥而不对立.]

3.(2014·济宁模拟) 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙 均属于次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品

的概率为0.01,则对成品抽查一件,恰好得正品的概率为
( A.0.99 C.0.97 D [P=1-0.03-0.01=0.96.] B.0.98 D.0.96 )

4.(课本习题改编)盒子里共有大小相同的 3 只红球,1 只黄球, 若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是________. 解析 从中摸出两只球共有 6 种,其中颜色不同的有 3 种,故 3 1 P= = . 6 2 1 答案 2

5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随 机选取一个数为 b,则 a<b 的概率为________. 解析 从{1,2,3,4,5}中任取一数 a, 从{1,2,3}中任取一数 b, 共有 5×3=15 种取法, 满足 a<b 的有(1,2),(1,3),(2,3)共 3 种, 3 1 故所求概率 P= = . 15 5 1 答案 5

[关键要点点拨]

1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除
要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有 一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而 互斥事件未必是对立事件. 2.从集合角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所

含的结果组成的集合交集为空集;事件A的对立事件B所
含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成

的集合的补集.

随机事件的频率与概率 [典题导入] (2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地

区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从这两种
品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产 品是甲品牌的概率. 5+20 1 [听课记录] (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 = , 100 4 1 用频率估计概率, 所以, 甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为 . 4

(2)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个, 其中甲品牌产品是 75 个,所以在样本中,寿命大于 200 小时的产 75 15 品是甲品牌的频率为 = ,用频率估计概率,所以已使用了 145 29 15 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 . 29

[规律方法] 1.概率是一个常数,它是频率的科学抽象,将事件发生的频率近 似地作为它的概率是求一事件概率的基本方法. m 2.概率公式 P= (n 次试验中,事件 A 出现 m 次). n

[跟踪训练]

1.(2013·北京高考)下图是某市3月1日至14日的空气质量指
数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空 气质量指数大于200表示空气质量重度污染.某人随机选 择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率; (2)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? (结 论不要求证明) 解析 (1)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中,1 日、2 日、3 日、

7 日、12 日、13 日共 6 天的空气质量优良,所以此人到达当日空 6 气质量优良的概率是 . 13

(2)根据题意, 事件 “此人在该市停留期间只有 1 天空气重度染污” 等价于“此人到达该市的日期是 4 日,或 5 日, 或 7 日, 或 8 日” , 4 所以此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率为 . 13 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

互斥事件的概率 [典题导入]

(2013·湖南高考)某人在如图所
示的直角边长为4米的三角形地块的每个 格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形 的顶点)处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)

与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:

X Y

1 51

2 48

3 45

4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1

米.

(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

Y
频数

51

48
4

45

42

(2) 在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48 kg的概率.

[听课记录]

(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其

中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为 2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近” 作物株数为4的作物有3株.列表如下:

Y
频数

51
2

48
4

45
6

42
3

所种作物的平均年收获量为 51× 2+48× 4+45× 6+42× 3 102+192+270+126 = 15 15 690 = =46. 15

2 4 (2)由(1)知,P(Y=51)= ,P(Y=48)= . 15 15 故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为 48 kg 的概 率为 P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48) 2 4 = + 15 15 2 = . 5

[规律方法] 应用互斥事件的概率加法公式的关键是判断事件是互斥事 件.

[跟踪训练]

2.(2012·湖南高考) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间
等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾 客的相关数据,如下表所示: 一次购 物量 顾客数 ( 人) 结算时间 (分钟/人) 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以上

x
1

30
1.5

25
2

y
2.5

10
3

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将
频率视为概率).

解析 20.

(1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单 随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估 计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9(分钟). 100

(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” , A1, A2, A3 分别表示事件 “该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟” , “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” , “该顾客一次购物的 15 3 结算时间为 2 分钟” .将频率视为概率得 P(A1)= = ,P(A2) 100 20 30 3 25 1 = = ,P(A3)= = . 100 10 100 4 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件,

所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 3 3 1 7 + + = . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10

对立事件的概率
[典题导入] 一盒中装有大小和质地均相同的12个小球,其中5个

红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出的小球是红球或黑球的概率; (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率.

[听课记录] 记事件 A={任取 1 球为红球},事件 B={任取 1 球 为黑球},事件 C={任取 1 球为白球},事件 D={任取 1 球为绿 5 4 1 2 1 1 球},∴P(A)= ,P(B)= = ,P(C)= = ,P(D)= . 12 12 3 12 6 12 (1)取出的小球是红球或黑球的概率为 P1=P(A∪B)=P(A)+P(B) 5 1 9 3 = + = = . 12 3 12 4

(2) 解 法 一 : 取 出 的 小 球 是 红 球或 黑 球 或 白 球 的 概 率 为 P2 = 5 1 1 11 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = . 12 3 6 12 解法二: “取出的小球是红球或黑球或白球 ”与 “取出的小球为绿 1 11 球”互为对立事件,故所求概率为 P2=1-P(D)=1- = . 12 12

[规律方法]

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:
(1)直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事 件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算; (2) 间接求解法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A) = 1 - P(A) 求解,即正难则反的数学思想,特别是“至

多”“至少”型题目,用间接求解法就显得较简便.

[跟踪训练]

3.(2014·长春模拟) 黄种人群中各种血型的人所占的比如下
表所示:

血型

A

B

AB

O

该血型的人所占比/%

28

29

8

35

已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的 人,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人

不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?

解析 (1)对任一人,其血型为 A,B,AB,O 型血的事件分别记 为 A′,B′,C′,D′,它们是互斥的. 由已知,有 P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35. 因为 B,O 型血可以输给 B 型血的人,故“可以输给 B 型血的人” 为事件 B′+D′.根据互斥事件的加法公式,有 P(B′+D′)=P(B′)+ P(D′)=0.29+0.35=0.64.

(2)解法一:由于 A,AB 型血不能输给 B 型血的人,故“不能输 给 B 型血的人”为事件 A′+C′,且 P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28 +0.08=0.36. 解法二:因为事件“其血可以输给 B 型血的人”与事件“其血不 能输给 B 型血的人”是对立事件,故由对立事件的概率公式,有 P(B′+D′)=1-P(B′+D′)=1-0.64=0.36. 答:任找一人,其血可以输给小明的概率为 0.64,其血不能输给 小明的概率为 0.36.

【创新探究】 统计与概率的综合问题 (2013·新课标全国Ⅱ高考)经销商经销某种农产

品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润 500元,
未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到 销售季度内市场需求量的频率分布直方图,

如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产 品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场

需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的
利润.

(1)将T表示为X的函数; (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.

【思路导析】
式;

(1) 分 100≤X<130 和 130≤X≤150 求出函数解析

(2)通过函数解析式求出满足条件的 X的取值范围,通过频率 分布直方图估算概率.

【解析】 (1)当 X∈[100,130)时, T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时, T=500× 130=65 000. 所以
? ?800X-39 000,100≤X<130, T=? ? ?65 000,130≤X≤150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售 季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.

【高手支招】

利用概率的统计定义求事件的概率是求一个

事件概率的基本方法,通过大量的重复试验,事件发生的频 率会逐渐趋近于某一个常数,就用事件发生的频率趋近的常 数作为事件的概率.

[体验高考]

(2012·安徽高考)(理)某单位招聘面试,每次从试题库中随机
调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使用后该试题回 库,并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库,此次调题 工作结束;若调用的是 B类型试题,则使用后该试题回库, 此次调题工作结束.试题库中现共有 n+m道试题,其中有n

道A类型试题和 m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成
后,试题库中A类型试题的数量. (1)求X=n+2的概率; (2)设m=n,求X的分布列和均值(数学期望).

解析 以 Ai 表示第 i 次调题用到 A 类型试题,i=1,2. n+1 n (1)P(X = n + 2) = P(A1A2) = · = m+n m+n+2 n(n+1) . (m+n)(m+n+2) (2)X 的可能取值为 n,n+1,n+2. n n 1 P(X=n)=P(A1A2)= · = , n+n n+n 4 P(X=n+1)=P(A1A2)+P(A1A2) n+1 n n n 1 = · + · = , n+n n+n+2 n+n n+n 2

n+1 n 1 P(X=n+2)=P(A1A2)= · = , n+n n+n+2 4 从而 X 的分布列是 X n 1 4 n+1 1 2 n+2 1 4

P

1 1 1 EX=n× +(n+1)× +(n+2)× =n+1. 4 2 4

( 文)(2012·新课标全国卷 ) 某花店每天以每枝 5元的价格从农 场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当

天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关 于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下 表: 日需求量n 频 数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的 日利润(单位:元)的平均数;

②若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的
频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的 概率

解析 (1)当日需求量 n≥17 时,利润 y=85. 当日需求量 n<17 时,利润 y=10n-85. 所以 y 关于 n 的函数解析式为
? ?10n-85,n<17, y=? ? ?85,n≥17

(n∈N).

(2)①这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 1 天的日利润的平均数为 (55×10+65×20+75×16+85×54)= 100 76.4. ②利润不低于 75 元当且仅当日需求量不少于 16 枝, 故当天的利润不少于 75 元的概率为 P=0.16+0.16+0.15+0.13+ 0.1=0.7.

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