高中数学北师大版必修2:综合测试1(含答案)


本册综合测试一
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 下列命题: ①α 内有无数条直线平行于 β,则 α∥β ②平行于同一条直线的两个平面互相平行 ③经过平面 α 外两点可以作一个平面与 α 平行 ④平行于同一个平面的两平面平行 其中正确的个数为( A.0 C.2 [答案] B [解析] ①错误,可能 α 与 β 相交,α 内无数条直线均与交线平行;②错误,可能出现 α 与 β 相交,存在直线与交线平行而与两个平面都平行的情况;③错误,若平面 α 外两点的 连线与平面相交,则过两点作不出平面与 α 平行;④正确. 2.经过点 A(-1,4),且斜率为-1 的直线方程是( A.x+y+3=0 C.x+y-3=0 [答案] C [解析] 直线的方程是 y-4=-(x+1), 即 x+y-3=0. 3.若 P(2,-1)为圆 C:(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A.x-y-3=0 C.x+y-1=0 [答案] A [解析] 由题意知圆心为 C(1,0),则 AB⊥CP, ∵kCP=-1,∴kAB=1, 直线 AB 的方程为 y+1=x-2, 即 x-y-3=0. 4.(安徽高考)下列说法中,不是公理的是( A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 ) B.2x+y-3=0 D.2x-y-5=0 ) ) ) B.1 D.3

B.x-y+3=0 D.x+y-5=0

B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 [答案] A [解析] 由空间几何中的公理可知,仅有 A 不是公理,其余皆为公理. 5.在直线 3x-4y-27=0 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标为( A.(5,-3) C.(-3,5) [答案] A [解析] 过 P(2,1)向此直线引垂线,其垂足即为所求的点,过点 P 作直线 3x-4y-27= 0 的垂线方程为 4x+3y+m=0,而点 P(2,1)在此垂线上,所以 4×2+3×1+m=0. 所以 m=-11.
?3x-4y-27=0, ? 由? 联立求解, ?4x+3y-11=0, ?

)

B.(9,0) D.(-5,3)

得所求的点的坐标为(5,-3). 6.(安徽高考)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为( A.1 C.4 [答案] C [解析] 本题考查了圆的垂径定理. |1+2×2-5+ 5| 圆心到直线的距离 d= =1,半弦长= ? 5?2-12=2. 12+22 ∴弦长=4. 7. 底面边长为 6,各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上, 则此球的体积为( A.9π C.4π [答案] B [解析] ∵底面边长为 6,∴直角边长为 3, 3 ∴2R=3,R= , 2 4 3?3 9 V 球= π? = π. 3 ?2? 2 8.直线 3x+y-2 3=0 截圆 x2+y2=4 得劣弧所对的圆心角为( ) ) 9π B. 2 D.3π B.2 D.4 6 )

π A. 6 π C. 3 [答案] C

π B. 4 π D. 2

| 3×0+1×0-2 3| [解析] 由已知可得直线与圆相交,且圆心到直线的距离 d= = 3. ? 3?2+12 而圆的半径为 2. ∴直线与圆的两交点与圆心构成等边三角形. π ∴可得劣弧所对的圆心角为 . 3 9.如图,定圆的半径为 a,圆心为(b,c),则直线 ax+by+c=0 与直线 x-y+1=0 的 交点在( )

A.第四象限 C.第二象限 [答案] B

B.第三象限 D.第一象限

? ?ax+by+c=0, [解析] 由图知,a>0,b<0,c>0,且 c<a<|b|.解方程组? 得交点坐标为 ?x-y+1=0, ?

?-b+c,a-c?. ? a+b b+a? ? ?
∵ b+c a-c >0, <0,∴交点在第三象限. a+b b+a

10.用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图 形,则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )

A.3 C.5 [答案] D

B.4 D.6

[解析] 如图①所示,这个几何体体积最大时共有 11 个小正方体构成,如图②所示, 这个几何体最小时有 5 个小正方体构成,因此,这个几何体的最大体积与最小体积的差是

6.

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.如图,已知 a∥α,B、C、D∈a,点 A 与 a 在平面 α 的异侧,直线 AB、AC、AD 分别交 α 于 E、F、G 三点,若 BC=5,AD=7,DG=4,则 EF 的长为______.

[答案]

15 7

EF AF AG AD-DG EF 3 15 [解析] 由题知, = = = ,∴ = ,∴EF= . BC AC AD AD 5 7 7 12.(2014· 重庆理,13)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交 于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. [答案] 4± 15 [解析] 本题考查了等边三角形的性质点到直线的距离公式. 圆心坐标是(1,a),半径是 2,由已知可得 |a+a-2| = 4-1, 1+a2 即 a2-8a+1=0,解得 a=4± 15, 解决本题要充分利用三角形 ABC 是等边三角形的性质. 13.(2014· 山东文,13)一个六棱锥的体积为 2 3,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱 长都相等,则该六棱锥的侧面积为________. [答案] 12 [解析] 本题考查六棱锥的体积、侧面积的基本运算. 1 3 如图所示.由体积 V= ×6× ×4· h=2 3 3 4

求得高 h=1. 取 AB 中点 G,连接 OG、PG. ∵OA=OB,∴AB⊥GO. 又 PO⊥AB,PO∩GO=O, ∴AB⊥面 PGO,∴AB⊥PG. 又 PO=1,GO= 3 ×2= 3,∴PG=2. 2

1 ∴S 侧=6× ×AB· PG=3×2×2=12. 2 14.设 X,Y,Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z 且 Y⊥Z?X∥ Y”为真命题的是________(填序号). ①X,Y,Z 是直线;②X,Y 是直线,Z 是平面;③Z 是直线,X,Y 是平面;④X,Y, Z 是平面. [答案] ②③ [解析] ①不行,反例为直线 X,Y,Z 位于正方体的三条共点棱时,②,③可以. ④不行,反例为平面 X,Y,Z 位于正方体的三个共点侧面时. 15.若⊙O:x2+y2=5 与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________. [答案] 4 [解析] 如图所示,在 Rt△OO1A 中,OA= 5,O1A=2 5,

∴OO1=5. ∴AC= 5×2 5 =2.∴AB=2AC=4. 5

三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤)

16.(本小题满分 12 分)若直线 l 垂直于直线 2x+5y-1=0,且与两坐标轴围成的三角 形的面积是 5,求直线 l 的方程. 2 5 [解析] 直线 2x+5y-1=0 的斜率是- ,所以直线 l 的斜率是 ,设直线 l 的方程是 y 5 2 5 2 = x+b,则直线在 x 轴,y 轴上的截距分别是- b,b, 2 5 1? 2 ? - b · 所以 S= · |b|=5,则 b2=25, 2? 5 ? 所以 b=± 5, 5 所以 y= x± 5,即 5x-2y± 10=0, 2 即所求直线 l 的方程是 5x-2y± 10=0. 17. (本小题满分 12 分)(天津高考)如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC, 且各棱长均相等,D,E,F 分别为棱 AB,BC,A1C1 的中点.

(1)证明:EF∥平面 A1CD; (2)证明:平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. [解析] (1)证明:如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC∥A1C1,且 AC=A1C1,连接 1 ED,在△ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DE= AC 且 DE∥AC,又因为 2 F 为 A1C1 的中点,可得 A1F=DE,且 A1F∥DE,即四边形 A1DEF 为平行四边形,所以 EF ∥DA1.

又 EF?平面 A1CD,DA1 平面 A1CD,所以,EF∥平面 A1CD. (2)证明:由于底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中点,故 CD⊥AB,又由于侧棱 A1A ⊥底面 ABC,CD 平面 ABC,所以 A1A⊥CD,又 A1A∩AB=A,因此 CD⊥平面 A1ABB1, 而 CD 平面 A1CD,所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1.

18.(本小题满分 12 分)正三棱锥 S-ABC 的侧面是边长为 a 的正三角形,D、E 分别是 SA、BC 的中点,求△SDE 绕直线 SE 旋转一周所得到的旋转体体积. [解析] 如图,连接 AE.

在正四面体中,AE=SE. ∴DE⊥SA.又 AE=SE= ∴DE= 3 a,AS=a, 2

AS 2 AE2-? ?2= a. 2 2

过点 D 作 DF⊥SE 于点 F. SD· DE 6 有 Rt△SDE 中,DF= = a. SE 6 当△SDE 绕直线 SE 旋转一周时得到两个圆锥, 1 1 其体积为 V 旋转体= ·πDF2· SF+ ·πDF2· FE 3 3 π π π 6 3 = DF2(SF+FE)= DF2· SE= ( a)2· a 3 3 3 6 2 = 3 3 πa . 36 3 3 πa . 36

即所得旋转体的体积是

19.(本小题满分 12 分)已知圆 C:x2+y2-2x-4y-20=0 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y =7m+4(m∈R). (1)求证:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 总相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程. [解析] (1)证明:把直线 l 的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.
? ? ?x+y-4=0, ?x=3. 由方程组? 解得? ?2x+y-7=0 ?y=1. ? ?

∴直线 l 总过定点(3,1). 圆 C 的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25. ∴圆 C 的圆心为(1,2),半径为 5,定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为 ?3-1?2+?1-2?2= 5 <5. ∴点(3,1)在圆 C 内.

∴过点(3,1)的直线 l 总与圆 C 相交,即不论 m 为何实数,直线 l 与圆 C 总相交. (2)解: 当直线 l 过定点 M(3,1)且垂直于过点 M 的半径时, l 被圆截得的弦长|AB|最短. (如 下图)

|AB|=2 BC2-CM2 =2 25-[?3-1?2+?1-2?2] =2 20=4 5. 此时,kAB=- 1 =2. kCM

∴直线 AB 的方程为 y-1=2(x-3), 即 2x-y-5=0. 故直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度为 4 5,此时直线 l 的方程为 2x-y-5=0. 20. (本小题满分 13 分)求过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点, 且满 足下列条件之一的圆的方程: (1)过原点; (2)有最小面积. [解析] 设所求圆的方程为 x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0, 即 x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+(1+4λ)=0. 1 (1)∵圆过原点,∴1+4λ=0,λ=- . 4 3 17 故所求圆的方程为 x2+y2+ x- y=0. 2 4 (2)将圆系方程化为标准式,得 λ-4 2 (x+1+λ)2+(y+ ) 2 5 8 4 = (λ- )2+ . 4 5 5 8 2 5 则当 λ= 时,半径取最小值 . 5 5 13 6 4 此时圆的方程为(x+ )2+(y- )2= . 5 5 5 21.(本小题满分 14 分)如下图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD, 1 PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2

(1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB. [证明] (1)证明:因为 AB⊥平面 PAD, 所以 PH⊥AB, 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高, 所以 PH⊥AD. 因为 AB∩AD=A, 所以 PH⊥平面 ABCD. (2)连接 BH,取 BH 中点 G,连接 EG, 因为 E 是 PB 的中点,

所以 EG∥PH, 因为 PH⊥平面 ABCD, 所以 EG⊥平面 ABCD, 1 1 则 EG= PH= , 2 2 1 11 2 VE-BCF= S△BCF· EG= ·· FC· AD· EG= . 3 32 12 (3)证明:取 PA 中点 M,连接 MD,ME, 1 因为 E 是 PB 的中点,所以 ME 綊 AB. 2 1 因为 DF 綊 AB,所以 ME 綊 DF, 2 所以四边形 MEFD 是平行四边形. 所以 EF∥MD, 因为 PD=AD, 所以 MD⊥PA.

因为 AB⊥平面 PAD,

所以 MD⊥AB.

因为 PA∩AB=A,所以 MD⊥平面 PAB. 所以 EF⊥平面 PAB.


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