陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 三角形中的几何计算及实际应用举例考点例析素材 北师大版必修5


三角形中的几何计算及实际应用举例
【典型例题】 考点一:三角形中的几何计算 例 1. 设 D 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的一点,AB=AD, ?CAD ? ? , ?ABC ? ? 。 (1)求证: sin ? ? cos 2? ? 0 , (2)若 AC ? 3DC, 求 ? 的值。 思路分析: (1)由已知找出 ? 与 2 ? 的关系,即 ? ? 2 ? ? 理得到关于 sin ? 的方程即可。

?
2

,即可证明。 (2)由正弦定

解: (1)由 AB=AD ? ?ADB ? ?ABC ? ? , ?ADB ? ? ? ?ACB

? ? ? ? ? ?ACB, 又? ? ?ACB ? ? sin ? ? sin(2? ?

?
2

, 故:? =? -?ACB ? 2? ?


?
2

.

?
2

) ? ? cos 2?

(2)由正弦定理得:

1 DC AC 3DC sin ? ? ? ? sin ? ? 3 sin ? ? sin ? ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? 3
将此式代入①得:

1 3

sin ? ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? )



将②整理得:

2 3 sin 2 ? ? sin ? ? 3 ? 0 ? sin ? ?
故?=

3 3 ? ? 又 00 或 sin ? ? ? (舍),又 ? , ??? 2 2 2 3

? ? 。即所求的角是 3 3

例 2. 设 P 是正方形 ABCD 内一点,P 到 A、B、C 的距离分别是 1,2,3,求正方形 ABCD 的 边长 思路分析:设正方形的边长为 x,根据角 ABP 与角 CBP 互余,可知其余弦的平方和是 1,

-1-

建立关于 x 的方程,再求解。

解:设边长是 x, (1<x<3) , ?ABP ? ? ,则 ?CBP =9 0°-α 在三角形 ABP 中:由余弦定理得: cos ?ABP ? 同理在△CBP 中: cos ?CBP ?

x 2 ? 22 ? 12 x 2 ? 3 ? , 4x 4x

x2 ? 5 0 90 得: , 由?ABP ? ?CBP ? 90 °得: 4x x2 ? 3 2 x2 ? 5 2 ) ?( ) ?1 4x 4x
(*)

cos2 ?ABP ? cos2 ?CBP ? 1 即有: (
解*得所求的边长为 5 ? 2 2 。

说明:使用正弦定理或余弦定理或相关的知识点解决几何问题,首先要在已知的图形中 构造三角形(已有三角形,不需构造) ,能构造特殊三角形的尽可能地构造特殊的三角形。

考点二:研究几何计算问题中的最值问题。 如图所示,点 P 在直径 AB=1 的半圆上移动,过点 P 作半圆的切线 PT,使 PT=1,则如何 确定 P 点的位置?才能使得四边形 ABTP 的面积最大?

思路分析:由已知得 P 点的变化引起角 PAB 的变化,故可把四边形 ABTP 的面积表示成关 于角 PAB 的函数,然后求函数的最值。 解:连接 BP,设∠PAB=α ,由 AB 为直径得∠APB=90°,即△APB 是直角三角形, 由 AB=PT=1 得: AP ? cos ? , BP ? sin ? 。又 PT 是圆的切线,故,∠BPT=∠PAB=α

S四边形ABTP ? S?APB ? S?BPT ?
?

1 1 1 1 sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin 2? ? (1 ? cos 2? ) 2 2 4 4

1 1 1 2 ? ? ? 3? 1? 2 ? (sin 2? ? cos 2? ) ? ? sin(2? ? ), 当2? ? ? 时,即? ? 时,Smax ? 4 4 4 4 4 4 2 8 4
例 4. 在等边三角形 ABC 中,AB=a,O 为中心,过 O 的直线交 AB 于 M,交 AC 于 N,

-2-



1 1 ? 的最大值。 2 OM ON 2

思路分析:由于 M、N 的变化导致角 MOA 的变化, 然后利用正弦定理, 把式子表示成角 MOA 的函数,再求最大值。

解:由已知 AO ?

3 a , ∠MAO=∠NAO=30°,设∠MOA=θ ,则 ? ? [60?,120?] 3

3 3 a a 6 6 OM ? , ON ? 在?AOM 和?AON中,分别用正弦定理得: sin(? ? 30?) sin(? ? 30?)
1 1 12 12 ? 1 ? ? ? 2 [sin 2 (? ? 30?) ? sin 2 (? ? 30?)] ? 2 ?1 ? [cos(2? ? 60?) ? cos(2? ? 60?)]? 2 2 OM ON a a ? 2 ? 12 6 1 ? 2 [1 ? cos 2? cos 60?] ? 2 (2 ? cos 2?),?120? ? 2? ? 240? ? ?1 ? cos 2? ? ? 2 a a
故当 cos 2? ? ?1 时,即 ? ? 90? 时,

1 1 18 ? 取得最大值是 2 。 2 2 OM ON a

【说明】在三角形几何计算中解决最值问题的关键是引入变量。 考点三:利用正弦定理、余弦定理解决实际问题 例 5. (1) (航海问题)已知一测高仪表失灵的飞机在高空以 300km/h 的速度按水平方向向 东飞行,飞机的航线和山顶 C 在同一铅直的平面内,若在 A 处 的飞行员利用测角仪器测得先 看到海拔高度为 4000m 的山顶 C 的俯角为 15°, 经 120 秒后在 B 点又看到山顶 C 的俯角是 60°, 求飞机现在的海拔高度。

思路分析:先根 据已知条件画出图形,找出两个俯角,再根据正弦定理求出 BC,在直角 三角形 BCD 中求出 CD,CD 加上山的高度即是飞机现在的海拔高度。 解:根据已知画出图形(如图)∠BAC=15°,∠DBC=60°,故∠BCA=4 5°

-3-

又 AB=300×

2 =10(km) ,则在△ABC 中由正弦定理得: 60
10 ? 6? 2 4 ? 5( 3 ? 1)( km) 2 2

AB BC AB sin15? ? ? BC ? ? sin 45? sin15? sin 45?

在直角△BDC 中:CD=BCsin60°= 故飞机飞行的海拔高度是 3170+4000=7170(米) (2)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,测出该渔轮 在方位角 45°,距离为 10 海里的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向,以每小时 9 海里的速度向小岛 B 靠拢,我海军舰艇立即以每小时 21 海里的速度前去营救,求舰艇的航向 及靠近渔轮的时间。

思路分析:根据题意先画出图形,设舰艇收到信号后 x 小时在 B 处靠拢渔轮,在三角形 ABC 中利用余弦定理可求得 x,再用正弦定理求得舰艇的航向。 解:设舰艇收到信号 x 小时在 B 处与渔轮靠拢,则 AB=21x,BC=9x,AC=10,∠ACB=120° 在△ABC 中, 由余弦定理得: (21x) ? 10 ? (9 x) ? 2 ?10 ? 9 x cos120 120°
2 2 2 0

整理得: 36 x ? 9 x ? 10 ? 0 ? x ?
2

2 (h) ? 40(min) ,由正弦定理可求∠BAC≈ 3

21.8°, 答:舰艇沿方位角(45°+21.8°)的方向航行 40min 可靠近渔轮。 例 6. (测量问题)欲测量河对岸两点 P,Q 之间的距离,应如何测量?

思路分析:可以在岸边选定距离为 a 的两个观测点 A,B,然后测出角 BAP,角 BAQ,角 ABQ, 角 ABP,利用正弦定理求解。
-4-

解: 选定距离为 a 的两个观测点 A, B。 利用测角仪器测得: ∠BAP= ? , ∠BAQ= ? , ∠ABQ= ? ∠ABP= ? ,则由正弦定理得:

AP a a sin ? , ? ? AP ? sin ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

同理:

AQ a sin aa sin ?? ? ? AQ ? ,在三角形 APQ 中利用余弦定理得: sin( ?? ?? ?) sin ? sin( ? ? ? ) sin( ?)

PQ2 ? AP 2 ? AQ2 ? 2AP ? AQ cos(? ? ?)

a2 sin 2 ? a2 sin 2 ? 2a2 sin ? sin ? cos(? ? ? ) 2 ? PQ ? [ 2 ? 2 ? ] sin(? ? ? )sin(? ? ? ) sin (? ? ? ) sin (? ? ? )
1

例 7. (台风问题)某城市附近的海面上有一股台风,台风中心位于城市 O 的南偏东

90? ? ? (? 为锐角且cos? =

2 并以每小时 20km/h 的速度向北偏西 ) 方向 300km 海面的 P 处, 10

45°的方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当时半径是 60km,并以 10km/h 的速度不断增 大,问几小时后该城市受到台风的侵袭?

思路分析:设经过 x 小时该城市恰好受到台风的侵袭,假设台风中心由 P 移到 Q 处(如 图) ,此时台风的侵袭半径是 OQ=60+10x,在三角形 OPQ 中,OP=300,PQ=20x,由余弦定理建立关 于 x 的方程求 x。 解:设 x 小时后该城市恰好受到台风的侵袭,此时台风中心由 P 处移到 Q 处,台风的侵 袭半径是(60+10x)km,城市 O 恰好受到台风侵袭的条件是 OQ=60+10x 在三角形 OPQ 中:OP=300,PQ=20x,∠OPQ= ? -45°,cos∠OPQ=cos( ? -45°) =

2 2 7 2 4 (cos ? ? sin ? ) , ? 为锐角,且 cos ? ? ,? sin ? ? ? cos ?OPQ ? , 2 10 10 5
2 2 2

由余弦定理得: (60 ? 10 x) ? (20 x) ? 300 ? 2 ? 20 x ? 300 ?

4 ? x 2 ? 4 x ? 256 ? 0 5

? ? 0, 故方程无解,即该城市不会受到台风的影响。
【本讲涉及的数学思想、方法】 本讲主要讲述了利用正弦定理、余弦定理及其相关的知识解决三角形中的几何计算及实
-5-

际问题,在此过程中,体现了方程的数学思想(如例 1、例 2) 、函数的数学思想(如求最值 问题) 、等价转化的数学思想等在解题中的应用。

-6-


相关文档

更多相关文档

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 三角形中的几何计算及实际应用举例要点分析素材 北师大版必修5
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 平面向量数量积的应用例题讲解素材 北师大版必修4
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 品味平面向量与三角形中线的交汇典例剖析素材 北师大版必修4
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 统计案例 独立性检验的基本思想及初步应用素材 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 二倍角公式的两个特殊变式及应用典例剖析素材 北师大版必修4
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 统计案例 独立性检验的步骤及应用素材 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 统计案例 回归模型的残差分析拓展资料素材 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 框图 流程图在实际问题中的应用拓展资料素材 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 统计案例 独立性检验两种基本思想的解读与对比素材 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 例谈分析法在解题中的应用拓展资料素材 北师大版选修1-2
电脑版