《平面向量》测试题及答案


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《平面向量》测试题
一、选择题 1.若三点 P(1,1) ,A(2,-4) ,B(x,-9)共线,则( A.x=-1 B.x=3 C.x= )

9 2

D.x=51

2.与向量 a=(-5,4)平行的向量是( A.(-5k,4k) B.(-



5 4 ,- ) C.(-10,2) D.(5k,4k) k k 3 3.若点 P 分 AB 所成的比为 ,则 A 分 BP 所成的比是( ) 4 3 7 7 3 A. B. C.D.7 3 3 7
4.已知向量 a、b,a?b=-40,|a|=10,|b|=8,则向量 a 与 b 的夹角为( A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|= 41 ? 20 3 ,|a|=4,|b|=5,则向量 a?b=( A.10 3 B.-10 3 C.10 2 ) D.10 ) )

6.(浙江)已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( 7? 7? ?7 7? ? 7 ?7 7? ? 7 A.? , ? B.?- ,- ? C.? , ? D.?- ,- ? 9 3 3 9 3 9 9 3? ? ? ? ? ? ? ? 7.已知向量 a=(3,4),b=(2,-1),如果向量(a+x) ?b 与 b 垂直,则 x 的值为( ) A.

23 3

B.

3 23

C.2

D.-

2 5


8.设点 P 分有向线段 P 1P 2 的比是λ ,且点 P 在有向线段 P 1P 2 的延长线上,则λ 的取值范围是( A.(-∞,-1) B.(-1,0) 9.设四边形 ABCD 中,有 DC = C.(-∞,0) D.(-∞,-

1 ) 2


1 AB ,且| AD |=| BC |,则这个四边形是( 2

A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将 y=x+2 的图像 C 按 a=(6,-2)平移后得 C′的解析式为( ) A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 2 2 11.将函数 y=x +4x+5 的图像按向量 a 经过一次平移后,得到 y=x 的图像,则 a 等于( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的 3 个顶点为 A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第 4 个顶点 D 的坐标是( A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量 a=(2,-1),向量 b 与 a 共线且 b 与 a 同向,b 的模为 2 5 ,则 b= 14.已知:|a|=2,|b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 45°,要使λ b-a 垂直,则λ = 15.已知|a|=3,|b|=5,如果 a∥b,则 a?b= 16.在菱形 ABCD 中, ( AB + AD ) ? ( AB - AD )=
1



。 。

。 。

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三、解答题 17.如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC、AB 的中点, 已知 AB =a, AD =b,试用 a、b 分别表示 DC 、 BC 、 MN 。

18.设 a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2), (1)求证 a 与 b 不共线,并求 a 与 b 的夹角的余弦值;(2)求 c 在 a 方向上的投影; (3)求 λ 1 和 λ 2,使 c=λ 1a+λ 2b.

19.设 e1 与 e2 是两个单位向量,其夹角为 60°,试求向量 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2 的夹角θ 。

20.以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,∠B=90°,求点 B 的坐标和 AB 。

21. 已知 | a |? 2 | b |? 3 , a与b 的夹角为 60 , c ? 5a ? 3b , d ? 3a ? kb ,当当实数 k 为何值时,
o

?

?

? ?

?

?

?

? ?

?

?

⑴c∥d

?

? ?

⑵c ? d

?

? ?

22.已知△ABC 顶点 A(0,0) ,B(4,8) ,C(6,-4) ,点 M 内分 AB 所成的比为 3,N 是 AC 边上的一点, 且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半,求 N 点的坐标。

2

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文科数学 [平面向量]单元练习题
一、选择题 1.(全国Ⅰ)设非零向量 a、b、c、满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=( ) A.150 B.120° C.60° D.30° 2.(四川高考)设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b 等于( ) A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) → → → → → → 3.如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用 a,b 表示AD,则AD等于( ) 3 1 3 1 1 3 1 A.a+ b B. a+ b C. a+ b D. a+ b 4 4 4 4 4 4 4 4.(浙江)已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( ) 7 7 7 7 7 7 7 7 ? ? ? ? C.? , ? ? ? A.? , ? B.?- ,- ? D.?- ,- ? ?3 9? 9? 3? ?9 3? ? 3 ? ? ? 9 5.(启东)已知向量 p=(2,x-1),q=(x,-3),且 p⊥q,若由 x 的值构成的集合 A 满足 A?{x|ax=2}, 则实数 a 构成的集合是( ) 2 2 A.{0} B.{ } C.? D.{0, } 3 3 3 6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边,如果 2b=a+c,B=30°,△ABC 的面积为 ,则 b 等 2 于( ) 1+ 3 2+ 3 A. B.1+ 3 C. D.2+ 3 2 2 7.(银川模拟)已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与 B 的距离为( ) A.2a km B.a km C. 3a km D. 2a km →2 → → → → → → 8.在△ABC 中,若BC =AB?BC+CB?CA+BC?BA,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 9.已知等腰△ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A 的正切值是( ) 3 15 15 A. B. 3 C. D. 2 8 7 → |PA| → → → 10.已知 D 为△ABC 的边 BC 的中点,在△ABC 所在平面内有一点 P,满足PA+BP+CP=0,设 =λ ,则 → |PD| λ 的值为( ) 1 1 A.1 B. C.2 D. 2 4 二、填空题 11.设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ ________. |a| 12.(皖南八校联考)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,若向量 c=a+b,且 c⊥a,则 =________. |b| 13.已知向量 a=(tanα ,1),b=( 3,1),α ∈(0,π ),且 a∥b,则 α 的值为________. 14.(烟台模拟)轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O,两船航行方向的夹角为 120°,两船的航行 速度分别为 25 n mile/h、15 n mile/h,则下午 2 时两船之间的距离是________n mile. 15.(江苏高考)满足条件 AB=2,AC= 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是________. 三、解答题 16.设 a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2), (1)求证 a 与 b 不共线,并求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)求 c 在 a 方向上的投影; (3)求 λ 1 和 λ 2,使 c=λ 1a+λ 2b.

3

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17.如图,已知 A(2,3),B(0,1),C(3,0),点 D,E 分别在 AB,AC 上,DE∥BC,且 DE 平分△ABC 的面积, 求点 D 的坐标.

?π 3 ? 18.(厦门模拟)已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosα ,sinα ),α ∈? , π ?. ?2 2 ? → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2 2sin α +sin2α → → (2)若AC?BC=-1,求 的值. 1+tanα

π 19.(南充模拟)在△ABC 中,已知内角 A= ,边 BC=2 3,设内角 B=x,周长为 y. 3 (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值及取得最大值时△ABC 的形状.

20.(福建高考)已知向量 m=(sinA,cosA),n=( 3,-1),m?n=1,且 A 为锐角. (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.

21.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且(a +b )sin(A-B)=(a -b )sinC. → → (1)若 a=3,b=4,求|CA+CB|的值; π → → → → → → (2)若 C= ,△ABC 的面积是 3,求AB?BC+BC?CA+CA?AB的值. 3

2

2

2

2

4

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《平面向量》测试题
参考答案 1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0 17.[解] 连结 AC

1 1 1 AB = a,…… AC = AD + DC = b+ a,…… 2 2 2 1 1 BC = AC - AB = b+ a-a= b- a,…… 2 2 1 NM = ND + DM = NA + AD + DM = b- a,…… 4 1 MN =- NM = a-b。…… 4

DC =

18. 【解析】 (1)∵a=(-1,1),b=(4,3),且-1?3≠1?4,∴a 与 b 不共线. 又 a?b=-1?4+1?3=-1,|a|= 2,|b|=5, a?b -1 2 ∴cos〈a,b〉= = =- . |a||b| 5 2 10 (2)∵a?c=-1?5+1?(-2)=-7∴c 在 a 方向上的投影为

a?c -7 7 = =- 2. |a| 2 2

(3)∵c=λ 1a+λ 2b, ∴(5,-2)=λ 1(-1,1)+λ 2(4,3) =(4λ 2-λ 1,λ 1+3λ 2),
? ?4λ 2-λ 1=5 ∴? ?λ 1+3λ 2=-2 ?

? ?λ ,解得? ? ?λ

1

=-

23 7

3 2= 7
2 2 2

.

19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a| =a =(2e1+e2) =4e1 +4e1?e2+e2 =7,∴|a|= 7 。
2 2

同理得|b|= 7 。又 a?b==(2e1+e2) ?(-3e1+2e2,)=-6e1 + e1?e2+2e2 =2 2

7 , 2

7 ? a·b 2 =- 1 ,∴θ =120°. ∴ cosθ = = | a |·| b | 7? 7 2
20.[解] 如图 8,设 B(x,y),

5

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则 OB =(x,y), AB =(x-4,y-2)。 ∵∠B=90°,∴ OB ⊥ AB ,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即 x +y =4x+2y。① 设 OA 的中点为 C,则 C(2,1), OC =(2,1) , CB =(x-2,y-1) ∵△ABO 为等腰直角三角形,∴ OC ⊥ CB ,∴2(x-2)+y-1=0,即 2x+y=5。② 解得①、②得 ?
2 2

? x1 ? 1 ? x 2 ? 3 或? ? y1 ? 3 ? y 2 ? ?1

∴B(1,3)或 B(3,-1),从而 AB =(-3,1)或 AB =(-1,-3) 21. ⑴若 c ∥ d 得 k ? 9 22.[解] 如图 10,

5

⑵若 c ? d 得 k ? ? 29

14

S△ AMN S△ ABC

1 | AM |·| AN |·sin ?BAC | AM |·| AN | 2 = = 。 1 | AB | · | AC | | AB |·| AC |·sin ?BAC 2
| AM | 3 = ,则由题设条件得 | AB | 4

∵M 分 AB 的比为 3,∴

| AN | 2 | AN | 1 4 | AN | = ,∴ = ,∴ =2。 2 3 | AC | | AC | 3 | AC |

0 ? 2?6 ? xN ? ? 4, ? ? 1? 2 由定比分点公式得 ? ? y ? 0 ? 2 ? (?4) ? ? 8 . N ? 1? 2 3 ?
∴N(4,-

8 )。 3

文科数学 [平面向量]单元练习题 答案 一、选择题 1.B 【解析】 ∵(a+b) =c ,∴a?b=- , 2
6
2 2

c2

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a?b 1 cos〈a,b〉= =- , 〈a,b〉=120°.故选 B. |a||b| 2 2.A 【解析】 a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3). 3→ → → → 3.B 【解析】 AD=AB+BD=a+ BC 4 3 → → 3 1 3 =a+ (AC-AB)=a+ (b-a)= a+ b. 4 4 4 4 4.D 【解析】 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1). ∵(c+a)∥b,c⊥(a+b), ∴2(y+2)=-3(x+1),3x-y=0. 7 7 ∴x=- ,y=- ,故选 D. 9 3 5.D 【解析】 ∵p⊥q,∴2x-3(x-1)=0, 即 x=3,∴A={3}.又{x|ax=2}?A, ∴{x|ax=2}=?或{x|ax=2}={3}, 2 ∴a=0 或 a= , 3 2 ∴实数 a 构成的集合为{0, }. 3 1 3 6.B 【解析】 由 ac sin 30°= 得 ac=6, 2 2 2 2 2 由余弦定理得 b =a +c -2accosB 2 =(a+c) -2ac-2accos30°, 2 即 b =4+2 3, ∴b= 3+1. 7.C 【解析】 如图,△ABC 中, AC=BC=a,∠ACB=120°. 由余弦定理, 2 2 2 得 AB =AC +BC -2AC?BCcos120° 1 2 2 2 2 =a +a -2a ?(- )=3a , 2
∴AB= 3a. → → → → → → 8.B 【解析】 ∵AB?BC+CB?CA+BC?BA → → → → → → → =BC?(AB+BA)+CB?CA=CB?CA, →2 → → → → → → → ∴BC -CB?CA=BC?(BC+CA)=BC?BA=0, π ∴∠B= ,∴△ABC 为直角三角形. 2 9.D 【解析】 设底边长为 a,则腰长为 2a, 2 2 2 4a +4a -a 7 15 ∴cos A= = ?sin A= . 2?2a?2a 8 8 15 ,故选 D. 7 → → → 10.C 【解析】 ∵PA+BP+CP=0, → → → → → 即PA-PB+CP=0,即BA+CP=0, → |PA| 故四边形 PCAB 是平行四边形,∴ =2. → |PD| 二、填空题 11. 【解析】 ∵a=(1,2),b=(2,3), ∴tan A=
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∴λ a+b=(λ ,2λ )+(2,3)=(λ +2,2λ +3). ∵向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线, ∴-7(λ +2)+4(2λ +3)=0,∴λ =2. 【答案】 2 12. 【解析】 由题意知 a?b=|a||b|cos120° 1 =- |a||b|. 2 又∵c⊥a,∴(a+b)?a=0, 2 ∴a +a?b=0, 1 |a| 1 2 即|a| =-a?b= |a||b|,∴ = . 2 |b| 2 1 【答案】 2 13. 【解析】 ∵a∥b,∴tanα - 3=0,即 tanα = 3, π 又 α ∈(0,π ),∴α = . 3 π 【答案】 3 14.【解析】 如图,由题意可得 OA=50,OB=30. 2 2 2 而 AB =OA +OB -2OA?OB cos120° 1 2 2 =50 +30 -2?50?30?(- ) 2 =2 500+900+1 500=4 900,∴AB=70. 【答案】 70 15. 【解析】 设 BC=x,则 AC= 2x, 1 根据面积公式得 S△ABC= AB?BCsinB 2 1 2 = ?2x 1-cos B, 2 AB2+BC2-AC2 根据余弦定理得 cosB= 2AB?BC 4+x -( 2x) 4-x = , 4x 4x 代入上式得 2 2 2 4-x 2 128-(x -12) S△ABC=x 1-( )= , 4x 16 = 由三角形三边关系有?
2 2 2

? 2x+x>2 ?x+2> 2x



解得 2 2-2<x<2 2+2. 故当 x=2 3时,S△ABC 取得最大值 2 2. 【答案】 2 2 三、解答题 16. 【解析】 (1)∵a=(-1,1),b=(4,3),且-1?3≠1?4,∴a 与 b 不共线. 又 a?b=-1?4+1?3=-1,|a|= 2,|b|=5, a?b -1 2 ∴cos〈a,b〉= = =- . |a||b| 5 2 10 (2)∵a?c=-1?5+1?(-2)=-7, a?c -7 7 ∴c 在 a 方向上的投影为 = =- 2. |a| 2 2
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(3)∵c=λ 1a+λ 2b, ∴(5,-2)=λ 1(-1,1)+λ 2(4,3) =(4λ 2-λ 1,λ 1+3λ 2),
? ?4λ 2-λ 1=5 ∴? ?λ 1+3λ 2=-2 ?

? ?λ ,解得? ? ?λ

1

=-

23 7

3 2= 7

.

→ 17. 【解析】 要求点 D 坐标,关键是求得点 D 分AB所成比 λ 的值,求 λ 值可由已知条件△ADE 是△ABC 面积一半入手,利用三角形面积比等于三角形相似比的平方关系求得. ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

S△ADE ?AD?2 =? ? . S△ABC ?AB? AD 1 ?AD?2 1 由已知,有? ? = ,即 = . AB ?AB? 2 2
∴ → 设点 D 分AB所成的比为 λ ,利用分点定义, 1 得λ = = 2+1. 2-1 2 ∴得点 D 的横、纵坐标为 x= =2- 2, 1+ 2+1

y=

3+ 2+1 =3- 2. 1+ 2+1

则点 D 坐标为(2- 2,3- 2). → 18. 【解析】 (1)∵AC=(cosα -3,sinα ), → → → BC=(cosα ,sinα -3)且|AC|=|BC|, 2 2 2 2 ∴(cosα -3) +sin α =cos α +(sinα -3) , 整理,得 sinα =cosα ,∴tanα =1. π 3 5 又 <α < π ,∴α = π . 2 2 4 → → (2)∵AC?BC=cosα (cosα -3)+sinα (sinα -3)=-1, 2 2 ∴cos α -3cosα +sin α -3sinα =-1, 2 5 即 sinα +cosα = ,∴2sinα cosα =- , 3 9 2 2 2sin α +sin 2α 2sin α +2sinα cosα ∴ = 1+tanα sinα 1+ cosα 5 =2sinα cosα =- . 9 19. 【解析】 (1)△ABC 的内角和 A+B+C=π , π 2 由 A= ,B>0,C>0 得 0<B< π , 3 3

BC 2 3 应用正弦定理知 AC= sin B= sin x sin A π sin 3 =4sin x. BC ?2 ? AB= sin C=4sin? π -x?, sin A ?3 ? ∵y=AC+AB+BC,
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2 ? ?2 ? ? ∴y=4sinx+4sin? π -x?+2 3?0<x< π ?. 3 ? ?3 ? ? 3 1 ? ? (2)∵y=4?sinx+ cosx+ sinx?+2 3 2 2 ? ? π ? ? =4 3sin?x+ ?+2 3, 6? ? π π 5 且 <x+ < π , 6 6 6 π π π ∴当 x+ = 即 x= 时,y 取得最大值 6 3, 6 2 3 此时△ABC 为等边三角形. 20. 【解析】 (1)由题意得 m?n= 3sinA-cosA=1, π π 1 2sin(A- )=1,sin(A- )= . 6 6 2 π π π 由 A 为锐角得 A- = ,A= . 6 6 3 1 (2)由(1)知 cosA= , 2 2 所以 f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin x+2sinx 1 2 3 =-2(sinx- ) + . 2 2 因为 x∈R,所以 sinx∈[-1,1], 1 3 因此,当 sinx= 时,f(x)有最大值 , 2 2 当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3, 3 所以所求函数 f(x)的值域是[-3, ]. 2 2 2 2 2 21. 【解析】 由(a +b )sin(A-B)=(a -b )sinC,得 2 2 2 2 (a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B), 由两角和与差的正弦公式展开得: 2 2 2b sin Acos B=2a cos Asin B. 根据正弦定理有:2sin Bcos B=2sin Acos A, 即 sin 2B=sin 2A, ∵A、B 为三角形的内角, π ∴A=B 或 A+B= . 2 π π → → (1)若 a=3,b=4,则 A≠B,∴A+B= ,C= ,CA⊥CB, 2 2 → → →2 →2 → →) ∴|CA+CB|=( CA +CB +2CA?CB 2 2 = a +b =5. π π (2)若 C= ,则 C≠ ,∴A=B,a=b,三角形为等边三角形. 3 2 1 2 由 S△ABC= a sin C= 3,解得 a=2, 2 → → → → → → ∴AB?BC+BC?CA+CA?AB 2π =3?2?2cos =-6. 3

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