2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第3章§3.2


§3.2 同角三角函数的基
本关系及诱导公式

§ 3.2 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 及 诱 导 公 式

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理

1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:__________________ ; sin2θ+cos2θ=1
sinθ tanθ= cosθ (2) 商数关系:_______________ .

2.诱导公式
函数 角 α+k· 2π(k∈Z) α+ π -α 2π-α π- α π +α 2 π -α 2 正弦 sinα -sinα ______ - sinα -sinα 余弦 cosα 正切

tanα _______
tanα -tanα -tanα

- cosα _______
cosα

cosα ______
-cosα

sin α ______
cosα

- tanα ______

- sinα _______
sinα

cos α _______

总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇、 π 偶”是指“k·± α(k∈Z)”中 k 的奇偶性;“符号” 2 是把任意角 α 看作锐角时,原函数值的符号.

思考感悟

如何利用上表中的诱导公式实现正弦函数与余弦
函数的相互转化? 提示:利用公式“±α”可实现正弦函数与余弦函 数的相互转化.

课前热身
1.cos585° 等于( 3 A.- 2 2 C. 2 ) 3 B. 2 2 D.- 2

答案:D

5π π 55π 2 . ( 教材习题改编 )sin( + ) + sin( - ) 的值是 2 4 6 ( ) 2+ 1 2- 1 A. B. 2 2 1- 2 C. 2 2+ 1 D.- 2

答案:A

1 3. (2009 年高考全国卷Ⅱ )已知 ΔABC 中, =- tanA 12 ,则 cosA 等于 ( ) 5 12 5 A. B. 13 13 5 C.- 13 12 D.- 13

答案:D

79 4.(2011 年济源质检) cos(- π)的值为________. 6 3 答案:- 2
5.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+

sin289°的值为________.
1 答案:44 2

考点探究?挑战高考

考点突破 三角函数式的化简 利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行 化简时,一般多直接应用公式,在此情况下容易 出错的地方是三角函数的符号.

例1

化简下列各式. 1+ sinα - 1- sinα 1- sinα (α 是第三象限角 ); 1+ sinα

(1)

(2) 1-2sin40° cos40° ; (3)sin2α+sin2β- sin2αsin2β+ cos2αcos2β; 3π tan? π-α? cos?2π- α? sin?- α+ ? 2 (4) . cos? - α- π? sin? -π- α?

【思路点拨】 合理变形.

观察分析每一个角(式),看其是

否能直接使用公式,不能直接使用,要对其进行

【 解】

(1) 原 式 = =

?1+ sinα??1+ sinα? - ?1- sinα??1+ sinα? ?1+ sinα? 2 1- sin2α -

?1- sinα??1- sinα? ?1+ sinα??1- sinα?
2

?1- sinα? 1+ sinα 1- sinα - , 2 = |cosα | |cosα | 1- sin α ∵ α 是第三象限角, ∴ cosα<0, 1+ sinα 1- sinα ∴原式= - =- 2tanα. - cosα - cosα

(2) 1-2sin40° cos40° = ? sin40° - cos40° ?2 = | sin40° - cos40°|. ∵ sin40° <cos40° , ∴ | sin40° - cos40° |= cos40° - sin40° . (3)sin2α+ sin2β- sin2αsin2β+ cos2αcos2β = sin2α(1- sin2β)+ sin2β+ cos2αcos2β = sin2αcos2β+ cos2αcos2β+ sin2β = (sin2α+ cos2α)cos2β+ sin2β= cos2β+ sin2β= 1.

(4)法一:原式 π ?- tan α? · cos[π+? π- α?]· sin? π+ - α? 2 = cos? π+ α? · [- sin? π+ α?] π ?- tan α? · [- cos?π- α?]· [- sin? - α? ] 2 = ?- cosα? · sinα - tan α · cosα · ? - cosα? - tan α · cosα = = sinα - cosα · sinα sinα cosα =- · =- 1. cosα sinα

法二:原式 π - tan α · cos? - α? · sin? - α- ? 2 = cos? π- α? · sin? π- α? π tan α · cosα · sin? α+ ? 2 = - cosα · sinα sinα · cosα cosα = =-1. - sinα

【反思感悟】

化简是一种不指定答案的恒等变

形,化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少
、次数低,能求出值的要求出值.

三角函数式求值
解决条件求值问题时,要注意发现所给值式和被

求值式的特点,寻找它们之间的内在联系,特别
是角之间的联系,然后恰当地选择诱导公式求解 .

(1)(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ改编 ) 已知 cos(-80° )=k,求 tan100° ;
例2

4 (2)已知 sinθ=- 且 tanθ>0,求 cosθ 的值. 5

【思路点拨】

先化简条件,再利用同角三角函

数基本关系式求值,同时要注意角的范围.

【解】

(1)∵ cos(- 80° )= cos80° = k,

∴ sin80° = 1- cos280° = 1-k2, ∴ tan100° = tan(180° - 80° ), 1 -k 2 sin80° =-tan80° =- =- . cos80° k sinθ (2)由 tanθ= >0,知 sinθ 与 cosθ 同号, cosθ ∴ cosθ=- 1- sin θ=-
2

42 3 1-?- ? =- . 5 5

【误区警示】
限的判定. 互动探究1 结果如何?
3 答案: ± 5

利用sin2θ+cos2θ=1,求sinθ或

cosθ的值时要用到开方,此时要注意角θ所在象 若将本例(2)中条件“tanθ>0”去掉,

同角三角函数基本关系式的应用
运用基本关系式可以求解两类问题: (1)已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三 角函数值;

(2)运用它对三角函数式进行化简、求值或证明.

已知 tanα=2,求: 2sinα- cosα (1) 的值; sinα+ 2cosα (2)sin2α+ sinαcosα-2cos2α 的值.
例3

【思路点拨】

(1)用条件将待求式弦化切,分子

分母同除以cosα,或将式中的正弦用余弦代换, 分子分母相抵消,达到求值的目的. (2)为达到利用条件tanα=2的目的,将分母1变为 sin2α+cos2α,创造分母以达到利用(1)的法一的

方法求值.

(1)法一:∵ tanα= 2,∴ cosα≠ 0, 2sinα cosα - cosα cosα 2tan α- 1 ∴原式= = sinα 2cosα tan α+ 2 + cosα cosα 2×2-1 3 = = . 4 2+2 法二:由 tanα= 2,得 sinα=2cosα,代入求值式得 2×2cosα- cosα 3cosα 3 原式= = = . 4 4cos α 2cosα+ 2cosα 【解】

sin2α+sinαcosα- 2cos2α (2)原式= sin2α+ cos2α tan 2α+ tan α- 2 = tan 2α+ 1 2 +2- 2 4 = 2 = . 5 2 +1
2

【规律小结】

如果所给分式的分子、分母是关

于sinα和cosα的齐次式,则可通过同除以cosα的 最高次幂将分式转化成关于tanα的分式,然后代

入求值.

sinα±cosα与方程思想
对于 sin αcos α,sinα+ cosα,sin α- cos α 借助平方 2 关系可知一求二,如(sinα± cos α) = 1± 2sin αcos α; t2- 1 若令 sin α+ cos α= t,则 sin αcos α= ,(sin α 2 - cos α)2= 2- t2 等.

π 1 例4 已知- <x<0, sinx+ cosx= . 2 5 2 2 (1)求 sin x- cos x 的值; tan x (2)求 的值. 2sinx+ cosx
1 【思路点拨】 由 sinx+ cosx= 及 sin2x+ cos2x= 5 1 求出 sinx, cosx 的值,再代入所求式求值.另外 π 由- <x<0,可得 sinx<0, cosx>0,从而判定 sinx 2 - cosx 的符号,求出(sinx- cosx) ,再求值.
2

1 1 【解】 由 sinx+ cosx= ,得 1+2sinxcosx= , 5 25 24 则 2sinxcosx=- . 25 π ∵- <x<0, 2 ∴ sinx<0, cosx>0,即 sinx- cosx<0, 则 sinx- cosx=- sin2x- 2sinxcosx+ cos2x =- 24 7 1+ =- . 25 5

(1)sin2x- cos2x=(sinx+ cosx)(sinx- cosx) 1 7 7 = × (- )=- . 5 5 25 1 3 sinx+ cosx= sinx=- 5 5 (2)由 ,得 7 4 sinx- cosx=- cosx= 5 5

? ? ?

? ? ?



3 - 4 3 tan x 15 则 tanx=- .即 = = . 4 2sinx+ cosx 6 4 8 - + 5 5

【名师点评】

学会利用方程思想解三角函数题

,对于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个 式子,已知其中一个式子的值,就可以求出其余 二式的值,但要注意对符号的判断.

互动探究 2
2x

本例条件不变,如何求

x x 2x 3sin - 2sin cos + cos 2 2 2 2 的值. 1 tan x+ tan x

2 sin - sinx+1 2 解:原式= sinx cosx + cosx sinx = (2- sinx- cosx)sinxcosx, 1 12 由例 4 可知 sinx+ cosx= , sinxcosx=- , 5 25 1 12 108 ∴原式= (2- )×(- )=- . 5 25 125

2x

方法感悟 方法技巧 1.同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,

主要是变名、变式.
2.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函

数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函
数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判 断符号后,正确取舍.(如例2)

3.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化 简时,常用方法有: (1)弦切互化法,主要利用公式 sinx tan x= 化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法: cosx 如利用 (sinθ± cosθ)2= 1± 2sinθcosθ 的关系进行变形、 转化; (3)巧用 “1”的变换: 1 2 2 2 2 2 1= sin θ+ cos θ= cos θ(1+ tan θ)= sin θ(1+ ) tan 2θ π = tan =? .(如例 3、例 4) 4

注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、

整式化.
4.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号

”的正确判断.求任意角的三角函数值的问题,
都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问 题,具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角 ”→“求值”.(如例1)

失误防范 1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式 化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤: 去负-脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.

2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方
,要特别注意判断符号.

考向瞭望?把脉高考

考情分析 同角三角函数基本关系式及诱导公式是每年高 考必考的知识点,考查重点是同角三角函数基
π 本关系式的应用,诱导公式中的π±α, 2 ±α是 高考的热点.题型既有小题,又有解答题,难 度中、低档;近几年加强了基本关系式及诱导 公式在求值、化简的过程中与和差角公式及倍 角公式的综合应用.

π 预测 2012 年高考仍将以 π±α, ± α 及两个关系式为 2 主要考点,重点考查运算能力与恒等变形能力.

真题透析
(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ)cos300° =( 3 1 A.- B.- 2 2


)

1 C. 2

3 D. 2

【解析】 故选 C.

1 cos300° = cos(360° - 60° )= cos60° = , 2

【答案】

C

【名师点评】 (1)本题易失误的是:①诱导公式记 忆不准确,记混淆,误得 cos(360° -60° )=- cos60° 1 =- ,而选 B. 2 ②特殊角的三角函数值记忆不准确,误得 cos60° = 3 . 2

(2)利用诱导公式化简三角函数的程序是:“负化

正,大化小,化到锐角就行了”.但这样做需要
多次运用诱导公式,思维链过长,计算繁琐,也

就容易出错,而活用“奇变偶不变,符号看象限”
,即“一步到位”法来化简,就能快而准地直达目 的地.

名师预测
1.若 cosα+ 2sinα=- 5,则 tanα 等于 ( 1 A. B.2 2 1 C.- 2 D.-2 )

?cosα+2sinα=- 5 ① 解析:选 B.由题意,得? 2 , 2 ?sin α+cos α=1 ②
2 5 将①代入②得 ( 5sinα + 2) = 0,∴ sinα=- , 5 5 cosα=- . 5 ∴ tanα= 2,故选 B.
2

sinx-cosx 1 2.已知 sinx= cosx,则 等于 ( 2 sinx+cosx 1 1 A.- B.- 2 3 1 1 C.- D. 4 5 1 1 解析:选 B.由 sinx= cosx,得 tanx= . 2 2
1 -1 sinx- cosx tanx- 1 2 1 ∴ = = =- .故选 B. 3 sinx+ cosx tanx+ 1 1 +1 2

)

3 . 若 角 α 的 终 边 在 射 线 y = - x(x≥0) 上 , 则
2 1 - cos α sinα + = ________. 2 cosα 1- sin α

2 2 解析:依题意,sinα=- , cosα= , 2 2 sinα |sinα | sinα sinα 原式= + = - = 0. |cosα | cosα cosα cosα

答案:0

4.已知 sinα 是方程 5x2- 7x-6= 0 的根,且 α 是 3π 3π 2 sin? - α- ? cos? - α? · tan ? π- α? 2 2 第三象限角,则 π π cos? - α? sin? + α? 2 2 = ________.

解析:∵方程 5x -7x- 6= 0 的根为 x1= 2,x2=- 3 3 4 3 ,由题意知 sinα=- ,∴ cosα=- ,∴ tanα= . 5 5 5 4 cosα · ? - sinα? · tan2α 9 2 ∴原式= =-tan α=- . 16 sinα · cosα
9 答案:- 16

2

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