第五讲 导数及其应用


导数及其应用
一.常用结论 (一) 导数的定义: f ( x) ? lim
'

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

(二) 导数的几何意义 函数 y ? f ( x)在点x0处的导数的几何意义是 处的切 曲线y ? f ( x)在点P(x0,f ( x0 )) 线的斜率,相应的切线方程为 y ? y0 ? f ' ( x0 )(x ? x0 ) 。 (三) 求导数的基本方法 1、 常用的导数公式

c ' ? 0(c为常数)( m)? mxm?1 x ‘ (sin x) ' ? cos x
(log a x) ' ? 1 x ln a

(cosx) ' ? sin x

?a ? ? a
x '

x

ln a

(e x ) ' ? e x

?ln x ?' ? 1
' '

x
'

2、 导数的运算法则: (u ? v) ? u ? v

(uv) ? u v ? uv
' '

'

? u ? u v ? uv (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
' ' '

复合函数 y ? f (u) ? f ( g ( x)) ? f ' (u) g ' ( x) (四) 导数的应用 1、 求切线的斜率 2、 单调性、极值、最值 求函数单调区间的步骤: (1) 确定函数的定义域 (2) 求导数 f ( x) (3) 解不等式 f ( x) ? 0,得f ( x) 的递增区间; 解不等式 f ( x) ? 0,得f ( x) 的递减区间
' ' '

求可导函数极值的步骤: (1) 求导数 f ( x) (2) 求方程 f ( x) ? 0 的根
' ' (3) 检查 f ( x) 在方程根左右的符号, 如果左正右负, 那么 f (x) 在这个根处取得极大值; '

如果左负右正,那在这个根处取得极么 f (x) 小值。 函数的最大(小)值:先求出极值,再比较极值和端点处的函数值的大小。

1

考点 1

导数定义的应用

1 、 函 数 f ( x)的图像是折线 , ?0 ( , ABC,其中A, B, C的 坐 标 分 别 为,4?, 2,0 ) ( 6,4 )

?x ? 0

m i l

f (1 ? ?x) ? f (1) ? ?x

2、已知函数 f ( x)(x 2 ? bx ? c)e x,其中b, c ? R,若b 2 ? 4(c ? 1),且 ?

?x ?0

lim

f ( x) ? c ? 4,试证: 6 ? b ? 2. ? x

考点 2 导数公式及运算法则
x x x (1) y ? ?1 ? sin x? ; (2) 3 e ? 2 ? e ; (3) y ?

2

ln x 2 ; (4) y ? 2x ? sin x . 2 x ?1

考点 3

利用导数研究函数的图像


2 3、设 a ? b ,函数 y ? ( x ? a) ? ( x ? b) 的图像可能是(

C.

考点 4

利用导数的几何意义研究曲线的切线问题
x

1、曲线 y ? e 在点A?0,1?处的切线斜率为 2、曲线 y ? x ? 11 在点P?1,12?处的切线与 轴交点的纵坐标是 y
3

3、曲线 y ? x ? 2x ? 1在点?1,0?处的切线方程为
3

4 、 已 知 函 数 f ( x)在R上满足f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8, 则曲线y ? f ( x)在 点
2

2

( ,f (1)) 处的切线方程是 1
5、 若存在过点(1,0)的直线与曲线 y ? x 和y ? ax ?
2 2

15 x ? 9都相切,则 a等于 ____ 4

考点 5 讨论参变量求解单调区间与极值、最值
1、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x的单调递增区间是 2、若 a ? 0, b ? 0, 且函数 f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? 2bx ? 2在x ? 1处有极值,则 ab的 最大值 __________

3、设函数 f ?x ? ? ax ? ?a ? 1?ln?x ? 1? ,其中a ? ?1 ,求函数f ?x?的单调区间 .

4、设 a为实数,函数f ( x) ? e x ? 2x ? 2a, x ? R, 求f ( x)的单调区间与极值。

5、已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 9a x ? a , 设a ? 1, 求函数f ( x)的极值。
3 2 2 3

3

考点 6

已知函数在区间上单调与不单调,求解参变量的范围

思路提示:已知区间单调递增或单调递减,转化为导函数恒大于等于零或者恒小于等于零, 先观察导函数的图像特点, 如一次函数最值落在端点, 开口向上抛物线最大值落 在端点,开 口向下抛物线最小值落在端点。已知函数不单调,转化为导函数 存在零点,且零点两侧异号,通常利用分离变量法求解参变量范围。 1、设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) (1)求曲线 y ? f ( x)在点?0,f (0)? 处的切线方程; (2)求函数 y ? f (x)的单调区间; 求函数 f ( x)在区间 ? 1,1? ? 内单调递增,求 的取值范围 k

2、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 a ? R , (1) 讨论函数 f (x) 的单调区间 (2) 设函数 f (x) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围。 ?

? 2 ? 3

1? 3?

考点 7

方程解(函数零点)的个数问题

思路提示:存在零点求解参数变量取值范围,长通过分离变量等价求解函数的值域,存在多 个零点时,利用数形结合,比较极值与零的大小关系。 1 已知二次函数 y ? g (x) 的导函数图象与直线 y ? 2 x平行,且 ? g ( x)在x ? ?1 处取得 y

? 极小值 m ? 1(m ? 0)设f ( x)
并求出零点。

g ( x) , 实数 k如何取值使得函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点, x

4

2

已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 1, 若f ( x)在x ? ?1处取得极值,直线 ? m 与 y ? f (x) y

的图象有三个不同的交点,求实数 m 的取值范围。

考点 8

利用导数求函数的极值和最值

1、若 a ? 0, b ? 0, 且函数 f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? 2bx ? 2在x ? 1处有极值,则 ab的 最大值 等于 2、设 a为实数,函数f ( x) ? e x ? 2x ? 2a, x ? R, 求f ( x)的单调区间与极值。

3、已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 9a 2 x ? a 3 , 设a ? 1, 求函数f ( x)的极值。

4、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R),其中a ? R (
2 2 x

(1)当 a ? 0时,求曲线 ? f ( x)在点(,f (1))处的切线的斜率; y 1 (2) 当a ?

2 时,求函数 f(x) 的单调区间与极值。 3

5

5、已知函数 f ( x) x 4 ? ax3 ? 2x 2 ? b( x ? R),其中a,b ? R,若函数 ( x) 仅在 x ? 0 ? f 处有极值,求 a 的取值范围。

考点 9

不等式恒成立与存在性问题

思路提示: 在不等式恒成立的条件下求参数的取值范围, 利用等价转化思想将其转化为函数 的最值或值域问题求解。 (1)若函数 f ( x)在区间D上存在最小值 ( x) min 和最大值 ( x) max,则 f f 不等式 f ( x) ? a在区间D上恒成立 ? f ( x) min ? a ; 不等式 f ( x) ? a在区间D上恒成立 ? f ( x) min ? a ; 不等式 f ( x) ? b在区间D上恒成立 ? f ( x) max ? b ; 不等式 f ( x) ? b在区间D上恒成立 ? f ( x) max ? b 。

? (2)若函数 f ( x)在区间D上不存在最大(小)值 ,且值域为 m, n? ,则
不等式 f ( x) ? a(或f ( x) ? a在区间D上恒成立 ? m ? a ; 不等式 f ( x) ? a(或f ( x) ? a在区间D上恒成立 ? n ? b 。 1 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2x ? b( x ? R),其中a, b ? R ,若对任意的 a ? ?? 2,2? ,不
4 3 2

等式 f ( x) 1在?? 1,1? 上恒成立,求 b 的取值范围。 ?

6

1? a 1 ? 1(a ? R) 。 (1)当 a ? 时,讨论 f ( x) 的单调性。 x 2 1 2 x , ( 2 ) 设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4,当 a ? 时,若对任意的1 ? ?0,2 ?, 总存在x 2 ? ?1,2? 使 4
2 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

f ( x1 ) ? g ?x2 ?,求实数 的取值范围。 b

考点 10

利用导数证明不等式

思路提示:构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从 而证明不等式,而构造函数是利用导数证明不等式的关键。 构造辅助函数的一般方法及解题程序如下: (1)移项(有时需要做简单的恒等变形)是不等式的一段为零,另一端即为所求作为辅助 函数 f (x) ; (2)求 f ' ( x) ,并验证 f (x) 在指定区间上的增减性; (3)求出区间的端点的函数值(或最值)作比较即得所证。 1 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (2 ? a) x , (1)讨论函数 f (x) 的单调性。 (2)设 a ? 0.证明:当 ? x ? 0

1 ?1 ? ?1 ? 时,f ? ? x ? ? f ? ? x ? ; a ?a ? ?a ?

(3)若函数 y ? f ( x)的图像与 轴交于 ,B两点,线段 中点的横坐标 x0 ,证 为 x A AB 明: f ' ( x0 ) ? 0 .

7

x 。 (1) 求 f (x) 的极小值 1? x b (2)若 a, b ? 0 ,求证: ln a ? ln b ? 1 ? 。 a
2 已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?

3 已知函数 f ( x) ? x ? sin x, 数列 an ? ? 满足:? a ? 1, an?1 ? f ?an ??n ? 1,2,3,?? 0 证明: (1) 0 ? an?1 ? an ? 1 ; (2) a n ?1 ?

1 3 an 6

考点 11 导数的实际应用
例 某集团为了获得更大的利益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入 广告费 t(百万元)可增加销售额约 ? t ? t(百万元) ? t ? 3) (0
2

(1)若该集团将当年的广告费控制在 300 万元以内,则应投入多少广告费,才能使集团由 广告费而产生的收益最大? (2)现在该集团准备投入 300 万元,分别用于广告促销和技术改造。经就散,每投入技术 改造费 x (百万元) ,可增加的销售额约为 ?

1 3 x ? x 2 ? 3 x (百万元)请设计一个资金方 3

案,使该集团由这两项共同产生的收益最大。 (结果保留至整万元)

8

考点应用: 1、求函数 f ( x ) ? ln x ? ax ?

1 2 x 的单调区间。 2

2、已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 2a 2 ? 3a)e x ( x ? R),其中a ? R ( (1)当 a ? 0时,求曲线 ? f ( x)在点(,f (1))处的切线的斜率; y 1 (2) 当a ?

2 时,求函数 f(x) 的单调区间与极值。 3

3、已知函数 f ( x) ? x ? (k ? k ? 1) x ? 5x ? 2, g ( x) ? k x ? kx ? 1, 其中 k ? R 。设函
3 2 2 2 2

? 数 p( x) ? f ( x) ? g ( x).若p( x)在区间 0,3? 上不单调,求 k 的取值范围。

4、已知, a, b 为常数,且 a ? 0 ,函数 f ?x ? ? ?ax ? b ? ax ln x, f ?e? ? 2(e ? 2-71828…是 自然对数的底数)(1)求实数 b 的值; 。 (2)求函数 f ?x ? 的单调区间;

t (3)当 a ? 1 时,是否同时存在实数 m和M(m ? M ),使得对每一个 ? ?m, M ?,直线

9

? ?1 ? ? y ? t与曲线y ? f ?x ?? x ? ? , e? ? 都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 ? ? ?e ? ? ?
M;若不存在,请说明理由。

5、 设函数 f ( x) ?
1 x

1 ( x ? 0.且x ? 1) (1)求函数 f (x) 的单调区间。 。 x ln x

(2)已知 2 ? x a 对任意x ? ?0,1?成立,求实数 的取值范围。 a

2 2 6、 设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax,a ? 0. (1)求 f (x) 的单调区间。

(2)求所有的实数 a, 使e ? 1 ? f ( x) ? e 对x ? ? , e?恒成立。注: 为自然对数的底数。 1 e
2

10

7、已知函数 ? ln? (1)若 x ?

1 ? ?1 2 ? ? ? x ? ax?a为常数,a ? 0? 2 2ax ? ?

1 是函数 f ? x ? 的一个极值点,求 a 的值; 2

(2)求证:当 0 ? a ? 2时,f ?x ?在? , ? ? 上是增函数; ? (3)若对任意的 a ? ?1,2?, 总存在x0 ? ? ,1?, 使不等式f ?x0 ? ? m 1 ? a 2 成立,求实数 m ?2 ? 的取值范围.

?1 ?2

? ?

?1 ?

?

?

8、甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,一次甲方有权向乙方 索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔偿的情况下,乙方的年利润 x (元)与 年产量 t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t ,若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以 下称为赔付价格) (1)将乙方的利润 ? (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年 产量; (2)甲方每年受乙方生产影响获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获 得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?

11


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