河南省郑州市2016届高三数学第二次模拟考试试题 文


2016 年郑州市高中毕业年级第二次质量预测 文科数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交 卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={x|x≥4},B={x|-1≤2x-1≤0},则 CRA∩B= A. (4,+∞) B.[0,

1 ] 2

C. (

1 ,4] 2

D. (1,4]

2 2.命题“ ?x0 ≤0,使得 x0 ≥0”的否定是

A. ?x ≤0, x <0
2

B. ?x ≤0, x ≥0
2

2 C. ?x0 >0, x0 >0

2 D. ?x0 <0, x0 ≤0

3.定义运算

a, b z ,1+i =ad-bc,则符合条件 =0 的复数 z 对应的点在 2,1 c, d
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

4.设θ 为第四象限的角,cosθ = sin2θ = A.

4 ,则 5

7 25 7 25

C.-

24 25 24 D.- 25
B.

5.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出 的值是 A.2014 B.2015 C.2016 D.2017 6. 经过点 (2, 1) , 且渐近线与圆 x +( y-2) =1 相切的双曲线的标准方程为
2 2

1

A.

x2 y 2 - =1 11 11 3

B.

x2 -y 2=1 2

C.

y 2 x2 - =1 11 11 3

D.

y2 x2 - =1 11 11 3

? y≥1, ? 7.平面内满足约束条件 ? y≤2 x-1 ,的点(x,y)形成的区域为 M,区域 M 关于直线 2x ? x+y≤8 ?
+y=0 的对称 区域为 M ? ,则区域 M 和区域 M ? 内最近的两点的距离为 A.

3 5 5

B.

4 5 5

C.

5 5 5

D.

6 5 5

8.将函数 f(x)=-cos2x 的图象向右 平移 质 A.最大值为 1,图象关于直线 x= B.在(0,

? 个单位后得到函数 g(x) ,则 g(x)具有性 4

? )上单调递减,为奇函数 4 3? ? C.在( - , )上单调递增,为偶函数 8 8 3?
D.周期为π ,图象关于点(

? 对称 2

8

,0)对称

9.如图是正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和 俯视图,则其侧视图的面积是 A.4 B.5 C.6 D.7 10.已知定义在 R 上的奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,当 0<x≤1 时,f(x) = log 1 x ,则方程 f(x)-1=0 在(0,6)内的零点之和为
2

A.8

B.10

C.12

D.16

11.设数列{ an }满足:a1=1,a2=3,且 2n an =(n-1) an-1 +(n+1) an+1 ,则 a20 的值 是

1 2 3 4 B.4 C.4 D.4 5 5 5 5 12.对 ?? ∈R,n∈[0,2],向量 c=(2n+3 cosα ,n-3sinα )的长度不超过 6 的概率
A.4 为
2

A.

5 10

B.

2 5 10

C.

3 5 10

D.

2 5 5

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22-24 题为选考题.考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.曲线 f(x)= x -x+3 在点 P(1,3)处的切线方程是_________. 14.已知{ an }为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11 的等比中项,则 a1=_________. 15.已知正数 x,y 满足 x +2xy-3=0,则 2x+y 的最小值是___________. 16.在正三棱锥 V—ABC 内,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三 个侧面都相切,若半球的半径为 2, 则正三棱锥的体积最小时,其高等于__________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cos2C-cos2A=2sin( C) ·sin(
2 3

? -C) . 3

? + 3

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a= 3 且 b≥a,求 2b-c 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机 抽调了 50 人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表:

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有 99%的把握认为以 45 岁为分界 点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异;

3

(Ⅱ)若对年龄在[5,15)的被调查人中各随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持 “生育二胎放开”的概率是多少? 参考数据:

19. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1, ∠BCD=120°,四边形 BFED 为矩形, 平面 BFED⊥ 平面 ABCD,BF=1. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 BFED; (Ⅱ)已知点 P 在线段 EF 上, 的体积. 20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 的方程是 mx 2+ny 2= (m>0, n>0) , 且曲线 C 过 A ( 1

EP =2.求三棱锥 E-APD PF

6 2 2 , ) , B ( , 6 4 2

3 )两点,O 为坐标原点. 3
(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ) 设M (x1, y1) , N (x2, y2) 是曲线 C 上两点, 向量 p= ( m x1, n y1) , q= ( m x2, ,且 p·q=0,若直线 MN 过(0, n y2)

3 ) ,求直线 MN 的斜率. 2

21. (本小题满分 12 分)

4

ex 已知函数 f(x)= . x-m
(Ⅰ)讨论函数 y=f(x)在 x∈(m,+∞)上的单调性; (Ⅱ)若 m∈(0,
2

1 ],则当 x∈[m,m+1]时,函数 y=f(x)的图象是否总在函数 2

g(x)= x +x 图象上方?请写出判断过程. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 A 为圆心、DA 为半径的 圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连结 BF 并延长交 CD 于点 E. (Ⅰ)求证:E 为 CD 的中点; (Ⅱ)求 EF·FB 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C: ( x- ,且倾斜角 1) +y = 1.直线 l 经过点 P(m,0) 为
2 2

? .以 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. 6

(Ⅰ)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|PA|·|PB|=1,求实数 m 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+6|-|m-x|(m∈R) . (Ⅰ)当 m=3 时,求不等式 f(x)≥5 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

5

2016 年高中毕业年级第二次质量预测 数学文科 参考答案 一、选择题 BAADD ADBCC 二、填空题 DC 14. ?1 ,

13. 2 x ? y ? 1 ? 0 ,

15. 3 ,

16. 2 3

三、 解答题(解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤)

? 2 2 17. 解: (1)由已知得 2sin A ? 2sin C ? 2 ? ? cos C ? sin C ? ,???2 分
2 2

3 ?4

1 4

?

化简得 sin A ? (2)由正弦定理

? 2? 3 ,故 A ? 或 .????????????5 分 3 3 2

b c a ? ? ? 2 ,得 b ? 2sin B, c ? 2sin C ,?7 分 sin B sin C sin A ? 2? ? ? ? 因为 b ? a ,所以 ? B ? , ? B ? ? ,???9 分 3 3 6 6 2 2? ? B) = 3sin B ? 3 cos B 故 2b ? c ? 4sin B ? 2sin C ? 4sin B ? 2sin( 3 ? 2 3 sin( B ? ). 6
所以 2b ? c ? 2 3 sin( B ?

?

???????????11 分

?
6

) ? [ 3, 2 3) . ???12 分

18.解:(Ⅰ)2 乘 2 列联表 年龄不低于 45 岁的人数 支持 不支持 合 计 年龄低于 45 岁的人数 合计 32 18 50 ???????????2 分

a?3 b?7
10

c ? 29 d ? 11
40

K2 ?

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29)2 ? 6.27 < 6.635 ??????4 分 ? 3 ? 7 ?? 29 ? 11??3 ? 29?? 7 ? 11?

所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. ??????5 分 (Ⅱ)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的 4 人分别为 a,b,c,d, 不支持“生育二胎”的人 记为 M, ??????6 分
6

则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a, M), (b,c), (b,d),(b, M), (c, d), (c, M),(d, M).????8 分 设“恰好这两人都支持“生育二胎” ”为事件 A,??????9 分 则事件 A 所有可能的结果有: (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c, d), ∴ P ? A? ?

6 3 ? . ??????11 分 10 5
3 .??????12 分 5

所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时,恰好这两人都支持“生育 二胎”的概率为

19.解:(1)在梯形 ABCD 中, ∵ AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? 1, ?BCD ? 120 ,
o

∴ AB ? 2.

∴ BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ? cos 60 ? 3. ???????2 分
2 2 2 o

2 2 2 ∴ AB ? AD ? BD , ∴ AD ? BD.

∵平面 BFED ? 平面 ABCD,

平面 BFED ? 平面 ABCD ? BD, DE ? 平面BEFD , DE ? DB, ∴ DE ? 平面ABCD, ???????4 分 ???????6 分

∴ DE ? AD, 又 DE ? BD ? D, ∴ AD ? 平面BFED. (2)由(1)知 BD ⊥平面 ADE , ???????8 分

∵ BD // EF , ∴ PE ? 平面ADE, 且 PE ?

2 3 . 3

???????10 分

∴ VE ? APD ? VP ? ADE ?

1 1 1 2 3 3 ???????12 分 S?ADE | PE |? ? ? ? 3 3 2 3 9

1 ?1 m ? n ?1 ? ?8 2 20.解: (1)由题可得: ? ,解得 m ? 4, n ? 1. 1 1 ? m ? n ?1 ? 3 ?6
所以曲线 C 方程为 y ? 4x ? 1.
2 2

........4 分

7

(2)设直线 MN 的方程为 y ? kx ?

3 ,代入椭圆方程为 y 2 ? 4 x 2 ? 1 得: 2

(k 2 ? 4) x 2 ? 3kx ?

∴ p ? q ? (2 x1 , y1 ) ? (2 x2 , y2 ) = 4 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

u r r

1 1 ? ? 3k ? 0. ∴ x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 4 , ????6 分 4 k ?4 k ?4
????8 分

1 3 ? k2 k ? (? 3k ) ?1 3 4 2 ? 2 ? ? ?0 ∴ 2 2 k ?4 k ?4 k ?4 4
即 k 2 ? 2 ? 0, k ? ? 2 ................12 分 21.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ' ( x) ?

????10 分

e x ( x ? m) ? e x e x ( x ? m ? 1) ? , ( x ? m)2 ( x ? m)2

当x ? (m, m ? 1)时,f ' ( x) ? 0 , 当x ? (m ? 1, ??)时,f ' ( x) ? 0 ,
所以 f ( x)在(m,m+1)上单调递减,在(m+1,+?)上单调递增..????4 分 (2)由(1)知 f ( x)在(m,m+1)上单调递减, 所以其最小值为 f (m ? 1) ? e 因为 m ? (0, ] , g ( x) 在 x ?[m, m ? 1] 最大值为 (m ? 1)2 ? m ? 1.
x

m?1

.

1 2

????6 分

2 所 以 下 面 判 断 f (m ? 1) 与 (m ? 1) ? m ? 1 的 大 小 , 即 判 断 e 与 (1 ? x) x 的 大 小 , 其中

? 3? x ? m ? 1? ?1, ? . ? 2?
令 m( x) ? e ? (1 ? x) x , m ( x) ? e ? 2 x ? 1,令 h( x) ? m ( x) ,则 h ( x) ? e ? 2,
x ' x
' ' x

因 x ? m ? 1? ?1, ? 所以 h ( x) ? e ? 2 ? 0 , m ( x) 单调递增;????8 分 2
' x

? 3? ? ?

'

所以 m (1) ? e ? 3 ? 0 , m ( ) ? e 2 ? 4 ? 0 故存在 x≥ ?
'
'

3 2

3

13 . 2
8

使得 m' ( x0 ) ? e

x0

? 2x0 ? 1 ? 0
? ? 3? 2?

所以 m( x ) 在 ?1, x 0 ?上单调递减,在 ? x0 , ? 单调递增 ????10 分 所以 m( x) ? m( x0 ) ? e
x0 2 2 ? x0 ? x0 ? 2x0 ? 1 ? x0 ? x0 ? ?x0 ? x0 ? 1 2

2 所以 x 0 ? ?1, ? 时, m( x0 ) ? ? x0 ? x0 ? 1 ? 0 2

? 3? ? ?

即 e ? (1 ? x) x 也即 f (m ? 1) ? (m ? 1) ? m ? 1
x
2 2 所以函数 y ? f ( x) 的图象总在函数 g ( x) ? x ? x 图象上方.?????..12 分

? 22.解: (Ⅰ)由题可知 BD 是以为 A 圆心, DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形, ∴ ED 为圆 A 的切线. 依据切割线定理得 ED 2 ? EF ? EB . ????????????2 分 ∵圆 O 以 BC 为直径,∴ EC 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EC 2 ? EF ? EB .???????????4 分 故 EC ? ED . ∴ E 为 CD 的中点. ???????????5 分
(Ⅱ)连结 CF ,∵ BC 为圆 O 的直径, ∴ CF ? BF ????????????6 分 由

1 1 BC ? BE ? CE ? BF 2 2 1 1 S ?BCE ? BC ? CE ? BE ? CF 2 2 1? 2 2 5 得 CF ? ??????????8 分 ? 5 5 S ?BCE ?
又在 Rt ?BCE 中,由射影定理得 EF ? FB ? CF ?
2

4 . ????????10 分 5
2 2 2

23.解:(1)曲线C的普通方程为: ( x ?1) ? y ? 1,即x ? y ? 2x, 即 ? ? 2? cos? ,
2 2

即曲线C的极坐标方程为: ? ? 2cos? .

????2 分

9

? 3 x ? m? t ? ? 2 (t为参数). 直线l的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2

????5 分

(2) 设A, B两点对应的参数分别为t1 , t2 , 将直线l的参数方程代入 x2 ? y 2 ? 2x中,

得t 2 ? ( 3m ? 3)t ? m2 ? 2m ? 0, 所以t1t2 ? m2 ? 2m , ????8 分

由题意得 | m2 ? 2m |? 1, 得m ? 1,1 ? 2或1 ? 2

????10 分

24.解: (1)当 m ? 3 时, f ( x) ? 5 即 | x ? 6 | ? | x ? 3|? 5 , ①当 x ? ?6 时,得 ?9 ? 5 ,所以 x ? ? ; ②当 ?6 ? x ? 3 时,得 x ? 6 ? x ? 3 ? 5 ,即 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 3 ; ③当 x ? 3 时,得 9 ? 5 ,成立,所以 x ? 3 .?????????????4 分 故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 ?x | x ? 1 ? .?????????????5 分 (Ⅱ)因为 | x ? 6 | ? | m ? x |?| x ? 6 ? m ? x | = | m ? 6 | 由题 意得 m ? 6 ? 7 ,则 ?7 ? m ? 6 ? 7 ,????8 分 解得 ?13 ? m ? 1 , 故 m 的取值范围是 [ ?13,1] .?????????????????10 分

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