2014年广州市一模数学试题(理科)


试卷类型:A

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2014.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、 县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型 (A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答 案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6

12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ?

?n ? N ? .
*

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为
2

A. ?2

B. ?2

C. ? 2

D. 2

2.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 C ? 2 B ,则 数学(理科)试题 A 第 1 页 共 5 页

c 为 b

A. 2sin C
2 2

B. 2cos B

C. 2sin B

D. 2cos C

3.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为 A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

4.若函数 f ? x ? ? A. ? ?2, 2 ?

x 2 ? ax ? 1 的定义域为实数集 R ,则实数 a 的取值范围为
B. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ? C. ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ?
频率/组距

D. ? ?2, 2?

5.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制 成如图 1 的频率分布直方图.样本数据分组为 ? 50, 60 ? , 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0

? 60, 70 ? , ? 70,80 ? , ?80,90 ? , ?90,100? .若用分层抽
样的方法从样本中抽取分数在 ?80,100? 范围内的数据 16 个, 则其中分数在 ?90,100 ? 范围内的样本数据有 A.5 个 6.已知集合 A ? ? x x ? Z且 B.6 个 C.8 个

50 60 70 80

90 100 分数

图1 D.10 个

? ?

3 ? ? Z ? ,则集合 A 中的元素个数为 2? x ?
B.3 C.4 D.5

A.2

b = a b 成立的一个必要非充分条件是 7.设 a , b 是两个非零向量,则使 a ?
A. a ? b B. a ? b C. a ? ?b ? ? ? 0 ? D. a ? b

8 .设 a , b , m 为整数( m ? 0 ) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为
1 2 2 20 20 a ? b ? mod m ? .若 a ? C0 20 ? C20 ? 2 ? C20 ? 2 ? ? ? C 20 ? 2 , a ? b ? mod10 ? ,则 b 的值可以是

A.2011 B.2012 C.2013 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.若不等式 x ? a ? 1 的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 a 的值为 10.执行如图 2 的程序框图,若输出 S ? 7 ,则输入 k k ? N

D.2014

?

?

. . .

?

*

? 的值为

11.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 3 所示,则这个四棱锥的体积是 开始 输入 k 数学(理科)试题 A

5 第 2 页 共 5 页

n ? 0, S ? 0
y? x 2? nlog ?k

2 2 1 1



正(主)视图

侧(左)视图

12.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

? ?

?? ?? 3 ? ? ? ,则 sin ? ? ? ? ? 12 ? 6? 5 ?



13.在数列 ? an ? 中,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? ?

1 ,记 S n 为数列 ? an ? 的前 n 项和,则 S2014 ? an ? 1



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在 极 坐 标 系 中 , 直 线 ? ? sin ? ? cos ? ? ? a 与 曲 线

? ? 2 cos? ? 4 sin ? 相交于 A , B 两点,若
C D P E B

AB ? 2 3 ,则实数 a 的值为



15. (几何证明选讲选做题) 如图4, PC 是圆 O 的切线,切点为 C ,直线 PA 与圆 O 交于 A , B 两点, ?APC 的平分线分别交弦 CA , CB 于 D , E

O A 图4

PE 两点,已知 PC ? 3 , PB ? 2 ,则 的值为 PD



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)

0?. 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? ,
(1)求实数 a 的值; (2)设 g ( x ) ? ? f ( x ) ? ? 2 ,求函数 g ( x) 的最小正周期与单调递增区间.
2

? π ? 3

? ?

17. (本小题满分12分) 数学(理科)试题 A 第 3 页 共 5 页

甲,乙,丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是

2 ,甲,丙两人同时不能被聘用的概率是 5

6 3 ,乙,丙两人同时能被聘用的概率是 ,且三人各自能否被聘用相互独立. 25 10
(1)求乙,丙两人各自能被聘用的概率; (2)设 ? 表示甲,乙,丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求 ? 的分布列 与均值(数学期望) .

18. (本小题满分14分) 如图 5,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是棱 D1 D 的 中点,点 F 在棱 B1 B 上,且满足 B1 F ? 2 FB . (1)求证: EF ? A1C1 ; (2)在棱 C1C 上确定一点 G , 使 A , E , G , F 四点共面,并求 此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值. 19. (本小题满分14分)

D1 A1

C1 B1

E

D
A
图5
*

F
B

C

已知等差数列 ?an ? 的首项为 10,公差为 2,等比数列 ?bn ? 的首项为 1,公比为 2, n ? N . (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设第 n 个正方形的边长为 cn ? min ?an , bn ? ,求前 n 个正方形的面积之和 S n . (注: min ?a, b? 表示 a 与 b 的最小值. ) 20. (本小题满分14分)

3 5 x2 y 2 ? 1? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左,右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 已知双曲线 E : 2 ? , 5 a 4
点 P 是直线 x ?

???? ? ???? ? a2 QF2 ? 0 . 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 ? 3

(1)求实数 a 的值; ( 2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M , N ,在线段 MN 上取 异于点 M , N 的点 H ,满足

PM PN

?

MH HN

,证明点 H 恒在一条定直线上.

数学(理科)试题 A

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21. (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e (其中 e 为自然对数的底数) .
2 x

?

?

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 定义: 若函数 h ? x ? 在区间 ? s , t ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s , t ? , 则称区间 ? s , t ? 为函数 h ? x ? 的 “域 同区间” .试问函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域 同区间” ;若不存在,请说明理由.

数学(理科)试题 A

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