导数的概念及应用


教学内容 知识点一、相关概念 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ,比值 函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变化率,即

?y 叫做 ?x

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = 。如果当 ?x ? 0 时, 有极限,我 ?x ?x ?x

们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x? x0 。 即 f(x 0 )= lim

?x ? 0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ?x ?x ?x ? 0
.

例:设 f(x)= x|x|, 则 f′0)= ( [解析]:∵ lim
?x ?0

f (0 ? ?x) ? f (0) f (?x) | ?x | ?x ( ? lim ? lim ? lim | ?x |? 0 ∴f′0)=0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?x

2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。 相应地,切线方程为 y-y 0 =f (x 0 ) (x-x 0 ) 。 例:曲线 y ?
/

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 .

(

)

A. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? 4 y ? 5 ? 0

课堂练习:曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 知识点 2:导数的运算 1. 几种常见的函数导数: ①、 c? ? (c 为常数) ②、( ; ; ⑥、 ( e
x

x n )? ?

( n ? R ) ③、(sin x)? = ;

;④、(cos x)? = .



⑤、

( a x )? ?

)? ?

; ⑦、 (log a

x )? ?

; ⑧、 (ln x )? ?

2. 求导数的四则运算法则:

(u ? v)? ? u? ? v? ; (uv)? ? u?v ? uv? ;?(u ? ? ? ) ? ? ?
3. 复合函数的求导法则:

u ' ?v? v

u ?v' ? uv' ? vu ? v u v v 22

(v ? 0) 注:① u, v 必须是可导函数.

? ? ? ? f x (? ( x)) ? f ?(u ) ? ? ?( x) 或 y x ? y u ? u x

[键入文字]

例:求下列各函数的导数: (1) y ?
x ? x5 ? sin x x2 ;

(2) y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3); (4) y ?
3 2

x x (3) y ? ? sin ?1 ? 2 cos2 ?; ? ? 2?
1

1 1? x

4?

?

1 1? x

.

解:(1)∵ y ?
? 3

x 2 ? x5 ? sin x x2

?x

?

? x3 ?

sin x x2
? 5 2
2

,

∴y′ ? ( x 2 )? ? ( x3 )? ? ( x?2 sin x)? ? ? x
2 3

3 2

? 3x 2 ? 2 x ?3 sin x ? x ? 2 cos x.
2

(2) y=(x +3x+2) (x+3)=x +6x +11x+6,∴y′=3x +12x+11.
x x 1 (3)∵y= ? sin ? ? cos ? ? sin x, ? ? 2? 2? 2
?

∴ y? ? ? sin x ? ? (sin x)? ? cos x. ? ?
1 ?2 ? 1 2 1 2

(4) y ?

1 1? x

?

1 1? x

?

1? x ?1? x (1 ? x )(1 ? x )

?

2 , 1? x

∴ y? ? ?

? 2 ? 2 ? ? 2(1 ? x)? ? . ? ? (1 ? x)2 (1 ? x)2 ?1? x ?

三、导数的应用 1.函数的单调性与导数 (1)设函数 y ? f (x) 在某个区间(a,b)可导,如果 f (x) ? 0 ,则 f (x) 在此区间上为增函数;如果 f ( x) ? 0 ,
' '

则 f (x) 在此区间上为减函数。 (2)如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数。
'

例:函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间为
3 2

( D. (0,2)

)

A. (2,??)
/

B. (??,2)
2

C. (??,0)

[解]:由 f ( x) ? 3x ? 6 x <0,得 0<x<2 ∴函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间为(0,2)
3 2

课堂练习:1、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x

(

)

A. (??,2)
3 2

B.(0,3)

C.(1,4)

D. (2,??) .

2.函数 f ( x) ? x ? 15 x ? 33x ? 6 的单调减区间为

[键入文字]

3. 已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

【解析】 D; ( ?1,11) ; ①当 0 ? a ? 2 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.②当 a ? 2 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 1、 2、 3、 上也是增函数. ③当 a ? 2 2 时, f ( x) 在 (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 和( , ??) 上单调递增, 在 2 2

(

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 是上单调递减. 2 2

2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在 极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 例:函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a = (
3 2

)

A.2
/

B.3
2

C.4

D.5

[解析]:∵ f ( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ,又 f ( x)在x ? ?3 时取得极值 ∴ f (?3) ? 30 ? 6a ? 0
/

则 a =5 3.最值: 求 f (x)在[a,b ]上的最大值与最小值的步骤如下: (1) 求 f (x) 在区间 (a,b) 内的极值(极大值或极小值); (2) 将 y = f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a)、f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个最小值. 注:极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较. 例:函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 [解析]:由 f ( x) ? 3x ? 3 =0,得 x ? ?1 ,
' 2

.

当 x ? ?1 时, f ( x) >0,当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x) <0,当 x ? 1时, f ( x) >0,
/ / /

故 f (x) 的极小值、极大值分别为 f (?1) ? 3、f (1) ? ?1 , 而 f (?3) ? ?17、f (0) ? 1 故函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在[-3,0]上的最大值、最小值分别是 3、-17。 【课堂练习】 1.设函数 f ( x) ? xe ,则(
x

) B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点

A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点
[键入文字]

C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 2.函数

D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点[学 处取得极小值.

f ( x) ? x 3 ? 3 x 2 ? 1 在 x ?

3.设 f ( x) ? a ln x ?

1 3 ? x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴. 2x 2

(Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值. 4. 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax ? d 的图象过点 P(0,2),且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 .
3 2

(Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调区间. 5. 设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R ) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。
3 2

(Ⅰ)求 b 、 c 的值。

(Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。

【解析】 :1、D;2、2;3、 (1) a ? ?1 ; (2) f ? x ? 在 x ? 1 处取得极小值 f ?1? ? 3 . 4.(Ⅰ)由 f (x) 的图象经过 P(0,2) ,知 d=2, 所以 f ( x) ? x ? bx ? cx ? 2,
3 2

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c.
由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知

? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.
?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2.
3 2

(Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3.
2

令3x 2 ? 6 x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2 x ? 1 ? 0.

解得 x1 ? 1 ? 2 , x 2 ? 1 ? 当1 ? 2 ? x ? 1 ?

2. 当 x ? 1 ? 2 , 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0;

2时, f ?( x) ? 0.

故 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2在(??,1 ? 2 ) 内是增函数, 在 (1 ? 2 ,1 ?
[键入文字]

2 ) 内是减函数,在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数.

3 2 2 3 2 2 5、Ⅰ)f ? x ? ? x ? bx ? cx ∵, f ? ? x ? ? 3x ? 2bx ? c 。 ( ∴ 从而 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x ? bx ? cx ? (3x ? 2bx ? c)

= x ? (b ? 3) x ? (c ? 2b) x ? c 是
3 2

一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x ? 6 ,由此可知,
3 2

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;

g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为 ?4 2 。

[键入文字]


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