带根号的函数最值问题



带根号的函数最值问题 数学中,求函数最值本身是一块很难很重要的内容。当函数解析式中出现根号的时候,难 度会加大。这里,就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。

1. 单调性一致情况
y ? x ? 2x ? 1
(x∈[1,2])

分析:这个函数,分成两部分。 x 是增的, 2 x ? 1 也是增的。这个函数 y ? x ? 2 x ? 1 在定义域上单调增 于是,最大值最小值就在端点时取到。

y min ?1 ? 3, ymax ? 2 ? 5

2.单调性不一致的根号中一次项情况
y ? x ? 1? x
(x∈[0,1])

分析:单调性不一致,首先考虑换元法 令 1 ? x =t(t ? [0,1]),x=1-t

2

3 ymax ? , ymin ? 1 4

3.根号中出现二次项情况
y ? x ? ? x 2 ? 1 (x∈[-1,1])
分析:单调性很难判断。这时候首先考虑换元法 方法一:三角换元
我们知道,三角函数 cos ? 、 sin ? 的范围本身就是[-1,1],代入以后可以一可以用三角公式进行运算, 开阔思路,二则去掉根号,简化运算。

设 x= cos ? ,这里为了确定范围,不失一般性,设 ? ?[0, ? ] ,
利用 1- cos
2

? =sin 2 ?

,去掉根号很方便。

y ? x ? ? x2 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) 4

?

值域就是 [?1, 2]

方法二:移项平方
这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。但有时候,它是那么的吃力不讨好。

y ? x ? ? x2 ? 1 y ? x ? ? x2 ? 1
两边平方

y2 ? 2 xy ? x 2 ? ? x 2 ? 1 注意到这里平方的条件是 y≥x 2x 2 ? 2 yx ? y 2 ? 1 ? 0
由于 x 存在,判别式大于等于 0

? ? 4 y 2 ? 8( y 2 ? 1) ? 8 ? 4 y2 ? 0 y ? [? 2, 2]
但要注意到,y≥x,于是有 y≥-1

y ? [?1, 2]
方法三:求导
求导属于暴力流,但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。本文大部分题目可以用求导解决。

y ? x ? ? x2 ? 1 y ' ? 1?
令 y’≥0 解得 x ? [?1,

x ? x2 ? 1

2 ] ,不过这个过程颇为艰辛 2

于是易得 y ? [?1, 2]

4.双根号明显数形结合的情况
y ? x 2 ? 1 ? ( x ? 4) 2 ? 16 求最小值
分析:明显可以看作两点间距离公式类型。这类题难度不大。但要注意,当括号内平方是 展开状况的时候,要学会主动去配方发现。

看作点(x,0)到点(0,1)和(4,4)两点距离之和

如图,在 AC 线段上显然最小。即取 x=1 时,有

ymin ? 5

5.涉及圆锥曲线定义情况
( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 6
分析:这类题就是很典型的圆锥曲线定义

这里,双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右半支,即为题设。那么这里 y 的范围就很清晰 9 16

y ? (??, ??)
题目也可以考 x 的范围,那就是 [3, ??)

6.较难的圆锥曲线思路。
y ? x ? x2 ? 4x ? 3
分析: 导数自然可以尝试, 换元法是有些不方便。 这里介绍一种圆锥曲线数形结合的解法, 我们这里把坐标系看作 横轴 x 轴,纵轴 p 轴,,至于 y 就看作常数。

y ? x ? x2 ? 4x ? 3
看成两个曲线的交点

第一个曲线是 p= ? x ? y ,第二条曲线是 p= x ? 4 x ? 3
2

第一条曲线就是斜率为-1 的,纵截距为 y 的一条直线 第二条曲线,进行一定化简

p ? x2 ? 4x ? 3 p2 ? x2 ? 4x ? 3 p 2 ? ( x ? 2) 2 ? ?1
即 ( x ? 2) ? p ? 1
2 2

这事实上就是一条双曲线,只是中心是(2,0)

那我们把渐近线也画出来。

这里渐近线的斜率也是-1, 那么对于直线 p= ? x ? y ,结合图像可知,纵截距 y 的范围是

[1, 2) ? [3, ??)

7.三个根号构造向量情况
y ? (2 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? (3 ? 2a) 2 ? (2 ? 3b) 2 ? (3 ? a) 2 ? (3 ? 2b) 2 求最小值
注意到 2 ? a,3 ? 2a,3 ? a 的和是定值 8

1 ? b, 2 ? 3b,3 ? 2b 的和为 6
那么,看作 (2 ? a,1 ? b),(3 ? 2a, 2 ? 3b),(3 ? a,3 ? 2b) 三个向量, (或者是点) ,画个草图

最小值即为 10

8.三个根号内部一次单调性不一致情况
y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x
分析:这是一道数学竞赛题。难度颇大。 首先,最大值是可以用柯西不等式求得,我们考虑消去 x,并且取到等号

1 1 y 2 ? ( x ? 27 ? 3(13 ? x) ? 2 x)(1 ? ? ) 3 2
y ? 11
ymax ? 11, 当且仅当 x=9 时取等号

求最小值的历程比较痛苦,求导似乎可以一试 这里考虑将后面两个根号合并

y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x y ? x ? 27 ? 13 ? 2 x(13 ? x)
x=0 时两个根号同时取到最小值

ymin ? 3 3 ? 13

9.总结 解决该类带根号的函数最值问题时,一般是按以下顺序考虑 (1) 。单调性 (2) 。数形结合 (3) 。换元(包括三角换元) (4) 。求导 (5) 。移项平方判别式(少用! ) (6) 。创新思路:分母有理化/分子有理化/构造对偶式/合并根号 另外,一旦提到根式,一定不能忘记,定义域优先! 根号最值问题较为麻烦,上面所述的例题不多,同学们如果要想熟练掌握,就 一定要做大量的练习。


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