【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 简单复合函数的求导法则 参考教案


§5

简单复合函数的求导法则

一、教学目标:1、了解简单复合函数的求导法则;2、会运用上述法则,求简单 复合函数的导数。 二、教学重点:简单复合函数的求导法则的应用 教学难点:简单复合函数的求导法则的应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习:两个函数的和、差、积、商的求导公式。 1. 常见函数的导数公式:
C ' ? 0 ; ( x n )' ? nxn?1 ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x
王新敞
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2.法则 1 法则 2 法则 3

[u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x) .
[u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x)
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? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?

'

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(二) 、引入新课 海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜,油 膜的面积 S(单位:m2)是油膜半径 r(单位:m)的函数: S ? f (r ) ? ?r 2 。 油膜的半径 r 随着时间 t(单位:s)的增加而扩大,假设 r 关于 t 的函数为
r ? ? (t ) ? 2t ? 1。

油膜的面积 S 关于时间 t 的瞬时变化率是多少? 分析:由题意可得 S 关于 t 的新的函数: S ? f (? (t )) ? ? (2t ? 1) 2 。 油膜的面积 S 关于时间 t 的瞬时变化率就是函数 S ? f (? (t )) 的导函数。 ∵ ∴ 又

f (? (t )) ? ? (2t ? 1) 2 ? ? (4t 2 ? 4t ? 1) ,
[ f (? (t ))]? ? ? (8t ? 4) ? 4? (2t ? 1) 。 f ?(r ) ? 2?r ,

? ?(t ) ? 2 ,
4? (2t ? 1) ? 2?r ? 2 ,
-1-

可以观察到



[ f (? (t ))]? ? f (r )?? (t )? 。

一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? ? ( x) ? ax ? b ,给定 x 的一个值,就得到 了 u 的值,进而确定了 y 的值,这样 y 可以表示成 x 的函数,我们称这个函数为函 数 y ? f (u ) 和 u ? ? ( x) 的复合函数,记作 y ? f (? ( x)) 。其中 u 为中间变量。 复合函数 y ? f (? ( x)) 的导数为:

? ? ? y? x ? [ f (? ( x))] ? f (u) ? ( x)
复合函数的求导法则

( y? x 表示 y 对 x 的导数)

复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自 变量的导数
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复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 例 1、试说明下列函数是怎样复合而成的? ⑴ y ? (2 ? x 2 ) 3 ; ⑵ y ? sin x 2 ;⑶ y ? cos(

?
4

? x) ;

⑷ y ? ln sin(3x ? 1) .

解:⑴函数 y ? (2 ? x 2 ) 3 由函数 y ? u 3 和 u ? 2 ? x 2 复合而成; ⑵函数 y ? sin x 2 由函数 y ? sin u 和 u ? x 2 复合而成; ⑶函数 y ? cos(

?
4

? x) 由函数 y ? cos u 和 u ?

?
4

? x 复合而成;

⑷函数 y ? ln sin(3x ? 1) 由函数 y ? ln u 、 u ? sin v 和 v ? 3x ? 1 复合而成. 说明:讨论复合函数的构成时,“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数,如一 次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等. 例 2、求函数 y ? 3x ? 1 的导数。 解:引入中间变量 u ? ? ( x) ? 3x ? 1 ,则函数 y ? 3x ? 1 是由函数 f (u ) ? u ? u 2 与
u ? ? ( x) ? 3x ? 1 复合而成的。
1

根据复合函数求导法则可得:

?

? 1 3 3x ? 1 ? f ?(u )? ?( x) ? ?3 ? 2 u 2 3x ? 1

?

例 3、求函数 y ? (2 x ? 1) 3 的导数。

-2-

解:引入中间变量 u ? ? ( x) ? 2 x ? 1 ,则函数 y ? (2 x ? 1) 3 是由函数 f (u) ? u 3 与
u ? ? ( x) ? 2 x ? 1 复合而成的。

根据复合函数求导法则可得:

??2x ? 1? ?? ? f ?(u)? ?( x) ? 3u
3

2

? 2 ? 6(2 x ? 1) 2

注意:在利用复合函数的求导法则求导数后,要把中间变量换成自变量的函 数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成,所以在求复合函数的导数时,先 要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,特别要注意将哪一部分看作 一个整体,然后按照复合次序从外向内逐层求导. 例 4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中,水面高度 y(单位:cm) 。 关于时间 t(单位:s)的函数为 y ? h(t ) ? 它的实际意义。 解:函数 y ? h(t ) ? x 是中间变量。 ∴ yt? ? h?(t ) ? f ?( x)? ?(t ) ? ? 将 t=3 代入 h?(t ) 得:
h ?(3) ? ? 200 (cm/s) 。 49 200 cm/s。 49

100 ,求函数在 t=3 时的导数,并解释 2t ? 1

100 100 是由函数 f ( x) ? 与 x ? ? (t ) ? 2t ? 1复合而成的,其中 2t ? 1 x

100 200 。 ?2 ? ? 2 x (2t ? 1) 2

它表示当 t=3 时,水面高度下降的速度为

(三) 、小结 :⑴复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量, 将复合函数分解成为较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导;⑵复合 函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代 (四) 、练习:课本 P51 练习. (五) 、作业:课本 P51 习题 2-5: 2、3、5 五、教后反思:
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-3-


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