椭圆、双曲线的离心率解析


椭圆、双曲线的离心率解析
离心率是圆锥曲线的核心概念,在求椭圆、双曲线离心率取值范围的问题中更显得异常 活跃.这类问题往往是数学知识的交汇点,数学思想和方法的综合点,使之成为模拟考试和高 考的热点.由于问题综合性强,思维能力和运算能力要求高,学生在解题中普遍存在三难:进 入难、深入难、析出难.下面距离解析如下。 例 1.若双曲线 x2 ? ky 2 ? 1 的离心率是 2 ,则实数 k 的值是( A. ? 3 B. ? )

1 3

C. 3

D.

1 3

解析:先将方程化成标准形式,然后确定 a 、 b ,再根据 答案:B。 设计意图:考查双曲线的标准方程及
2 2

2

2

b2 ? e 2 ? 1 求出 k 的值. 2 a

b2 ? e 2 ? 1 的应用. a2
1 ,则实数 k 的值是 2


变式:若椭圆 x ? ky ? 1 的离心率是

设计意图:通过类似分析求解,让同学们理解和掌握“已知离心率时如何迅速求出方程 中所含有的参数的值或参数之间的关系” ,同时还训练了同学们的举一反三能力. 例 2.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的两个焦点分别为 F 、 F2 ,以 F1 、 F2 为边作正 a 2 b2


三角形,若椭圆恰好平分三角形的另两边,则椭圆的离心率 e 为( A.

3 ?1 2

B. 3 ? 1

C. 4( 2 ? 3 )

D.

3?2 4
y P



解析:设点 P 为椭圆上且平分正三角形一边的点, 图 , 由 平 面 几 何 知 识 可 得

| PF2 |:| PF1 |:| F1F2 |? 1: 3 : 2 ,
所以由椭圆的定义及 e ?

c 得: a

F1 O

F2

x

e?

| F1F2 | 2c 2 ? ? ? 3 ? 1 ,故选 B. 2a | PF1 | ? | PF2 | 3 ?1

设计意图:充分利用平面几何中特殊图形的性质,考查椭圆第一定义及离心率 e 的基本 求法,突出了离心率的大小只和 c 与 a 的比值有关,而与其大小分别是多少无关,进一步揭 示离心率是体现椭圆扁圆程度的基本量. 变式提醒:如果将椭圆改为双曲线,其它条件不变,不难得出离心率 e ? 3 ? 1 .

例 3.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若在双曲线 a2 b2


的右支上存在一点 P ,使得 PF 1 ? 3 PF 2 ,则双曲线的离心率 e 的取值范围为 解析:方法一:由 PF 1 ? 3 PF 2 及双曲线第一定 义式 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ,得:

y P

| PF1 |? 3a , | PF2 |? a ,又 | F1F2 |? 2c .
因为点 P 在右支上运动, 所以 | PF 1 | ? | PF2 |?| F 1F2 | , 得 4a ? 2c ,即

F1

O

F2

x

c ? 2 ,又 e ? 1 ,故填 1 ? e ? 2 . a

方法反思:若改变两个焦半径 PF1 、 PF2 的倍分关系,同理也可得出相应的离心率的范 围.

P 的几何意义,将会体现出本试题更大的价 方法二:若思考满足 PF 1 ? 3 PF 2 的动点
值! 因 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,根据阿氏圆的定义可得:点 P 应在以 AB 为直径的圆上,其中

c A( , 0) 为有向线段 F1F2 的内分点, B(2c, 0) 为有向线段 F1F2 的外分点.所以双曲线上若 2 c 存在点 P 满足题意,必有 a ? ,所以 e ? 2 .故 2
1? e ? 2.
方法反思:通过对条件 PF 1 ? 3 PF 2 的转化,揭 示了本题中动点 P 的本质属性,从而转化为圆心在 x 轴上的圆和双曲线有公共点的问题,体现了模拟试题 的综合性,同时也提高了同学们分析问题和解决问题 的能力.


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