必修二线面垂直经典例题


知识背景:
?1、线面垂直的定义;
?2、线面垂直的最基本性质;

?3、线面垂直的判定定理。

例1、三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
(1)求证:AC ⊥平面VKB (2)求证:VB ⊥AC

V

K
A C

B

例1、三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。 (1)求证:AC ⊥平面VKB (2)求证:VB ⊥AC
A K V

C

小结:
1、问题(1)的线线垂直是通过平面几何知识解决的。 体现了空间向平面的转化。 2、问题(2)的线线垂直是异面垂直,又转化为新的线面 垂直解决; 即:欲证线面垂直,需证线线垂直, 欲证线线垂直,又需证新的线面垂直。 体现了空间关系的相互转化。
B

变题一:

空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD, 求证:AC⊥BD.

变题二: 判断:四边相等的四边形,对角线互相垂直

练习1:
(2011北京高考理科)如图,在四棱锥 P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, ? BAD=600, 底面ABCD是菱形,AB=2, (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)略; P (3)略。

D A B C

例2.如图,圆O所在一平面为 ? , AB是圆O 的直径,C 在圆周上, 且PA ? AC, PA ? AB, 求证:(1)PA? BC (2)BC? 平面PAC
解:(1) AB ? ? , AC ? ? , 且AB ? AC ? A PA ? AC , PA ? AB ? PA ? ? 又 BC ? ? ? PA ? BC
A

P

O
C

B

(2) ? C为 圆 O上 一 点 ,AB 为 直 径 ? BC ? AC ?1?得BC ? PA, 由 又? PA ? AC ? A ? BC ? 面PAC

思考:三棱锥中最多有几个直角三角形?

思考:三棱锥P-ABC中最多有几个直角三角形?
P

A C

O

B

例3、已知直角△ABC所在平面外有一点P,且 PA=PB=PC,D是斜边AB的中点,

求证:PD⊥平面ABC.
证明: ∵PA=PB,D为AB中点 ∴ PD⊥AB,连接CD, ∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD, 又PA=PC,PD=PD ∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB ∴ PD⊥CD, CD∩AB = D ∴PD ⊥平面ABC P

C B

A

D

证明线线垂直的常用方法:
? 如果两条直线共面或能转化为共面,则转化为在平面

内证明垂直关系,用平面几何知识证明垂直的主要办 法有:勾股定理,等腰三角形三线合一,相似三角形 等; ? 如果两条直线异面,又不便平移到一个平面内证明垂 直,通常就再转化为证明平面内的直线与已知直线所 在的某个平面垂直。 即:通过另一组线面垂直证明线线垂直。

小结:线面垂直证明的难点突破
? 由于线面垂直的证明往往需要通过线线、线面垂直的

不断转化,所以我们一定要了解给出几何体中的已有 的垂直关系,进而寻找目标平面内与已知直线垂直的 直线。
? 特别是异面线线垂直的证明有一定难度,常常要转化

为先证一条直线和另一直线所在某个平面垂直。这个 平面的发现至关重要。

练习2. 如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点,且MA=MC 求证:AC⊥平面BDM
M

D
O A B

C

练习3 如图 平面α、β相交于PQ,线段OA、OB分别垂直平面α、 β, 求证:PQ⊥AB 证明: ∵OA⊥α PQ ? α ∴ OA⊥PQ OB⊥β, PQ ? β ∴ OB⊥PQ 又OA∩OB=0 ∴PQ⊥平面OAB 而AB?平面OAB ∴ PQ⊥AB O Q A

B

P

备选题: 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中 点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

解题分析:
第(1)问通过 DC⊥平面 PAC 证明; 也可通过 AE⊥平面 PCD 得到 结论; 第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线 PD 与平面 ABE 内的两条相交直线垂直.

证明 (1)由四棱锥 P—ABCD 中, ∵PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.
而 AE?平面 PAC,∴CD⊥AE.
(2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60° , 可得 AC=PA.
∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 由(1),知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C, ∴AE⊥平面 PCD.
而 PD?平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD?平面 PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE.

解题小结:
破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质, 注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用, 这是证明空间 垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂 直”之间可以相互转化, 因此整个证明过程围绕着线面垂直这个 核心而展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.


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