《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 合情推理(二)


2.1.1(二)

2.1.1
【学习要求】
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合情推理(二)

1.通过具体实例理解类比推理的意义. 2.会用类比推理对具体问题作出判断. 【学法指导】 类比推理是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干 相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或 相似之处的一种推理模式.归纳和类比是合情推理常用 的思维方法,其结论不一定正确.

填一填· 知识要点、记下疑难点

2.1.1(二)

1.类比推理:根据两类不同事物之间具有某些类似(或一
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与另一类事物类似(或相 致)性,推测其中一类事物具有_____________________ 同)的性质 _____________的推理,叫做类比推理(简称类比).
2.类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的 相似性或一致性 ; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出 一个 明确的命题(猜想) .

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探究点一
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平面图形与立体图形间的类比

阅读下面的推理,回答后面提出的问题: 1.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的 特征: (1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星; (2)有大气层,在一年中也有季节变更; (3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的 生存,等等.科学家猜想:火星上也可能有生命存在.

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2.根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质: (1)a=b?a+c=b+c; (2)a=b?ac=bc;
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猜想不等式的性质: (1)a>b?a+c>b+c; (2)a>b?ac>bc; (3)a>b?a2>b2 等等.

(3)a=b?a2=b2 等等.


问题 1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点?
这两个推理实例都是根据两类不同事物之间具有某些 类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似 (或相同)的性质.

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问题 2 猜想正确吗?
答 不一定正确.

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问题 3

类比圆的特征,填写下表中球的有关特征 圆的概念和性质 球的类似概念和性质

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圆的周长 圆的面积

球的表面积 ___________ 球的体积 ___________ 球心与截面圆(不经过球 _____________________ 心的截面圆)圆心的连线 ____________________

圆心与弦(非直径)中点的 连线垂直于弦

垂直于截面圆 ________________

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与圆心距离相等的两弦相 与球心距离相等的两个截面圆面 ____________________________ 等;与圆心距离不等的两 积相等;与球心距离不等的两个 ____________________________
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弦不等,距圆心较近的弦 截面圆面积不等,距球心较近的 ____________________________ 较长

截面圆面积较大 ________________

以点 P(x0,y0,z0)为球心,r 为半 以点 P(x0,y0)为圆心,r ____________________________ 径的球的方程 为 (x-x0)2 +(y- 为半径的圆的方程为(x- ____________________________
x0) +(y-y0) =r
2 2 2

y0)2+(z-z0)2=r2 _______________________

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例1

如图所示,面积为 S 的平面凸四边

形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4), 此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距 a1 a2 a3 离记为 hi(i=1,2,3,4),若 = = = 1 2 3 a4 2S =k,则 h1+2h2+3h3+4h4= k , 4 类比以上性质, 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记 为 Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距 S 1 S2 S3 S4 离记为 Hi(i=1,2,3,4),若 = = = =K,则 H1+ 1 2 3 4 2H2+3H3+4H4 等于多少?

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对平面凸四边形: 1 1 1 1 S=2a1h1+2a2h2+2a3h3+2a4h4 1 =2(kh1+2kh2+3kh3+4kh4) k 2S =2(h1+2h2+3h3+4h4),所以 h1+2h2+3h3+4h4= k ;
类比在三棱锥中, 1 1 1 1 V=3S1H1+3S2H2+3S3H3+3S4H4 1 =3(KH1+2KH2+3KH3+4KH4) K = 3 (H1+2H2+3H3+4H4). 3V 故 H1+2H2+3H3+4H4= K .

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小结

解决此类问题注意用类比推理的方法

去分析问题,研究当条件变化时,问题的本质
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有哪些不同,有哪些变化,如本题中平面图形 中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的 距离.平面图形中的面积类比三棱锥中的体 积,进而计算出结果.

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跟踪训练 1 在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边 AB、AC 互相垂直,则 AB2+AC2=BC2”.拓 展到空间(如图),类比平面几何的勾股定理,研究三
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棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的结 论是_________________________________________.

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解析

类比条件:

两边 AB、AC 互相垂直 侧面 ABC、ACD、ADB 互相垂直.
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结论:AB2 +AC2 =BC2 S2 ADB=S2 BCD. △ △

S 2 ABC +S 2 ACD + △ △

答案 设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂直,则 S2 ABC+S2 ACD+S2 ADB=S2 BCD △ △ △ △

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探究点二

定义、定理或性质中的类比

例 2 在等差数列{an}中,若 a10=0,证明等式 a1+a2 +?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19,n∈N+)成立, 并类比上述性质相应在等比数列{bn}中,若 b9=1,
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则有等式________成立.
解析 在等差数列{an}中, a10=0, a1+a19=a2+a18=? 由 得

=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,
∴a1+a2+?+an+?+a19=0,
即 a1+a2+?+an=-a19-a18-?-an+1, 又∵a1=-a19,a2=-a18,?,a19-n=-an+1,

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∴a1+a2+?+an=-a19-a18-?-an+1=a1+a2+?+a19-n. 若 a9=0,同理可得 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a17-n. 相应地,类比此性质在等比数列{bn}中,
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可得 b1b2?bn=b1b2?b17-n(n≤17,n∈N*).
答案 b1 b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N*)

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小结

(1)运用类比思想找出项与项的联系,应用

等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键.
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(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性 质, 一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比 数列中的积(或商).

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跟踪训练 2 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S4, 则 S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上
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结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4, T12 T8 T16 T8 ________,________, 成等比数列. T4 T
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1.下列说法正确的是
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( B )

A.由合情推理得出的结论一定是正确的 B.合情推理必须有前提、有结论 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的结论不能判断正误
解析 根据合情推理可知, 合情推理必须有前提、 有结论.

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2.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它 们的面积比为 1∶4.类似地,在空间中,若两个正 四 面 体 的 棱 长 比 为 1∶2 , 则 它 们 的 体 积 比 为 1∶8 ________.
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形, ∴它们的面积 之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似 几何体,体积之比为相似比的立方,∴它们的体积比为 1∶8.

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c1+c2+?+cn 3.若数列{cn}是等差数列,则当 dn= 时, n
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数列{dn}也是等差数列,类比上述性质,若数列{an}是各 u a1a2?an 项均为正数的等比数列,则当 bn=_________时,数列 {bn}也是等比数列.

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4. 对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比 猜想:正四面体的内切球切于四面各正三角形的

中心 ________.

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1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理. 数学研究中,
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在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结 论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证 明提供思路与方向. 2.合情推理的过程概括为: 从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→ 归纳、类比 ―→ 提出猜想


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