2.2.1向量加法运算及其几何意义(教、学案)


2.2.1
教学目标:

向量的加法运算及其几何意义

1、 掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解 决问题的能力; 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 教学思路: 一、设置情景: 1、 复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研 究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提 下,移到任何位置 2、 情景设置: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (2) 若上题改为从 A 到 B, 再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和:AB ? BC ? AC (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: AB ? BC ? AC C A B C A C B A B A B C

二、探索研究: 1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

1

2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC , a a a C a A + a b b a+b b B a+b 规定: a b a+ 0 = 0 +
? ?



3.例 1、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b b a

练习:已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b (1) a

b

(2) a

b
(3) a

b

2

探究: (1)两向量的和与两个数的和有什么不同? (2)当向量 a 与 b 不共线时, | a + b |<| a |+| b |;什么时候| a + b |=| a |+| b |, 什么时候| a + b |=| a |-| b |, 当向量 a 与 b 不共线时, a , b , a + b 的方向不同,且| a + b |<| a |+| b |; 当向量 a 与 b 共线时, ① 当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b 同向,且| a + b |=| a |+| b |, ②当 a 与 b 反向时,若| a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且 | a + b |=| a |-| b |; 若| a |<| b |, 则 a + b 的方向与 b 相同, 且| a +b|=| b |-| a |. (3) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加 4.加法的交换律和平行四边形法则 已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b , b + a

问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同? 从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2)向量加法的交换律: a + b = b + a 5.你能证明:向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 吗? 6.由以上证明你能得到什么结论? 组合来进行. 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的

3

三、应用举例: 例 2、长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸 A 点出发,以 5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h (1) 试用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度(保留两个有效数字) ; (2) 求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度之间的夹角表示,精确到度) 。

变式 1、一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航 行速度的大小为 4 km / h ,求水流的速度.

变式 2、 一艘船从 A 点出发以 v 1 的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时河水的流速为 v2 , 船的实际航行的速度的大小为 4 km / h ,方向与水流间的夹角是 60 ? ,求 v 1 和 v2 .

练习:课本第 84 页 1、2、3、4 题

四、小结 1、向量加法的几何意义; 2、交换律和结合律; 3、| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业 习题 2.2A 组第二题
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