直线和圆的方程——高中数学基础知识与典型例题


数学基础知识与典型例题 直线和圆的方程 直 线 和 圆 的 方 程 知 识 关 系

直 线 的 方 程

注:⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条件, 通常用待定系数法; ⑵确定直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围. 2 2 ⑶直线是平面几何的基本图形,它与方程中的二元一次方程 Ax+By+C=0( A +B ≠0) 是一一对应的. 例 1. 过点 M (?2, a) 和 N (a,4) 的直线的斜率等于 1, 则 a 的值为( (A) 1 (B) 4 (C)1 或 3 (D)1 或 4 )

一、直线的倾斜角和斜率 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的 倾斜角,其中直线与 x 轴平行或重合时 , 其倾斜角为 0 , 故直线倾斜角 ? 的范围是 0 ≤? ? 180 . 2. 直线的斜率 : 倾斜角 不是 90 的直线其倾 斜角 ? 的正切叫这 条直线 的斜率 k , 即

直 ? ?? ? ? (B) ? 5 ? , ? ? (C) (0, ) (D) ? ? , 5 ? ? 线 (A) ? , ? ? ? ? 6 ?6 2 ? ?2 6 ? ? ?6 ? 的 1 方 例 3. 直线 y ? ? x ? 2 的倾斜角是( ) . 3 程 1 1 1 1 (A) arctan(? ) (B) arctan (C) π ? arctan(? ) (D)? ? arctan( ? ) 3 3 3 3 例 4. 连接 A(4,1) 和 B(?2,4) 两点的直线斜率为____, 与 y 轴的交点 P 的坐标为____. 例 5. 以点 (1,3)和(5,?1) 为端点的线段的中垂线的方程是 . 一、两直线的位置关系 例 6. 将直线2 x ? 3 y ? 6 ? 0
1. 两直线平行: ⑴斜率存在且不重合的两条直线 l1 ∶y=k 1 x+b1 , l2 ∶y=k 2 x+b2 ,则 l1 ∥l2 ? k 1 =k 2; ⑵两条不重合直线 l 1 ,l 2 的倾斜角为 ? 1,? 2 , 则 l 1 ∥l 2 ?? 1?? 2 . 绕 着 它与 y 轴 的 交点 逆 时针旋转 45 的角后,在 x 轴上的截距是( )
?

例 2. 若? ? , ? , 则直线 2 x cos? +3y+1=0 的倾斜角的取值范围( ? ?6 2 ?

?? ? ?



k ? tan ? . 注:①每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率. ? 直 ②当 ? ? 90 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率 k 不存在.

线 ③过两点 P ( x , y ) 、 P ( x , y ) ( x ? x ) 的直线斜率公式 k ? tan ? ? y2 ? y1 1 2 1 1 1 2 2 2 x2 ? x1 的 方 二、直线方程的五种形式及适用条件 程
名称 方程 斜截式 点斜式 y=kx+b y-y0 =k (x-x0) 说明 k —斜率 b—纵截距 (x0 ,y0 )—直线上已 知点, k ──斜率 适用条件 倾斜角为 90 °的 直线不能用此式 倾斜角为 90 °的 直线不能用此式

两 直 线 的 位 置 关 系

4 5 5 (C) 2
(A)

2 5 5 (D) 4
(B)

2. 两直线垂直: ⑴斜率存在的两条直线 l1 ∶y=k1 x+b1 , l2 ∶y=k 2 x+b2 , 则 l1 ⊥l2 ? k 1 ·k2 = -1; ⑵两直线 l1 ∶A1 x+B1 y+C1 =0,l2 ∶A2 x+B2 y+C2 =0, 则 l1 ⊥l2 ? A1 A2 +B1 B2 = 0

两点式

y ? y1 x ? x1 = y2 ? y1 x2 ? x1
x y + =1 a b
Ax+By+C=0 (A、 B 不全为零)

截距式 一般式

与两坐标轴平行 (x1 ,y1 ),(x2 ,y2 )是 的直线不能用此 直线上两个已知点 式 过(0,0)及与两 a—直线的横截距 坐标轴平行的直 b—直线的纵截距 线不能用此式 A、 B 不能同时为 零

3. “到角”与“夹角”: ⑴直线 l 1 到 l 2 的角(方向角) ; 直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到 与 l 2 重合时所转动的角 ? ,它的范围是 (0, ? ) . 注 : ① 当 两 直 线 的 斜 率 k1 ,k2 都 存 在 且 k1 · k2 ≠ -1 时, tan ? ? k 2 ?k 1 ;②当直线的斜率不存在时, 可结合图形判断.
1? k 1k 2

例 7. 将一张画了直角坐 标系且两轴的长度单位相 同的纸折叠一次, 使点(2, 0)与点(-2, 4)重合, 若点 (7,3)与点(m ,n)重 合,则 m+n 的值为( ) (A)4 (B)-4 (C)10 (D)-10 例 8. 与直线 : 2x ? 3 y ? 5 ? 0 平 行 且 过 点 A(1, ?4) 的 直 线

? 的方程是__________。
例 9. 已知二直线

l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l 2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 , 若 l1?l 2 , l1 在 y 轴上的截距
为 -1 , 则 m=_____ , n=____.

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例 10. 经过两直线 两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角, 是指由 l 1 与 l 2 相交所成 11x -3y-9=0 与 的四个角中最小的正角 ? ,又称为 l 1 和 l 2 所成的角,它的 12x + y - 19 = 0 的 交 点,且过点 (3,-2)的直 取值范围是 ? 0, ? ? , 当两直线的斜率 k1 ,k2 都存在且 k1 ·k 2 线方程为_______. ? ?
⑵两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角:

例 13. 若点(3,1)和( ? 4 ,6)在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则实数 a 的 取值范围是( ) ( A)a ? ?7或a ? 24 ( B) ? 7 ? a ? 24 (D)以上都不对 (C )a ? ?7或a ? 24 例 14. ?ABC 的三个顶点的坐标为 A(2 , 4) , B(?1, 2) , C (1 , 0) ,点 P( x , y) 在 ?ABC 内 部 及 边 界 上 运 动 , 则 y ? 2 x 的 最 大 值 为 ,最 小 值 为 。 ? x ? y ? 1≥ 0 ? 例 15. 不等式组: ; ? x ? y ≤ 0 表示的平面区域的面积是 ?y ≥0 ? 例 16.20 个劳动力种 50 亩地,这些地可种蔬菜、棉花或水稻,如果种这些 农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。 问怎样安排才能使每亩都种 上农作物,所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高? 简 单 的 线 性 规 划

?

2?

例 11. 已知△ABC 中, A(2,-1) ,B(4,3) , C(3,-2) ,求: ⑴BC 边上的高所在直 4. 距离公式。 ⑴已知一点 P(x0 ,y0 )及一条直线 l:Ax+By+C=0,则点 P 线方程;⑵AB 边中垂 线方程; ⑶∠A 平分线 | Ax0 ? By0 ? C | 到直线 l 的距离 d= ; 所在直线方程. A2 ? B 2
≠-1 时,则有 tan ? ?

k 2 ?k 1 . 1? k 1k 2

两 直 线 的 位 置 关 系

⑵两平行直线 l1 :Ax+By+C1 =0, l2 :Ax+By+C2 =0 之间的距 离 d=

| C1 ? C2 | A2 ? B 2



5. 当直线位置不确定时,直线对应的方程中含有参数. 含参数方程中有两种特殊情形,它们的对应的直线是 有规律的, 即旋转直线系和平行直线系. ⑴在点斜式方程 y-y0 =k(x-x0 )中, ①当(x0 ,y0 )确定,k 变化时,该方程表示过定点(x0 , y0 )的旋转直线系, ②当 k 确定,(x0 ,y0)变化时,该方程表示平行直线系.

例 12. 已知定点 P(6,4)与定直线 l1 : y=4x ,过 P 点的直线 l 与 l 1 交于第一象限 Q 点, 与 x 轴正半轴交于 ⑵已知直线 l:Ax+By+C=0, 点 M ,求使△OQM 面 则①方程 Ax+By+m=0 (m 为参数) 表示与 l 平行的直线系; ②方程-Bx+Ay+n=0(n 为参数)表示与 l 垂直的直线系。 积最小的直线 l 方程.
⑶已知直线 l1 :A1 x+B1 y+C1 =0, 直线 l2 :A2 x+B2 y+C2 =0, 则方程 A1 x+B1 y+C1 +λ (A2 x+B2 y+C2 )=0 表示过 l1 与 l2 交点的直线系(不含 l2 ) 掌握含参数方程的几何意义是某种直线系,有时可以优化 解题思路. 简 单 的 线 性 规 划 线性规划 ⑴当点 P(x0 ,y0)在直线 Ax+By+C=0 上时,其坐标满足方程 Ax0 +By0 +C=0; ⑵当 P 不在直线 Ax+By+C=0 上时, Ax0 +By0 +C≠0, 即 Ax0 +By0 +C>0 或 Ax0 +By0 +C<0。 这就是二元一次不等式的几何意义:二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0)表示直线 Ax+By+C=0 上方或下方区域,其具体位置的确定常用原点(0,0)代入检验。 利用此几何意义,可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。

例 17.某集团准备兴办一所中学,投资 1200 万用于硬件建设.为了考虑社会 效益和经济利益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为 单位)如下:

根据有关规定,除书本费、办公费外,初中生每年可收取学费 600 元, 高中生每年可收取学费 1500 元.因生源和环境等条件限制,办学规模以 20 至 30 个班为宜.根据以上情况,请你合理规划办学规模使年利润最大,最大 利润多少万元? (利润=学费收入-年薪支出)

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曲线与方程:在直角坐标系中,当曲线 C 和方程 F(x ,y)=0 满足如下关系时: ①曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x ,y)=0 的解;②以方程 F(x ,y)=0 的解为 曲 坐标的点都在曲线 C 上,则称曲线 C 为方程 F(x ,y)=0 表示的曲线;方程 线 F(x ,y)=0 是曲线 C 表示的方程. 和 方 注:⑴如果曲线 C 的方程是 F(x ,y)=0,那么点 P0 (x 0 ,y0 )在曲线 C 上的充要条 程 件是 F(x 0 ,y0 )=0 ⑵解析几何研究的内容就是给定曲线 C,如何求出它所对应的方程,并 根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形, 坐标法是几何问 题代数化的重要方法。 ⑶求曲线方程的步骤:建、设、现(限) 、代、化. 2 6 3 例 18. 点 M (t , t ) 适合方程 y ? x 是点 M 在曲线 y ? x 3 上的 ( ) (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)什么条件也不是 例 19.曲线 C 1 : x 2 ? y 2 ? x 与 C 2 : 2 xy ? y 的交点数是( ) (A)1 个 (B) 2 个 (C)3 个 (D)4 个 例 20. 已知定点 A(?1,0) , B(1,0) ,点 M 与 A、B 两点所在直线的斜率之积等 于 ? 4 ,则点 M 的轨迹方程是 曲 例 21. 已知圆 2 ,B(4,0)当点 P 在圆上运动时, x ? y 2 ? 4 和两点 A(0,4) 线 求 ?ABC 的重心的轨迹方程. 和 方 程

确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。的圆方程的适用范围。 一、圆的方程形式 : ⑴圆的标准方程:(x -a)2 +(y-b)2 =r2 ,其中(a,b)是圆心坐标,r 是圆的半径; D E ⑵圆的一般方程: x2 +y2 +Dx +Ey+F=0 (D2 +E2 -4F>0) ,圆心坐标为 (- , - ) , 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F 半径为 r= . 2

? x ? a ? r cos ? ⑶圆的参数方程:(x - a)2 +(y- b)2 =r2(r>0)的参数方程为: ? (? 为 ? y ? b ? r sin ? 参数,表示旋转角) ,参数式常用来表示圆周上的点。
注: ①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法; ②圆的方程有三种形式,注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结 合充分运用圆的平面几何知识. ③ 圆 的 直 径 式 方 程 : ( x ? x 1)( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1)( y ? y 2 ) ? 0 , 其 中

例 22. 如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1, O1O2 ? 4 . 过动点 P 分别作圆 O1 、
N 分别为切点) PN ( M , 圆 O2 的切线 PM , ,使得 PM ? 2PN . 试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程.

圆 的 A( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) 是圆的一条直径的两个端点.(用向量可推导). 方 程 二、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交,判定方法有两种: ⑴代数法:直线:Ax +By+C=0,圆:x 2 +y2 +Dx +Ey+F=0,联立得方程组 ?△ ? 0 ? 相交 ? Ax ? By ? C ? 0 ? 判别式 消元 ? ?△ ? 0 ? 相切 ??? ? 一元二次方程 ??? ? 2 2 2 △?b ? 4 ac ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ?△ ? 0 ? 相离 ? (2)几何法:直线:Ax +By+C=0,圆:(x -a)2 +(y-b)2 =r2 ,圆心(a,b)到直 ?d ? r ? 相离 | Aa ? Bb ? C | ? 线的距离为 d= ,则 ?d ? r ? 相切 2 2 A ?B ?d ? r ? 相交 ? 三、圆和圆的位置关系: 设两圆圆心分别为 O1 、O2,半径分别为 r1 ,r2 ,|O1 O2 |为圆心距,则两圆 位置关系如下: ①|O1 O2 |>r1 +r2 ? 两圆外离; ②|O1 O2 |=r1 +r2 ? 两圆外切; ③| r1 -r2 |<|O1O2 |< r1 +r2 ? 两圆相交; ④| O1 O2 |=| r1 -r2 | ? 两圆内切; ⑤0<| O1 O2 |<| r1 -r2 | ? 两圆内含。 注: 直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识, 而一般不 采用方程组理论(△法).

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四、圆的切线: 1.求过圆上的一点 ( x0 , y0 ) 圆的切线方程 :先求切点与圆心连线的斜率 k ,则 1 圆 由垂直关系,切线斜率为 ? ,由点斜式方程可求得切线方程; k 的 2. 求 过 圆 外 一 点 ( x0 , y0 ) 圆 的 切 线 方 程 :⑴( 几 何 方 法 ) 设 切 线 方 程 为 方 程 y ? y0 ? k( x ? x0 ) 即 k x - y ? k x0 ? y0 ? 0 ,然后由圆心到直线的距离等于半径, 可 求 得 k , 切 线 方 程 即 可 求 出 . ⑵( 代 数 方 法 ) 设 切 线 方 程 为 y ? y0 ? k( x ? x0 ) ,即 y ? k x ? k x0 ? y0 代入圆方程得一个关于 x 的一元二次方 程,由 ? ? 0 ,求得 k ,切线方程即可求出. 注:①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线 ,可结合图形求 得.②过圆 x2 ? y 2 ? r 2 上一点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 .

例 1.A 例 6.B 例 9. 0,8,

数学基础知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案 1 例 2.B 例 3.C 例 4. ? 、(0,3) 例 5. x ? y ? 2 ? 0 2 例 7.C 例 8. 2x +3y+10=0 例 10. 13x ? 5 y ? 29 ? 0
5

例 11. 解 :⑴∵ kBC=5,∴ BC 边上的高 AD 所在直线斜率 k= ? 1 ∴ AD 所在直线方程 y+1= ? 1 (x -2) 即 x +5y+3=0
5

例 23.若直线 ?1 ? a ?x ? y ? 1 =0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为( ) ( D) ? 1 (C )1 ( A)1 或 ? 1 ( B)2 或 ? 2 2 2 2 2 例 24. 两圆 x +y -4x +2y+1=0 与(x +2) +(y-2) =9 的位置关系是( ) (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 2 2 例 25. 已知圆 C 与圆(x -1) +y =1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的方程为( ) (A) (x +1)2 +y2 =1 (B) x 2 +y2 =1 (C)x2 +(y+1)2 =1 (D)x 2 +(y-1)2 =1 例 26. 若直线 4x -3y-2=0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 4 y ? a 2 ?12 ? 0 有两个不同的 公共点,则实数 a 的取值范围是( ) 圆 (A)-3<a<7 (B)-6<a<4 (C)-7<a<3 (D)-21<a<19 的 ? x ? sin? ( ? 为参数)化为普通方程,结果是 . 方 例 27. 把参数方程 ? ? y ? cos ? ? 1 程 例 28. 过点 ( ?1,1) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 截得的弦长为 2 ,则此直线的 方程为 例 29. 圆的方程为 x 2 +y2 -6x -8y=0,过坐标原点作长为 8 的弦,求弦所在 的直线方程。

⑵∵ AB 中点为(3,1) ,kAB=2,∴ AB 中垂线方程为 x +2y-5=0 ⑶设∠A 平分线为 AE,斜率为 k, 则直线 AC 到 AE 的角等于 AE 到 AB 的角。 k ?1 2 ? k ∵ k AC=-1,k AB=2,∴ , ? 1 ? k 1 ? 2k ∴ k2 +6k-1=0,∴ k =-3- 10 (舍) ,k =-3+ 10 ∴ AE 所在直线方程为 ( 10 -3)x- y-2 10 +5=0 评注:在求角 A 平分线时,必须结合图形对斜率 k 进行取舍。一般地涉及到角平 分线这类问题时,都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求 AE 所在直线方程, | 2 x ? y ? 5 | | x ? y ? 1| 设 P(x , y)为直线 AE 上任一点, 则 P 到 AB、 AC 距离相等, 得 , ? 5 2 化简即可。还可注意到,AB 与 AC 关于 AE 对称。 例 12. 解题思路分析: 直线 l 是过点 P 的旋转直线, 因此是选其斜率 k 作为参数, 还是选择点 Q (还是 M) 作为参数是本题关键。通过比较可以发现,选 k 作为参数,运算量稍大,因此选 用点参数。 解:设 Q(x 0 ,4x0 ) ,M(m,0) ∵ Q,P,M 共线∴ kPQ ? kPM 4 ? 4 x0 5 x0 4 ∴ 解之得: m ? ? x0 ? 1 6 ? x0 6?m ∵ x0 >0,m>0∴ x 0-1>0 10 x02 1 ∴ S?OMQ ? | OM | 4 x0 ? 2mx0 ? 2 x0 ? 1
10(t ? 1)2 1 ? 10(t ? ? 2) ≥40 t t 当且仅当 t =1,x0 =11 时,等号成立,此时 Q(11,44) ,直线 l:x +y-10=0 评注:本题通过引入参数,建立了关于目标函数 S△OQM 的函数关系式,再由基本

例 30.已知方程 x2 +y2 -2(m+3)x +2(1-4m2 )y+16m4 +9=0 表示一个圆, ⑴求实数 m 取值范围;⑵求圆的半径 r 取值范围;⑶求圆心轨迹方程.

令 x0 -1=t ,则 t >0, S ?

不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数,在解析几何中,斜率 k,截 距 b,角度θ ,点的坐标都是常用参数,特别是点参数。 1 例 13.B 例 14. 4 , ?2 例 15. 4
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例 16. 种蔬菜 20 亩,棉花 30 亩,水稻不种,总产值最高 27 万元. ?20 ≤ x ? y ≤ 30 (1) 例 17.解:设初中 x 个班,高中 y 个班,则 ? ?28 x ? 58 y ≤1200 ⑵ 设年利润为 s, 则 s ? 60 ? 0.06x ? 40 ? 0.15y ? 2 ? 1.2 x ? 2.5 ? 1.6 y ? 1.2 x ? 2 y 作出(1) 、 (2)表示的平面区域, 如图,过点 A 时,S 有最大值, ? x ? y ? 30 由? 解得 A(18,12). ?28x ? 58y ? 1200 易知当直线 1.2x +2y=s 即学校可规划初中 18 个班,高中 12 个班, ? smax ? 1.2 ?18 ? 2 ?12 ? 45.6 (万元). 可获最大年利润为 45.6 万元. 评 线性规划是直线方程的简单应用,是新增添的教学内容,是新大纲重视知识 应用的体现,根据考纲要求,了解线性不等式表示的平面区域,了解线性规划的 意义并会简单应用,解决此类问题,关键是读懂内容,根据要求,求出线性约束 条件和目标函数,直线性约束条件下作出可行域,然后求线性目标函数在可行域 中的最优解,归纳如下步骤:①根据实际问题的约束条件列出不等式,②作出可 行域,写出目标函数,③确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.但在解答 时,格式要规范,作图要精确,特别是最优解的求法,作时还是比较困难的.是 函数方程思想的应用. y2 ? 1( x ? ?1) 例 18.A 例 19.D 例 20. x 2 + 4 4 4 4 例 21. (x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 3 3 9 例 22. 解:以 O1O 2 的中点 O 为原点, O1O 2 所在直线为 x 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系,则 O1 ( ?2, 0) , O2 (2, 0) .由已知 PM ? 2 PN , 得 PM 2 ? 2 PN 2 .因为两圆半径均为 1, 2 y) , ? 1) .设 P( x , 所以 PO12 ? 1 ? 2( PO2 2 2 2 2 则 ( x ? 2) ? y ? 1 ? 2[( x ? 2) ? y ? 1] , 即 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 33 .(或 x 2 ? y 2 ? 12 x ? 3 ? 0 )

例 28. x +y=0 或 x +7y-6=0 例 29. 解:x2 +y2 -6x -8y=0 即(x -3)2 +(y-4)2 =25, 设所求直线为 y=kx 。 ∵圆半径为 5,圆心 M(3,4)到该直线距离为 3, | 3k ? 4 | ∴ d? ? 3, k 2 ?1 7 ∴ 9k 2 ? 24k ? 16 ? 9(k 2 ? 1) ,∴ k ? 。 24 7 ∴所求直线为 y ? x 或 x ? 0。 24 例 30.⑴m 满足[-2(m+3)]2 +[2(1-4m2 )]2-4(16m 4 +9)>0, 即 7m2-6m-1<0, 1 ∴? ? m ?1 7 3 16 ⑵半径 r= ?7m2 ? 6m ? 1 ? ?7(m ? )2 ? 7 7 1 3 4 7 ∵ ? ? m ? 1 ,∴ m ? 时, rmax ? , 7 7 7 4 7 ∴ 0<r≤ 7 ?x ? m ? 3 ⑶设圆心 P(x ,y) ,则 ? 2 ? y ? 4m ? 1 1 消去 m 得:y=4(x-3)2 -1,又 ? ? m ? 1 7 20 ?x?4 ∴ 7 20 1 ? x ? 4) ∴ 所求轨迹方程为(x -3)2 = (y+1)( 4 7

例 23.D

例 24.C

例 25.C

例 26.B

例 27. x2 +(y-1)2 =1

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