8.2直线的交点坐标与距离公式


第二节 直线的交点坐标与距离公式

[备考方向要明了]

考 什 么 1.能用解方程组的方法求两 条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间的距离公式、 点 到直线的距离公式、会求两 条平行直线间的距离.

怎 么 考 1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的,常作为知识点出 现在相关的位置关系中. 2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点,点到直线的 距离公式是高考考查的重点, 一般将这两个知识点结合直线与 圆或圆锥曲线的问题中来考查.

[归纳· 知识整合] 1.两条直线的交点 设两条直线的方程为 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的交点坐 标就是方程组
? ?A1x+B1y+C1=0, ? 的解, ?A2x+B2y+C2=0 ?

(1)若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标; (2)若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行,反之,亦成立. [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系? 提示:当两条直线有一个交点时,两直线相交;没有交点时,两条直线平行,有无数个 交点时,两条直线重合. 2.距离 点 P1(x1,y1), P2(x2,y2)之间的距离 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2= 0 间的距离 |P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2

|Ax0+By0+C| d= A2+B2 d= |C1-C2| A2+B2

[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么?

提示: 使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式. 使用两条平行线间距离 公式时,要将两直线方程化为一般式且 x、y 的系数对应相等. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)原点到直线 x+2y-5=0 的距离是( A.1 C.2 解析:选 D d= |-5| = 5. 12+22 ) B. 3 D. 5 )

2. 点 A 在 x 轴上, 点 B 在 y 轴上, 线段 AB 的中点 M 的坐标是(3,4), 则 AB 的长为( A.10 C.8 解析: 选 A B.5 D.6

设 A(a,0) , B(0 , b) ,则 a = 6 , b = 8 ,即 A(6,0) , B(0,8) .所以 |AB|=

?6-0?2+?0-8?2= 36+64=10. 3.若三条直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+by=0 相交于一点,则 b=( A.-1 C.2 1 B.- 2 1 D. 2 )

? ? ?2x+3y+8=0, ?x=-1, 解析:选 B 由? 得? ?x-y-1=0, ?y=-2, ? ?

1 将其代入 x+by=0,得 b=- . 2 4. 已知直线 l1 与 l2: x+y-1=0 平行, 且 l1 与 l2 的距离是 2, 则直线 l1 的方程为________. 解析:设直线 l1 的方程为 x+y+λ=0,则 2= =0. 答案:x+y+1=0 或 x+y-3=0 5.点(2,3)关于直线 x+y+1=0 的对称点是________. 解析:设对称点为(a,b),则 b-3 ? ?a-2=1, ?a+2 b+3 ? 2 + 2 +1=0, ? 答案:(-4,-3)
?a=-4, ? 解得? ?b=-3. ?

|-1-λ| 1 +1
2

2=

|λ+1| ,解得 λ=1 或 λ=-3.即直线 l1 的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3 2

两条直线的交点问题

[例 1] (1)经过直线 l1:x+y+1=0 与直线 l2:x-y+3=0 的交点 P,且与直线 l3:2x -y+2=0 垂直的直线 l 的方程是________________. (2)已知两直线 l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0,若 l1 与 l2 相交,则实数 m,n 满足的条件是__________.
?x+y+1=0, ? [自主解答] (1)法一:由方程组? ?x-y+3=0, ? ? ?x=-2, 解得? 即点 P(-2,1), ?y=1, ?

1 ∵l3⊥l,∴k=- , 2 1 ∴直线 l 的方程为 y-1=- (x+2),即 x+2y=0. 2 法二:∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点, ∴可设直线 l 的方程为 x+y+1+λ(x-y+3)=0, 即(1+λ)x+(1-λ)y+1+3λ=0. 1 ∵l 与 l3 垂直,∴2(1+λ)-(1-λ)=0,解得 λ=- . 3 2 4 ∴直线 l 的方程为 x+ y=0,即 x+2y=0. 3 3 n 1 (2)因为两直线 l1 与 l2 相交,所以当 m=0 时,l1 的方程为 y=- ,l2 的方程为 x= ,两 8 2 直线相交,此时 m,n 满足条件 m=0,n∈R; 当 m≠0 时,由两直线相交. m 8 所以 ≠ ,解得 m≠± 4,此时,m,n 满足条件 m≠± 4,n∈R. 2 m [答案] (1)x+2y=0 (2)m≠± 4,n∈R

若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”,试求 l 的方程.
? ? ?x+y+1=0, ?x=-2, 解:由方程组? 解得? ?x-y+3=0, ?y=1, ? ?

即点 P(-2,1).

又 l∥l3,即 k=2,故直线 l 的方程为 y-1=2(x+2), 即 2x-y+5=0. ————— —————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法 经过两相交直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y +C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(这个直线系方程中不包括直线 A2x+B2y+C2=0)或 m(A1x+B1y+ C1)+n(A2x+B2y+C2)=0.

1.设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0. (1)证明 l1 与 l2 相交; (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上. 证明:(1)反证法:假设 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行,则有 k1=k2,代入 k1k2+2=0
2 得 k2 1=k2=-2,显然不成立,与已知矛盾,从而 k1≠k2,即 l1 与 l2 相交.

? ?y=k1x+1, (2)由方程组? ?y=k2x-1, ?

解得交点 P 的坐标为?

? 2 ,k2+k1?, ? ?k2-k1 k2-k1?

2 ?k2+k1?2 而 2x2+y2=2?k -k ?2+? ? 2 1? ?k2-k1? ? = =
2 8+k2 2+k1+2k1k2 2 2 k2+k1-2k1k2 2 k1 +k2 2+4 =1, 2 k1+k2 2+4

即交点 P(x,y)在椭圆 2x2+y2=1 上.

距离公式的应用

[例 2] 已知点 P(2,-1). (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明 理由. [自主解答] (1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为(2,-1),可见, 过 P(2,-1)且垂直于 x 轴的直线满足条件, 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2.

若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知得 =2,解得 k= . 2 4 k +1 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)作图可得过 P 点与原点 O 的距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂 直的直线,如图. 由 l⊥OP,得 klkOP=-1, 1 所以 kl=- =2. kOP 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0. |-5| 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为 = 5. 5 (3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超过 5的直线, 因此不存在过 P 点且到原点距离为 6 的直线. ————— —————————————— 求两条平行线间距离的两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的 距离. (2)利用两平行线间的距离公式.

2.已知 A(4,-3),B(2,-1)和直线 l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点 P,使|PA| =|PB|,且点 P 到直线 l 的距离为 2. 解:设点 P 的坐标为(a,b).∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段 AB 的中点 M 的坐标为(3,-2).而 AB 的斜率 kAB= -3+1 =-1, 4-2

∴线段 AB 的垂直平分线方程为 y+2=x-3,即 x-y-5=0. ∵点 P(a,b)在上述直线上, ∴a-b-5=0.① 又点 P(a,b)到直线 l:4x+3y-2=0 的距离为 2,∴ 即 4a+3b-2=± 10,② |4a+3b-2| =2, 5

?a=1, ? 由①②联立可得? 或 ?b=-4, ?

?a= 7 , ? 8 ?b=-7.

27

27 8? ∴所求点 P 的坐标为(1,-4)或? ? 7 ,-7?.

对 称 问 题

[例 3] 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程. [自主解答] (1)设 A′(x,y),再由已知 y+2 2 ? ?x+1×3=-1, ? x-1 y-2 ? ?2× 2 -3× 2 +1=0, 33 4 - , ?. 故 A′? ? 13 13? (2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设对称点 M′(a,b),则

?x=-13, 解得? 4 ?y=13,

33

?a+2? ?b+0? ? ?2×? 2 ?-3×? 2 ?+1=0, ?b-0 2 ? ?a-2×3=-1,
6 30? 得 M′? ?13,13?. 设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则
? ?2x-3y+1=0, 由? ?3x-2y-6=0, ?

得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. ————— —————————————— 求点关于直线对称问题的基本方法 (1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直; (2)已知点与对称点的中点在对称轴上.

利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题.

3.直线 y=2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线,若点 A(-4,2),B(3,1),求点 C 的坐标. 解:把 A,B 两点的坐标代入 y=2x 知,A,B 不在直线 y=2x 上,因此 y=2x 为∠ACB b-2 的平分线,设点 A(-4,2)关于 y=2x 的对称点为 A′(a,b),则 kAA′= ,线段 AA′的中 a+4 b-2 · 2=-1, ? ? a+4 a-4 b+2? ? 点坐标为 ? 2 , 2 ?,∵?b+2 a-4 ? ? 2 =2· 2 ,
? ?a=4, 解得? ∴A′(4,-2). ?b=-2, ?

y+2 ∵y=2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程, ∴A′在直线 BC 上, ∴直线 BC 的方程为 1+2 x-4 = ,即 3x+y-10=0. 3-4
? ? ?y=2x, ?x=2, 由? 解得? ∴C(2,4). ?3x+y-10=0, ?y=4, ? ?

? 1 条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. ? 1 种思想——转化思想在对称问题中的应用 一般地,对称问题包括点关于点的对称,点关于直线的对称,直线关于点的对称,直线 关于直线的对称等情况,上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决. ? 2 个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜 率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑; (2)运用两平行直线间的距离公式 d= 别相等. |C1-C2| 的前提是将两方程中的 x, y 的系数化为分 A2+B2

创新交汇——新定义下的直线方程问题

1.直线方程是高考的常考内容,但一般不单独考查,常与圆、圆锥曲线、函数与导数、 三角函数等内容相结合,以交汇创新的形式出现在高考中. 2.解决新定义下的直线方程的问题,难点是对新定义的理解和运用,关键是要分析新 定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程中. [典例] (2013· 上海模拟)在平面直角坐标系中,设点 P(x,y),定义[OP]=|x|+|y|,其中 O 为坐标原点. 对于以下结论:①符合[OP]=1 的点 P 的轨迹围成的图形的面积为 2; ②设 P 为直线 5x+2y-2=0 上任意一点,则[OP]的最小值为 1; 其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号). [解析] ①由[OP]=1,根据新定义得,|x|+|y|=1,上式可化为 y =-x+1(0≤x≤1),y=-x-1(-1≤x≤0),y=x+1(-1≤x≤0),y=x -1(0≤x≤1),画出图象如图所示.根据图形得到四边形 ABCD 为边长 是 2的正方形,所以面积等于 2,故①正确; ②当点 P 为? 2 2 ,0?时, [OP]=|x|+|y|= +0<1, 所以[OP]的最小值不为 1, 故②错误; ? 5 ? 5

所以正确结论有①. [答案] ① [名师点评] 1.本题有以下创新点 (1)考查内容的创新,对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新. (2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新,本题考查了学生的发散 思维,思维方向与思维习惯有所不同. 2.解决本题的关键有以下两点 (1)根据新定义,讨论 x 的取值,得到 y 与 x 的分段函数关系式,画出分段函数的图象, 即可求出该图形的面积; (2)认真观察直线方程,可举一个反例,得到[OP]的最小值为 1 是假命题. 3.在解决新概念、新定义的创新问题时,要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延; (2)对于新概念、新结论要具体化,举几个具体的例子,代入几个特殊值;(3)注意新概 念、新结论的正用会怎样,逆用会怎样,变形用又将会如何. [变式训练]

1 ? 四边形 OABC 的四个顶点坐标分别为 O(0,0), A(6,2), B(4,6), C(2,6), 直线 y=kx? ?3<k<3? 把四边形 OABC 分成两部分,S 表示靠近 x 轴一侧那部分的面积. (1)求 S=f(k)的函数表达式; (2)当 k 为何值时,直线 y=kx 将四边形 OABC 分为面积相等的两部分. 3 解:(1)如图所示,由题意得 kOB= . 2 1 3 ①当 <k< 时,直线 y=kx 与线段 AB:2x+y=14 相交, 3 2
?y=kx, ? 由? ?2x+y=14, ?

14 14k 解得交点为 P1?k+2,k+2?.

?

?

因为点 P1 到直线 OA:x-3y=0 的距离为 d=

14?3k-1? 14?3k-1? 1 ,所以 S= |OA|· d= ; 2 k+2 10?k+2?

6 ? 3 ②当 ≤k<3 时,直线 y=kx 与线段 BC:y=6 相交于点 P2? ?k,6?, 2 6?3-k? 1 所以 S△OP2C= |P2C|· 6= . 2 k 又因为 S 四边形 OABC=S△AOB+S△OBC=14+6=20, 18 所以 S=S 四边形 OABC-S△OP2C=26- . k k-1??1 3 <k< ?, ?14?k3+ 2? 2 ?3 故 S=f(k)=? 18 3 ? ?26- k ? ?2≤k<3?. 14?3k-1? 17 (2)若要直线 y=kx 平分四边形 OABC 的面积, 由(1), 知只需 =10, 解得 k= . 16 k+2

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( 1 A. 2 3 2 C. 2 解析:选 C |1-?-1?×1+1| 3 2 d= = . 2 12+?-1?2 3 B. 2 D. 2 2 )

2.(2013· 海口模拟)直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P, 则 P 点坐标为( A.(3,0) C.(0,-3) ) B.(-3,0) D.(0,3)

解析:选 D 由题意知,直线 l2 的方程为 y-1=2(x+1), 令 x=0,得 y=3,即点 P 的坐标为(0,3). 3.(2013· 南昌模拟)P 点在直线 3x+y-5=0 上,且 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 则 P 点坐标为( A.(1,2) C.(1,2)或(2,-1) 解析:选 C 设 P(x,5-3x), |x-5+3x-1| 则 d= = 2,|4x-6|=2,4x-6=± 2, 12+?-1?2 即 x=1 或 x=2,故 P(1,2)或(2,-1). 4.(2013· 南京调研)与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( A.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 B.3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0 ) ) B.(2,1) D.(2,1)或(-1,2) 2,

解析:选 A 与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x-4(-y)+5=0,即 3x+4y+5=0. 5.直线 l 通过两直线 7x+5y-24=0 和 x-y=0 的交点,且点(5,1)到 l 的距离为 10.则 l 的方程是( ) B.3x-y+4=0 D.x-3y-4=0

A.3x+y+4=0 C.3x-y-4=0

? ?7x+5y-24=0, 解析:选 C 由? 得交点(2,2), ?x-y=0, ?

设 l 的方程为 y-2=k(x-2),即 kx-y+2-2k=0, ∵ |5k-1+2-2k| = 10,解得 k=3. k2+?-1?2

∴l 的方程为 3x-y-4=0. |x| |y| 6.曲线 - =1 与直线 y=2x+m 有两个交点,则 m 的取值范围是( 2 3 A.m>4 或 m<-4 C.m>3 或 m<-3 B.-4<m<4 D.-3<m<3 )

|x| |y| 解析:选 A 曲线 - =1 的草图如图所示.与直线 y=2x+m 有两个交点.则 m>4 2 3

或 m<-4.

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.已知坐标平面内两点 A(x, 2-x)和 B? ________. 解析:d= 1 即最小值为 . 2 1 答案: 2 8.与直线 x-y-2=0 平行,且它们的距离为 2 2的直线方程是________________. 解析:设与直线 x-y-2=0 平行的直线方程为 x-y+c=0,则 2 2= c=2 或 c=-6,即所求直线方程为 x-y+2=0 或 x-y-6=0. 答案:x-y+2=0 或 x-y-6=0 9.平面上三条直线 x+2y-1=0,x+1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为 六部分,则实数 k 的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上). ①0 1 ② 2 ③1 ④2 ⑤3 ,得 1 +?-1?2
2

2 ? ,那么这两点之间距离的最小值是 ? 2 ,0?

?x- 2?2+? 2? ?

2-x?2=

3 2?2 1 1 2?x- + ≥ . 4 ? 4 2 ?

|c+2|

解析:三条直线将平面分为 6 部分,则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行,经 验证可知,当 k=0,1,2 时均符合题意. 答案:①③④ 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段 被点 P 平分,求直线 l 的方程. 解:设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a), 则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上, 代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0, 解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 11.光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的

C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程. 解:作出草图,如图所示,设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′,D 关于 y 轴的对称点为 D′,则易得 A′(-2,-4),D′(1,6).由入射角 等于反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C. y-6 x-1 故 BC 所在的直线方程为 = ,即 10x-3y+8=0. 6+4 1+2 12.已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点 P, (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解:(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0, ∴ |10+5λ-5|
2

?2+λ? +?1-2λ?

2=3,解得

1 λ=2 或 λ= . 2

∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.
? ?2x+y-5=0, (2)由? 解得交点 P(2,1),如图,过 P 作任一直线 l, ?x-2y=0, ?

设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立). ∴dmax=|PA|= 10.

1. 记直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直时 m 的取值集 合为 M,直线 x+ny+3=0 与直线 nx+4y+6=0 平行时 n 的取值集合为 N,则 M∪N= ________. 解析:当直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直时,m 满 1 足(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,解得 m= 或 m=-2, 2 1? ? 故 M=?-2,2?;
? ?

直线 x+ny+3=0 与直线 nx+4y+6=0 平行,当 n=0 时,显然两直线不平行;当 n≠0 1 n 3 时,两直线平行的充要条件是 = ≠ ,即 n=-2,所以 N={-2}. n 4 6 1? ? 故 M∪N=?-2,2?.
? ?

1? ? 答案:?-2,2?
? ?

2.已知 A(3,1)、B(-1,2),若∠ACB 的平分线在 y=x+1 上,则 AC 所在直线方程是

________________. 解析:设点 A 关于直线 y=x+1 对称的点 A′为(x0,y0), y -1 ? ?x -3=-1, 则? y +1 x +3 ? 2 = 2 +1, ?
0 0 0 0

? ?x0=0, 解得? ?y0=4, ?

即 A′(0,4).

故直线 A′B 的方程为 2x-y+4=0.
?2x-y+4=0, ?x=-3, ? ? 由? 得? ?y=x+1, ?y=-2, ? ?

即 C(-3,-2). 故直线 AC 的方程为 x-2y-1=0. 答案:x-2y-1=0 3.已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行线 l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0 截得的线段长 为 5,求直线 l 的方程. 解:法一:若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=3, 此时与 l1,l2 的交点分别是 A(3,-4),B(3,-9), 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1, 分别与直线 l1,l2 的方程联立,
? ?y=k?x-3?+1, ?3k-2,1-4k?. 由? 解得 A? ? ? k+1 k+1 ? ?x+y+1=0, ? ? ?y=k?x-3?+1, ?3k-7,1-9k?. 由? 解得 B? ? ? k+1 k+1 ? ?x+y+6=0, ?

由两点间的距离公式,得

?3k-2-3k-7?2+?1-4k-1-9k?2=25, ? k+1 k+1 ? ? k+1 k+1 ? ? ? ? ?
解得 k=0,即所求直线方程为 y=1. 综上可知,直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 法二:设直线 l 与 l1,l2 分别相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+y1+1=0,x2+y2+6=0. 两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5.① 又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25,②
? ? ?x1-x2=5, ?x1-x2=0, 联立①②可得? 或? ?y1-y2=0, ? ? ?y1-y2=5,

由上可知,直线 l 的倾斜角分别为 0° 和 90° , 故所求的直线方程为 x=3 或 y=1. 法三:因为两平行线间的距离 |6-1| 5 2 d= = , 2 2 如图,直线 l 被两平行线截得的线段为 5, 设直线 l 与两平行线的夹为角 θ,则 sin θ= 所以 θ=45° . 因为两平行线的斜率是-1, 故所求直线的斜率不存在或为零. 又因为直线 l 过点 D(3,1), 所以直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 4.已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且点 A(1,3)到直线 l 的距离为 2,求直线 l 的方程. 解:(1)当直线 l 在两坐标轴上的截距不为零时,可设方程为 x+y+m=0(m≠0), |1+3+m| 由已知 = 2,解得 m=-2 或 m=-6, 12+12 故所求的直线方程为 x+y-2=0 或 x+y-6=0. (2)当直线 l 在两坐标轴上的截距为零时,可设方程为 y=kx, 由已知 = 2,解得 k=1 或 k=-7, k +?-1?2
2

2 , 2

|k-3|

故所求的直线方程为 x-y=0 或 7x+y=0. 综上,所求的直线方程为 x+y-2=0 或 x+y-6=0 或 x-y=0 或 7x+y=0.


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