江苏省江浦高级中学2013届高三上学期期末复习测试数学试题


江苏省江浦高级中学 2012—2013 学年度第一学期高三期末复习









一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1、已知集合 M ? ?x | y ? lg x? , N ? x | y ? 1 ? x ,则 M ? N = 2、 (lg 5) 2 ? lg 2 ? lg 50 ? 3、 tan(?11250 ) 的值是 ▲ ▲ . . ▲ ▲ ▲ . . . ▲ .

?

?





4、若复数 z 满足 (2 ? i) z ? 5 ( i 是虛数单位),则 z= 5、函数 y ? sin( x ?

?
3

)( x ? ? 0, ? ? )的单调减区间是

6、方程 lg x ? 8 ? 2 x 的根 x ? (k , k ? 1) , k ∈Z,则 k =

7、已知向量 a ? (1, 2), b ? (2,3) ,若 (? a ? b) ? (a ? b) ,则 ? = 8、在等比数列 {an } 中,若 a2 ? 2 , a6 ? 32 ,则 a4 ? ▲

?

?

? ?

? ?

9 、 已 知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是 偶 函 数 , 定 义 域 为 ?a ? 1,2a ? , 则 a ? b 的 值 为 . ▲ .

10、已知函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ?

?
3

) ? 1 ,给定条件 p :

?
4

≤x≤

?
2

,条件 q : ▲
2

? 2 ? f ( x) ? m ? 2 ,若 p 是 q 的充分条件,则实数 m 的取值范围为
2 2



11、在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b ? c ? 2bc ? a ,且 ∠C= ▲ .

a ? 2 ,则 b

2 12 、 已 知 数 列 ?an ? 中 , an ? n ? ? n( ? 是 与 n 无 关 的 实 数 常 数 ) 且 满 足 ,

a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? an?1 ? ??? ,则实数 ? 的取值范围是____▲ _______.
13、设函数 f ( x ) 的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? l ? D , f x l? ) f ? () x 且 (

, 则称 f ( x ) 为 M 上的 l 高调函数。 如果定义域为 [?1, ??)

2 的 函 数 f ( x) ? x 为 [?1, ??) 上 的 m 高 调 函 数 , 那 么 实 数 m 的 取 值 范 围 是



.

5 5 3 3 14 、 如 果 c o s ? ? s i n ? ? 7( s i n? ? c o s ? ) , ? ? [ 0 ,2? ) , 那 么 ? 的 取 值 范 围 是





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,请把解答写在答题卷规定的答题框内,解答应写 出文字说明,证明过程或演算步骤. 15、 (本小题满分 14 分)

1 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ( , cos2 ? ) 在角 ? 的终边上,点 Q (sin 2 ? , ? 1) 在角 ? 的终 2
边上,且 OP ? OQ ? ? . (1)求 cos 2? 的值; (2)求 sin(? ? ? ) 的值.

??? ???? ?

1 2

16、 (本小题满分 14 分) 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 F 为 A1D 的中点. (1)求证:A1B∥平面 AFC; (2)求证:平面 A1B1CD ? 平面 AFC. B1

A1 F C1

D1

A B C

D

17、 (本小题满分 14 分)

?cx ? 1 ? 已知函数 f ( x) ? ? ? x 2 ?2 c ? 1 ?
(1)求常数 c 的值;

(0 ? x ? c) (c ≤ x ? 1)

满足 f (c ) ?
2

9 . 8

(2)解不等式 f ( x) ?

2 ? 1. 8

18. (本小题满分 16 分) 某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时,身体(看 成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下 经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已 知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该 10m
跳 台 支 柱

y 3m O x

2 运动员在空中的最高处距水面 10 米,入水处距 3
池边的距离为 4 米,运动员在距水面高度为 5 米 以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水 姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式;

1m

水面

(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(Ⅰ)中的抛物线,且运动员 在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 3 米,问此次跳水会不会失误? 并通过计算说明理由.

3 5

19、 (本小题满分 16 分) 设数列 {bn } 满足: b1 ? (1)求证:

1 2 , bn?1 ? bn ? bn , 2

1 1 1 ; ? ? bn ? 1 bn bn?1
1 1 1 ,对任意的正整数 n , 3Tn ? log2 m ? 5 ? 0 恒 ? ??? b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1

(2)若 Tn ?

成立.求 m 的取值范围.

20、 (本小题满分 16 分) 设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f / ( x) 。 (1) 求 g (x) 的单调区间和最小值; (2) 讨论 g (x) 与 g ( ) 的大小关系; (3)求 a 的取值范围,使得 g ( a ) ? g ( x ) ?

1 x

1 对任意 x ? 0 成立。 a

江苏省江浦高级中学 2012—2013 学年度第一学期高三期中复习



学 答


4、 2 ? i 8、8 12、 ? ? ?3

二、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1、 (0 ,1] 5、 ( 2、1 6、3 10、 (3 ,5) 14、 ( 3、-1

?

6 1 9、 3

,? )

13、 m ? 2

? 5?
4 , 4

5 3 7 11、 ? 12
7、 ?

)

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,请把解答写在答题卷规定的答题框内,解答应写 出文字说明,证明过程或演算步骤.

??? ???? ? 1 1 1 15、解: (1)因为 OP ? OQ ? ? ,所以 sin 2 ? ? cos2 ? ? ? , 2 2 2 1 1 2 即 (1 ? cos2 ? ) ? cos2 ? ? ? ,所以 cos2 ? ? , 2 2 3

1 .………………………………………………6 分 3 2 1 1 2 1 2 2 (2)因为 cos ? ? ,所以 sin ? ? ,所以 点P ( , ) , 点Q( ,?1) , 3 3 2 3 3 4 3 1 2 又点 P( , ) 在角 ? 的终边上,所以 sin ? ? , cos ? ? . 2 3 5 5 3 10 10 同理 sin ? ? ? , cos ? ? , 10 10
所以 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ?
2

所以 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

4 10 3 3 10 10 ? ? ? (? ) ?? 14 分 5 10 5 10 10

16、证明: (1)连接 BD 交 AC 于点 O, 连接 FO,则点 O 是 BD 的中点. ∵点 F 为 A1D 的中点,∴A1B∥FO.……4 分 又 A1B ? 平面 AFC, FO ? 平面 AFC, ∴A1B∥平面 AFC. ………………………………………………7 分 (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,连接 B1D. ∵AC⊥BD,AC⊥BB1,∴AC⊥平面 B1BD,AC⊥B1D.…………9 分 又∵CD⊥平面 A1ADD1, AF ? 平面 A1ADD1,∴CD⊥AF. 又∵AF⊥A1D,∴AF⊥平面 A1B1CD. …………… …………12 分 ∵AC⊥B1D,∴B1D⊥平面 AFC. 而 B1D ? 平面 A1B1CD,∴平面 A1B1CD ? 平面 AFC.……………14 分

17、解: (1)因为 0 ? c ? 1 ,所以 c ? c ;
2

…………………2 分 …………………6 分

由 f (c ) ?
2

9 9 1 3 ,即 c ? 1 ? , c ? . 8 8 2

?1 1? ? ? ? 2 x ? 1,? ? x ? 2 ? ? ? ? (2)由(1)得 f ( x) ? ? ? ?2?4 x ? 1,? ≤ x ? 1? ? ? ? ?? ? ?
由 f ( x) ?

……8 分

1 2 1 2 ?x? , ? 1 得,当 0 ? x ? 时,解得 2 4 2 8


…………10 分

1 1 5 ≤ x ? 1 时,解得 ≤ x ? , 2 2 8

…………12 分

所以 f ( x) ?

? 2 5? 2 ? ? ? x ? ?. ? 1 的解集为 ? x 8? 8 ? 4 ? ?

…………14 分

18、解: (1)在给定的直角坐标系下,设最高点为 A,入水点为 B, 抛物线的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c . 由题意,知 O(0,0) ,B(2,-10) ,且顶点 A 的纵坐标为 ………… 1 分

2 . 3

…………4 分

25 ? 3 ? ?a ? ? 6 c?0 ? ?a ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 4ac ? b ? 10 ?? ? ? ?b ? 或 ?b ? ?2 3 3 ? 4a ? ?c ? 0 ?4a ? 2b ? c ? ?10 ?c ? 0 ? ? ? ? ?
∵抛物线对称轴在 y 轴右侧,∴ ? 从而 b>0,故有 a ? ?

…………7 分

b ? 0 ,又∵抛物线开口向下,∴a<0, 2a

25 10 ,b ? ,c ? 0 6 3 25 2 10 ∴抛物线的解析式为 y ? ? x ? x . 6 3
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为 3 米时,

…………10 分

3 5 25 8 10 8 16 3 3 即 x ? 3 ? 2 ? 1 时, y ? ? ? ( )2 ? ? ? ? , …………14 分 6 5 3 5 3 5 5 16 14 ∴此时运动员距水面的高为 10- = <5,因此,此次跳水会失误。 ……16 分 3 3

19.解: (1)∵b1 ? ∴

1 , b n ?1 ? b 2 ? b n ? b n (b n ? 1) ,∴ 对任意的 n ? N*, bn ? 0 . n 2

1 b n ?1

?

1 1 1 1 1 1 .…………6 分 ? ? ,即 ? ? b n (b n ? 1) b n b n ? 1 b n ? 1 b n b n ?1

(2) Tn ? (

1 1 1 1 1 1 1 1 1 .…8 分 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? ? 2? b1 b2 b2 b3 bn bn?1 b1 bn?1 bn?1

∵b n ?1 ? b n ? b 2 ? 0, ? b n ?1 ? b n , ∴ 数列 {b n } 是单调递增数列. n ∴ 数列{ Tn }关于 n 递增. ∴Tn ? T1 .… ∵b1 ? …………………………10 分

1 3 ,∴b2 ? b1 (b1 ? 1) ? 2 4

∴T1 ? 2 ? ∴Tn ?

1 2 ? b2 3

……………………12 分

2 3

∵3Tn ? log2 m ? 5 ? 0 恒成立,∴log2 m ? 3Tn ? 5 恒成立, ∴log2 m ? ?3 ∴0 ? m ? ……………………………14 分 ……………………………16 分

1 . 8
1 , x

20、解: (1)由题设知 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ln x ?

x ?1 / ,令 g ( x) ? 0 得 x ? 1 , 2 x 当 x ? (0 ,1) 时, g / ( x) ? 0 ,故 ( 0 ,1) 是 g (x) 的单调减区间, ( ? g / ( x) ?
当 x ? (1 ,??) 时, g ( x) ? 0 ,故 ( 1 ,??) 是 g (x) 的单调增区间,
/

…………………2 分

因此, x ? 1 是 g (x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以 g (x) 的最 小值为 g (1) ? 1 。 (2) g ( ) ? ? ln x ? x ,设 h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? 2 ln x ? x ? 当 x ? 1 时, h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) ; 当 x ? (0,1) ? (1,??) 时, h ( x) ? 0 , h (1) ? 0 。
/ /

…………………6 分

1 x

1 x

1 ( x ? 1) 2 / ,则 h ( x) ? ? , x x2

1 x

因此, h(x) 在 (0 ,??) 内为单调递减, 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) ; 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) 。

…………………8 分

1 x

1 x

…………………10 分

由(1)知 g (x) 的最小值为 1,所以, g ( a ) ? g ( x ) ? 对任意 x ? 0 成立,即 g ( a ) ? 1 ? 从而得 0 ? a ? e 。

1 , a

…………………12 分 ……………14 分 ……………16 分

1 ,即 ln a ? 1, a


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