江苏省江宁高级中学2013届高三上学期期中考试数学试题


江宁高级中学 2013 届高三上学期期中考试数学试题
班级 一、 学号 姓名 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

2012.11.22

1. 已知 i 是虚数单位,复数 z ?

(1 ? i ) 2 ,则 z 等于 1? i

?1 ? i

. _条件.(填“充分不必要,必要不

2.“ ac ? b 2 ”是“ a、b、c 成等比数列”的__必要不充分 充分,充要,既不充分也不必要”之一)


3. 已知 2 x1 ? 1,2 x2 ?1,2 x3 ?1, ?,2 xn ?1 的方差是 3, x1 , x2 , x3 ,?, xn 的标准差为 则

4. 从集合 A ? {?1,1,2} 中随机选取一个数记为 k ,从集合 B ? {?2,1,2} 中随机选取一个数记为

3 2



b ,则直线 y ? kx ? b 不经过第三象限的概率为
5. 右图程序运行结果是 21 .

2 9



6. 等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,且 a3、a5、a8 依次成等比数列,则

S5 =___2____. a9
7. 已知 l1 : 2 x ? my ? 1 ? 0 与 l2 : y ? 3x ? 1 ,若两直线平行,则 m

a←1 b←1 i←4 WHILE i≤6 a←a+b b←a+b i←i+1

END WHILE PRINT b 程序运行结果是 8.在 ?ABC 中,内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、b、c ,若 c ? 4, b ? 7 , BC 边上的中线 AD 的

2 的值为 ? 3
长为

7 ,则 a =__9_____. 2 9. 已 知 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , O 为 坐 标 原 点 , 平 面 内 三 点 A、 B、 C 共 线 , 且 ??? ? ??? ? ??? ? O A? 1a0 0 6 O? B a 0 0 7,则数列 {an } 的前 2012 项的和 S2012 =__1006_____. OC 1
10. 一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部 分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以 它们的公共顶点 P 为顶点,加工成一个如图所示的正四棱 锥容器,当 x=6cm 时,该容器的容积为__48___ cm . 11. ?ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且
3

??? ??? ? ? 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则 CA ? CB ?
12. 设点 F1 , F2 分别为椭圆

3



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右两焦点,直线 l 为右准线.若在椭圆上存 a 2 b2

在点 M ,使 MF1 , MF2 ,点 M 到直线 l 的距离 d 成等比数列,则此椭圆离心率 e 的取值范围是 _____ ? 2 ? 1,1 _. ? 13.设曲线 y ? ?ax ? 1?e x 在点 A?x0 , y1 ? 处的切线为 l1 ,曲线 y ? ?1 ? x?e ? x 在点 B?x0 , y2 ? 处的切线为

?

l 2 .若存在 x0 ? ?0, 3 ? ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为 ?1 ?a ?
? 2? ? ?

3 2



14. 若实数 a , b, c 成等差数列,点 P(?1,0) 在动直线 ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M ,点 N (3,3) , 则线段 MN 长度的最大值是

5? 2



二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 、 E 分别是棱 BC 、 AB 的中点, 点 F 在棱 CC1 上,已知 AB ? AC , AA1 ? 3 , BC ? CF ? 2 . (1)求证: C1 E // 平面 ADF ; (2)设点 M 在棱 BB1 上,当 BM 为何值时,平面 CAM ? 平面 C D O E A (第 16 题) B A1 F C1

M B1

ADF ?
解:(1)连接 CE 交 AD 于 O ,连接 OF . 因为 CE,AD 为△ABC 中线,所以 O 为△ABC 的重心,

CF CO 2 ? ? . CC1 CE 3

从而 OF//C1E.OF ? 面 ADF, C1 E ? 平面 ADF ,所以 C1 E // 平面 ADF . (2)当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF . 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,由于 B1 B ? 平面 ABC,BB1 ? 平面 B1BCC1,所以平面 B1BCC1 ? 平面 ABC.由于 AB=AC,D 是 BC 中点,所以 AD ? BC .又平面 B1BCC1∩平面 ABC=BC, 所以 AD ? 平面 B1BCC1. CM ? 平面 B1BCC1, 而 于是 AD ? CM. 因为 BM =CD=1, BC= CF=2, 所以 Rt?CBM ≌ Rt?FCD ,所以 CM ? DF. DF 与 AD 相交,所以 CM ? 平面 ADF .CM ? 平面 CAM,所以 平面 CAM ? 平面 ADF .当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF . 16. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

C?A?

?
2

,sin B ?

1 .(1)求 sin A 的值;(2)设 AC ? 6, 求 ?ABC 的面积. 3

(1)

3 ;(2) 3 2 . 3

17. (本小题满分 14 分)已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ bn }是等比数列,且

a1 = b1 =2 , a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a2 bn?1 ? a1bn , n ? N+ ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N+ ) . (1) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 ?bn ? 的 公 比 为 q , 由 a1 ? b1 ? 2 , 得

?2 ? 3d ? 2q3 ? 27 ?d ? 3 ? ? ,故 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q , S4 ? 8 ? 6d , 由 条 件 得 方 程 组 ? ?? 3 ?q ? 2 ?8 ? 6d ? 2q ? 10 ? ?
3

an ? 3n ?1, bn ? 2n (n ? N * )
(2) Tn ? anb1 ? an ?1b2 ? an ?2b3 ? ? ? a1bn ? 2n a1 ? 2n ?1 a2 ? ? ? 2an ? 2n (a1 ? a2 ? ? ? an 1 ) n?
2 2

an 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 5 ? n ?1 ? n ? 2 ? n ?1 ? cn ? cn ?1 n ?1 2 2 2 2

Tn ? 2n [(c1 ? c2 ) ? (c2 ? c3 ) ? ?? (cn ? cn?1 )] ? 2n (c1 ? cn?1 ) ? 10 ? 2n ? 2(3n ? 5) ? 10bn ? 2an ?12 ? Tn ?12 ? 10bn ? 2an
18. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 已 知 三 条 直 线 l1 : 2 x ? y ? a ? 0(a ? 0) , l 2 : ?4 x ? 2 y ? 1 ? 0 和

l3 : x ? y ? 1 ? 0 ,且 l1 与 l 2 的距离是

7 5 ;(1)求: a 的值;(2)能否找到一点 P 同时满足 10
1 ; ③点 P 到 l1 的 2

下列三个条件: P 是第一象限的点; ① ②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l 2 的距离的

距离与点 P 到 l 3 的距离之比是 2 : 5 ?若能,求点 P 的坐标;若不能,请说明理由。 解: a ? 3 ; P( ,

1 37 ) 9 18

19. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ( a ? R ) . (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 当 a >0 时,求函数 f ( x) 在 [1, 2] 上最小值. 19、解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ? 2 ( x ? 0 ), x 1 1 ①由 f ?( x) ? ? 2 ? 0 ,得 0 ? x ? x 2 1 1 ②由 f ?( x) ? ? 2 ? 0 ,得 x ? x 2

???????2 分 ???????4 分 ???????????6 分

故函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 0, ) ,单调减区间是 [ ,?? ) . (Ⅱ)①当

1 2

1 2

?????? 8 分

1 ? 1 ,即 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间[1,2]上是减函数, a
??????10 分

∴ f ( x) 的最小值是 f (2) ? ln 2 ? 2a . ②当

1 1 ? 2 ,即 a ? 时,函数 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数, a 2
??????12 分

∴ f ( x) 的最小值是 f (1) ? ?a .

1 1 1 1 ③当 1 ? ? 2 ,即 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在 [1, ] 上是增函数,在 [ , 2] 是减函数. a a a 2 f (2) ? f (1) ? ln 2 ? a , 又
∴当

1 ? a ? ln 2 时,最小值是 f (1) ? ? a ; 2 当 ln 2 ? a ? 1 时,最小值为 f (2) ? ln 2 ? 2a .

??????15 分

综上可知,当 0 ? a ? ln 2 时, 函数 f ( x) 的最小值是 f ( x) min ? ?a ;当 a ? ln 2 时,函数 f ( x) 的最 小值是 f ( x) min ? ln 2 ? 2a . ??????16 分 20. = ( 本 小 题 满 分 16 分 ). 已 知 数 列

?an ?



?bn ?

满 足 : a1

= λ

, an ?1

3 an ? n ? 5, bn ? (?1) n (an ? 4n ? 36), 其中λ 为实数,n 为正整数. Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. 4

(1)对任意实数λ ,证明:数列 ?an ? 不是等比数列; (2)对于给定的实数λ ,试求数列 ?bn ? 的通项公式,并求 Sn ; (3) 0 ? a ? b a , b 为给定的实常数) 设 ( ,是否存在实数λ , 使得对任意正整数 n , 都有 a ? Sn ? b ? 若存在,求λ 的取值范围;若不存在,说明理由.

2 解:(1)证明:假设存在一个实数 ? ,使 ?an ? 是等比数列,则有 a2 ? a1a2 ,

3 9 2 ?6? ? 16 ? 9 ? 2 ? 4? ? 16 ? 0, ?9 ? 2 即( ? ? 4 ) = ? ? ? ? 6 ? ? 矛盾. ? 16 4 ? 16 ? 16
所以 ?an ? 不是等比数列. (2)因为 bn ?1 ? (?1)
n ?1

-----------------------

4分

3 [an ?1 ? 4(n ? 1) ? 36] ? (?1) n ?1 ( an ? 3n ? 27) 4 3 3 ? ? (?1) n ?(an ? 4n ? 36) ? ? bn 4 4 当 ? ? ?32 时, b1 ? ?(? ? 32) ? 0 ,由上可知 bn ? 0 , b 3 + ∴ n ?1 ? ? (n ? N ) . bn 4 3 故 当 ? ? ?32 时 , 数 列 { b }是 以 ?(? ? 3 2 ) 首 项 , ? 为 公 比 的 等 比 数 列 。 为 n 4

? 3? bn ? ?(? ? 32) ? ? ? ? 4?

n ?1

, Sn ? ?

4 3 ? ? (? ? 32) ?1 ? (? )n ? 7 4 ? ?
-----------------------------8分

当 ? ? ?32 时, bn ? 0 , Sn ? 0 ∴ ? ? ?32 要使 a ? Sn ? b 对任意正整数 n 成立, 即a ? ?

(3)由(2)知,当 ? ? ?32 时, bn ? 0 , Sn ? 0 ,不满足题目要求.

4 3 (? ? 32)? ? (? ) n ] ? b(n ? N ? ) [1 7 4 a 4 b 得 ? ? (? ? 32) ?            3 n 3 n 7 1 ? (? ) 1 ? (? ) 4 4 3 令f (n) ? 1 ? (? ) n,则 4 7 7 当 n 为正奇数时, 1 ? f ( n) ? ; 当n为正偶数时, ? f ( n) ? 1, 4 16 7 7 ∴ f ( n) 的最大值为 f (1) ? , f ( n) 的最小值为 f (2) ? , 4 16 16 4 4 于是,由①式得 a <- (? ? 32) < b ? ?b ? 32 ? ? ? ?4a ? 32. 7 7 7 当 a ? b ? 4a 时,由 ?b ? 32 ? ?4a ? 32 ,不存在实数满足题目要求;
当 b ? 4a 存 在 实 数 λ , 使 得 对 任 意 正 整 数 n , 都 有 a ? Sn ? b, 且 λ 的 取 值 范 围 是

(?b ? 32, ?4a ? 32) .

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16 分


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