高考数学:求解含绝对值函数问题的基本策略


纵观近几年的高考试卷,有关含绝对值函数的问题呈现出综合性强、立意新颖、难度大等特 点,正日益成为高考的热点. 利用绝对值函数的图象和性质 在解有关含绝对值函数的客观题时,要运用好绝对值函数的图象和性质,根据题意,利 用函数 y=f(x)图象的翻折和平移得到 y=f(x) ,y=f(x) ,y=f(x-m) 等含绝对值函数 的图象,然后利用图象求解. 对于常见的含绝对值的函数的图象和性质,要熟练掌握,才有利于提升解题速度.如: y=ax(a>0,a≠1) ,y=ax-1,y=logax,y=logax(a>0,a≠1) ,y=ax2+bx+c,y=, y=x+(a>0) ,y=ax-b,y=ax2+bx+c 等. 例 1 函数 f(x)=2xlog0.5x-1 的零点个数为 . (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解析:由 f(x)=2xlog0.5x-1=0 可得 log0.5x=x,设 h(x)=x,g(x)=log0.5x, 在同一坐标系中分别画出函数 g(x)和 h(x)的图象(如图 1 所示) ,可以发现两个函数 的图象有 2 个交点,即函数 f(x)有 2 个零点.所以答案选 B. 点评: 解例 1 的关键是作出 g(x)=log0.5x 的图象,然后观察它与函数 h(x)=x 的图象的交点个数,交点个数即为函数 f(x)零点的个数. 例 2 已知函数 f(x)=x-4+,x∈(0,4) ,当 x=a 时,f(x)取得最小值 b,则函数 g(x)=x+b 的图象为 . 解析: f(x)=x-4+=(x+1)+-5≥2-5=1,当且仅当 x+1=时函数 f(x)取到最小 值 1,即(x+1)2=9. 因为 x∈(0,4) ,故 x=2.由题意可知:a=2,b=1,故 g(x)=x+1, 其图象可由函数 y=x 的图象先进行翻折变换得到函数 y=x 的图象,然后再将所得图象向左 平移 1 个单位后得到,所以答案为 B. 点评: 根据均值不等式及其取等条件求得 a,b 的值,再根据函数图象变换得出函数 g (x)的图象. 转化为分段函数,进行分类讨论 一般地,对于 y=f(x)和 y=f(x)这两种最典型的含绝对值的函数,可根据 f(x)或 x 取值的正负分类,得到分段函数:y=f(x)= f(x) ,f(x)≥0,-f(x) ,f(x)<0 和 y=f (x)= f(x) ,x≥0, f(-x) ,x<0. 对于含有 x-a 的绝对值函数,可先根据 x≤a 和 x>a 进行分类,再结合函数的图象求解. 对于含参数的问题,还要对参数进行分类讨论. 例 3 函数 f(x)=2log2x-x-的大致图象为 . 解析: 函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,其中 1 是 log2x 和 x-的零点,所以可先根 据零点将 f(x)转化为分段函数: 当0 当 x>1 时, f(x)=2log2x-x-=. 即: f(x)=,x>1,x,0 点评:例 3 中虽有两个绝对值符号,但它们有共同的零点 x=1,故可根据 01 这两种情 况,将函数 f(x)转化为分段函数进行求解. 例 4 函数 y=的图象与函数 y=kx-2 的图象恰好有两个交点,则实数 k 的取值范围是 . 解析: 函数 y==(x≠1) ,其中 x2-1 的零点为:x=± 1. 当 x>1 时,y=x+1;当-1≤x<1 时,y=-x-1;当 x<-1 时,y=x+1.故函数 y=x+1,x>1,-x-1, -1≤x<1x+1,x<-1., 函数 y=kx-2 的图象为恒

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