2012-2013年镇江市高一数学期末试卷


2012-2013 学年度镇江市高一期末试卷―――数学
一、填空题: 1.设全集 U ? {1, 2,3, 4}, A ? {1,3}, B ? {1, 4}, CU ( A ? B) =________________ 2. 已知幂函数 y ? x? 的图象过点 2,2) ,则 f (4) =_________________ ( 3. 求值: lg 3 2 ? lg 3 5 =_______________ 4. 设 f ( x) ? ?

?2e x ?1 , x?2 ? ,则 f ( f (2)) =_______________ 2 ?log3 ( x ? 1), x ? 2 ?

5. 已知扇形的周长是 8cm,圆心角是 2rad,则该扇形的面积是_______________ 6. 函数 f ( x) ? 9 x ? 3 x ?1 ? 4 的定义域为____________________ 7.把函数 f ( x ) ? cos(2x ?

?
4

) 的图象向右平移

? 个单位后得到的图象对应的解析式 g ( x) 4

=____________________ 8. 计算: cos4 75? ? sin 4 75? =______________ 9. 函数 y ? sin x ? 3 cos x 在 [0,? ] 上的减区间为______________________ 10. 已知 sin ? ? cos ? ? ? (0 ? ? ? ? ) ,则 tan ? =___________________ 11. 比较大小: cos 2013? _______________ sin 2013? 12. 请在括号内填写一个整数,使得等式 用(〈”或“>”连接) “

1 5

(*) 3 ? ? 4 成立,这个整数是______ sin 50? cos 50?

13. 方程 log 2 ( x ? 8) ?

x 的所有根的和为______________ 2
2 ? 8 , f (?3 2 若 2) 0 1 2 ?1
x

14. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? 二、解答题:

则 (3 ? , f 2) 0 1

=______________

15.(本题满分 14 分)已知在直角坐标系 xOy 中,角的始边为 x 轴正半轴,已知 ? , ? 均为 锐角,且角 ? 和 ? ? ? 的终边与单位圆交点横坐标分别为 (1)求 tan ? 的值; (2)求角 ? 终边与单位圆交点的纵坐标.

4 5 和 . 5 13

16. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? log 2 (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 x ? [1, 4] 时,求 f ( x ) 的值域.

x ?log 2 2 x . 4

17. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? cos x ( x ?[? , 2? ]) . (1)判断函数 f ( x ) 的单调性,并求函数 f ( x ) 的值域; (2)证明方程 f ( x) ? x ? ? 在 [? , 2? ] 上必有一根.

18. (本题满分 16 分)如图,A、B、C、H 四个小朋友在草坪上游戏,根据游戏规则,A、B、 C 三人围成一个三角形,B、H、C 三人共线,H 在 B、C 两人之间.B、C 两人相距 20m,A、H 两人相距 hm,AH 与 BC 垂直. (1)当 h=10 时,求 A 看 B、C 两人视角的最大值; (2)当 A 在某位置时,此时 B 看 A、C 视角是 C 看 A、B 视角的 2 倍,求 h 的取值范围.

A

B

H

C

19. ( 本 小 题 满 分

16

分 )

已 知 ? ? ( 0 , x ?)R , , 函 数

?

2

f ( x) ? sin 2 ( x ? ? ) ? sin 2 ( x ? ? ) ? sin 2 x .
(1)求函数 f ( x ) 的奇偶性;

(2)是否存在常数 ? ,使得对任意实数 x, f ( x) ? f ( 有这样的 ? ;如果不存在,请说明理由.

?
2

? x) 恒成立;如果存在,求出所

20.(本小题满分 16 分) 已知 a, x ? R ,函数 f ( x) ? sin 2 x ? (2 2 ? 2a) sin( x ?

?
4

)?

2 2

cos( x ? ) 4

?



i n c o (1) t ? s x ?s 设
(2)对任意 x ? [0,

x , 把函数 f ( x ) 表示为关于 t 的函数 g (t ) , g (t ) 表达式和定义域; 求

?
2

] ,函数 f ( x) ? ?3 ? 2a 恒成立,求 a 的取值范围.

高一数学期末检测答案及评分标准
一、填空题(每题 5 分) 1 2 1. ?2? 2. 2 3. 4. 25.4cm 3
6. ?log3 4,??? 7. cos? 2 x ? 11. ? 12. 1 13. 4 14. 12 二、解答题 15. 解: (1)由题意可得 cos ? ? ,??2 分 cos ?? ? ? ? ?

? ?

??

3 3 ?? ? 9. ? , ? ? 10. ? ? 8. ? 4 2 4? ?6 ?

4 5

5 ,?? 4 分 13

? ?? ? ? ? ? 0, ? , ? 2?
? tan ? ?

3 ? sin ? ? 1 ? cos2 ? ? ,??6 分 5

sin ? 3 ? .?? 7 分 cos ? 4

(2)?0 ? ? ? ? ? ? , ?sin(? ? ? ) ?

12 ,?? 9 分 13

sin? ? sin ??? ? ? ? ? ? ??? 11 分 ? ?
= sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ??13 分 =

12 4 5 3 33 ? ? ? ? .?? 14 分 13 5 13 5 65

【说明】本题来源于必修四第 112 页第 4 题改编.考查任意角的三角函数的定义、同角三角 函数基本关系、和差角公式;考查角的变换能力.

16.解: (1) f ?x ? ? (log2 x ? 2) ? ?log2 x ? 1?????2 分 令 log2 x ? t, ? f ? x ? ? g ? t ? ? ?t ? 2 ? ? ?t ? 1? . 由 f ( x ) ? 0 ,可得 ?t ? 2??t ? 1? ? 0 ? t ? 2 或 t ? ?1 , ??4 分

?log2 x ? 2, ? x ? 4 ,??5 分或 log2 x ? ?1, ?0 ? x ?

1 .??6 分 2

? 1? ? 不等式的解集是 ? 0, ? ? ?4,??? .??7 分 ? 2?

9 ? 1? (2)? x ??1,4? , ?t ? ?0,2? , ??8 分? f ?x ? ? g ?t ? ? ? t ? ? ? ,??9 分 4 ? 2?
9 ?1? f min ( x ) ? g ? ? ? ? ,??11 分 f max (x) ? g ?2 ? ?0 ,??13 分 4 ?2?

2

? 9 ? ? f ( x ) 的值域是 ?? ,0? .??14 分 ? 4 ?
【说明】本题考查对数的运算、对数函数的性质、简单的对数不等式;考查一元二次不等式 解法、二次函数性质;考查换元法和整体思想.

17. 解: (1) ?? ,2? ? 内 f1 ?x ? ? ln x 是增函数, f 2 ?x ? ? cos x 也是增函数,??2 分

? f ( x ) ? ln x ? cos x 在 ?? ,2? ? 内是增函数.??3 分
? f min ( x) ? f ?? ? ? ln ? ? 1 ? ln

?
e

,??4 分

f max ( x) ? f ? 2? ? ? ln2? ? 1 ? ln2? e ,??5 分

? ? ? ? 函数 f ( x ) 的值域是 ?ln , ln 2?e? .??6 分 ? e ?
(2)设 g ?x ? ? f ?x ? ? x ? ? ? ln x ? cos x ? x ? ? ,??8 分 由 g ?? ? ? ln ? ? 1 ? ln e ? 1 ? 0 ,??10 分

g ?2? ? ? ln 2? ? 1 ? ? ? ln e 2 ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 0 ,??12 分

? g ?? ? ? g ?2? ? ? 0 ,??13 分 ? 方程 f ( x ) ? x ? ? 在 ?? ,2? ? 必有一根.??14 分
【说明】考查函数单调性的判断和应用;考查零点判定;考查数据估算能力.

18.解: (1)设 CH ? x, ? BH ? 20 ? x , x ? ? 0,20? [注:如果讨论 x ? 0,20 不扣分]

20 ? x x , tan ?CAH ? ,??2 分 10 10 20 ? x x 1? 当 1 ? ? ? 0 ,即 x ? 10 时,此时 ?BAH ? ?CAH ? 45? . 10 10 tan ?BAH ?
??BAC ? 90? .??4 分

2? 当1?

20 ? x x ? ? 0 ,即 x ? 10 时,??5 分 10 10

20 ? x x ? 10 = 200 ? 0 tan ?BAC ? tan ? ?BAH ? ?CAH ? ? 10 20 ? x x ?x ? 10?2 1? ? 10 10

?0? ? ?BAC ? 180? , ??BAC ? 90? .??7 分
综上: AH ? BH ? 10 时,最大视角是 90? .??8 分

(2)? tan ?ABH ?

h h ; tan ?ACH ? ,??10 分 20 ? x x

?ABH ? 2?ACH , ? tan ?ABH ? tan 2?ACH ,

h ? ? 20 ? x

h x ? h 2 ? 3x 2 ? 80 x ? 400 ? ? 3x ? 20 ?? x ? 20 ? ,??13 分 2 h? ? 1? ? ? ? x? 2?

? x ? ?0,20? 时, h2 ? (0,400) ,??15 分? h ? (0,20) .??16 分
【说明】本题根据必修四课本 P (4) 改编.考查两角和与差公式;考查分类讨论思想;考查 117 阅读理解能力、建模能力、数学化能力、运算能力和应用数学解决问题的能力.

19. (法一)解: (1)定义域是 x ?R,??1 分

f (? x) ? sin2 ? ? x ? ? ? ? sin2 ? ? x ? ? ? ? sin2 (? x) ??2 分 ? sin2 ? x ? ? ? ? sin2 ? x ? ? ? ? sin2 x ? f ( x) ,??4 分
∴函数 f ( x ) 是偶函数.??5 分 (2)? f ( x) ? f (

?
2

? x) ,

?sin2 ? x ? ? ? ? sin2 ? x ? ? ? ? sin2 x ? cos2 ? x ? ? ? ? cos2 ? x ? ? ? ? cos2 x ,??7 分
移项得: cos?2 x ? 2? ? ? cos?2 x ? 2? ? ? cos2 x ? 0 ,??9 分 展开得: cos2 x?2 cos2? ? 1? ? 0 ,??12 分 对于任意实数 x 上式恒成立,只有 cos 2? ?

6 1 ? cos ?2 x ? 2? ? 1 ? cos ?2 x ? 2? ? 1 ? cos 2 x ? ? (法二) f ? x ? ? ??3 分 2 2 2 1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? ? .??5 分 2

? 0 ? 2? ? ? ,??15 分∴ ? ?

?

1 .??14 分 2

.??16 分

(1) 定义域是 x ?R,??6 分 1 ? cos( ?2 x ) ? 2cos 2? ? 1? 1 ? cos 2 x ? 2cos 2? ? 1? ? ? f ? x ? ,??9 分 ∵ f ??x? ? 2 2 ∴该函数在定义域内是偶函数.??10 分 (2)由 f ( x) ? f (

?
2

? x) 恒成立,

?? ? 1 ? cos 2? ? x ??2 cos 2? ? 1? ?2 cos 2? ? 1? ? 1 ? cos 2 x ?2 ? ∴ , 2 2


1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? 1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? ? ,??12 分 2 2

化简可得: cos2 x?2 cos2? ? 1? ? 0 对于任意实数 x 上式恒成立,??13 分 只有 cos 2? ?

1 ,??14 分 2

? 0 ? 2? ? ? ,??15 分∴ ? ?

?
6

.??16 分

【说明】本题来源于必修四课本第 121 页例 3.考查三角变形公式和函数奇偶性的判定;考查 恒成立问题.本题也可用特殊与一般思想探求出 ? ?

?
6

.

20. 解: (1)∵ t ? sin x ? cos x ?

?? ? 2 sin? x ? ? ? ? 2 , 2 ,??2 分 4? ?

?

?

? sin x cos x ?

t2 ?1 .??3 分 2

∵ f ? x ? ? 2 sin x cos x ? ?2 ? a ??sin x ? cos x ? ?
2 ∴ f ? x ? ? g ?t ? ? t ? ?2 ? a ?t ?

4 .??4 分 sin x ? cos x

4 ? 1 ,??6 分定义域: ? ? 2,0 ? 0, 2 ? ,??7 分 ? ? t

? ?

(2)? x ? ?0,

?? ? ?? ? ? ,? t ? sin x ? cos x ? 2 sin? x ? 4 ? ? 1, 2 ,??9 分 ? 2? ? ?
4 ? 1 ? ?3 ? 2a 恒成立 , t

?

?

2 ∵函数 f ( x ) ? ?3 ? 2a 恒成立,∴ t ? ?2 ? a ?t ? 2 得: t ? 2t ?

4 ? 2 ? ?t ? 2 ?a ,??11 分 t

2 ? t ? 2 ? 0 ,??12 分? a ? t ? 2t ? 4 ? 2t ? t ? 2 ? p?t ? ,??13 分 t ? 2 t ?t ? 2? t

设 1 ? t1 ? t 2 ?

2,

∵ p?t 2 ? ? p?t1 ? ? ?t 2 ? t1 ?? ?

? t1t 2 ? 2 ? ? ? 0 ,??14 分 t1t 2 ? ? ?

∴函数 p?t ? 在 ?1, 2 ? 上是递减函数,??15 分?a ? pmax ( x) ? p ?1? ? 3 .??16 分 ? ? 【说明】本题考查考查同角正弦函数和余弦函数的基本关系、函数单调性的证明和应用;考 查恒成立问题的处理方法;考查整体思想和换元法;考查运算变形能力.


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