吉林省长春市普通高中2015届高三质量监测(二)数学(文)试题带详细解答


吉林省长春市普通高中 2015 届高三质量监测(二) 数 学(文 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. )

? x ?1 ? 1、已知集合 ? ? ? x x ? 0? , Q ? ? x ? 0? ,则 ? Q ? ( ? x?2 ?
A.? ??,2? 2、复数 B.? ??, ?1? ) C.第三象限 C.?0, ???

) D.? 2, ???

1? i 对应的点位于( 2?i

A.第一象限

B.第二象限

D.第四象限 )
2 D. 3

? 1? 3、在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个实数 x ,使得 sin x ? ?0, ? 的概率为( ? 2?
1 A. ? 2 B. ? 1 C. 3

4、已知函数 f ? x ? ? x ? a 在 ? ??, ?1? 上是单调函数,则 a 的取值范围是( A.? ??,1? B.? ??, ?1? C.? ?1, ??? )



D.?1, ?? ?

? y ? ?x ?1 ? 5、若 x , y 满足约束条件 ? y ? x ? 1 ,则 3x ? 5 y 的取值范围是( ?y ? 0 ?

A.? ?5,3?

B.?3,5?

C.? ?3,3?

D.? ?3,5?

6、 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积 为( A. C.
16 3 15 2

) B. D.
20 3 13 2

b 满足 a ? 3 ,b ? 2 , a ? b ? ?3 , 7、 已知平面向量 a ,
则 a ? 2b ? ( )
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A.1

B. 7

C. 4 ? 3

D.2 7

8、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1 号到 16 号同学的成绩依 次为 ?1 、 ?2 、?????? 、 ?16 ,右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算 法流程图,那么该算法流程图输出的结果是( A. 6 B. 10 ) C. 91 D. 92

9 、已知函数 f ? x ? ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ,若其图象是由 y ? sin 2 x 图象向左平移 ? 2 2

( ? ? 0 )个单位得到,则 ? 的最小值为(



? A. 6
则 m ? n 的最小值是( A. 2 ? 2

5? B. 6

? C. 12
2 2

5? D. 12

10、设 m , n ? R ? ,若直线 ? m ?1? x ? ? n ?1? y ? 2 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 相切, ) B. 2 ? 2 2 C. 4 ? 2 D. 4 ? 2 2 )

11、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , ?Sn ? nan ? 为常数列,则 an ? (
1 A. n ?1 3

2 B. n ? n ? 1?

C.

? n ? 1?? n ? 2 ?

6

5 ? 2n D. 3

12、若 F ? c,0 ? 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点,过 F 作该双曲线一条渐 a 2 b2 12 a 2 , 7

近线的垂线与两条渐近线交于 ? , ? 两点, ? 为坐标原点, ???? 的面积为
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则该双曲线的离心率 e ? ( A.

) D.
8 5

5 4 5 B. C. 3 3 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

13、若函数 f ? x ? ?

ln x ,则 f ? ? 2? ? x



14、过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点作倾斜角为 45 的直线 l 交抛物线于 ? , ? 两点, ? 为 坐标原点,则 ???? 的面积为 .

15、若三棱锥 ? ? ?? C 的三条侧棱 ?? , ?? , ? C 两两互相垂直且长都相等,其外 接球半径为 2 ,则三棱锥的表面积为 .

? 2 3 ?? x ? x ? 5, 0 ? x ? 1 16、已知函数 f ? x ? 为偶函数且 f ? x ? ? f ? x ? 4? ,又 f ? x ? ? ? , 2 ?2 x ? 2? x ,1 ? x ? 2 ?

?1? 函数 g ? x ? ? ? ? ? a ,若 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 恰好有 2 个零点,则 a ? ?2?

x



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 17、 (本小题满分 12 分)在 ??? C 中, tan ? ? 2 , tan ? ? 3 . ?1? 求角 C 的值;

? 2 ? 设 ?? ?

2 ,求 ? C .

18、 (本小题满分 12 分)根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的 1000 位上网购物者的年龄情况如下图显示. ?1? 已知 ?30, 40? 、 ?40,50? 、 ?50,60? 三个年 龄段的上网购物者人数成等差数列,求 a , b 的值; ? 2 ? 该电子商务平台将年龄在 ?30, 50? 之间 的人群定义为高消费人群, 其他的年龄段定 义为潜在消费人群, 为了鼓励潜在消费人群 的消费,该平台决定发放代金券,高消费人
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群每人发放 50 元的代金券,潜在消费人群每人发放 100 元的代金券,现采用分层 抽样的方式从参与调查的 1000 位上网购物者中抽取 5 人, 并在这 5 人中随机抽取 3 人进行回访,求此三人获得代金券总和为 200 元的概率.

19 、 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 ? ? ??CD 中, ?? ? 平面 ?? CD ,
?? ? ?? ? ?D ? 2 ,四边形 ?? ? ?D , ?C//?D 且 ?C ? 4 ,点 ? 为 ? C 中点.

?1? 求证:平面 ?D? ? 平面 ?? C ; ? 2 ? 求点 ? 到平面 ?D? 的距离.

20、 (本小题满分 12 分)在 ??? C 中,顶点 ? ? ?1,0? , C ?1,0 ? , G 、 ? 分别是 ??? C 的重心和内心,且 ?G// ?C . ?1? 求顶点 ? 的轨迹 ? 的方程;

? 2 ? 过点 C 的直线交曲线 ? 于 ? 、Q 两点,? 是直线 x ? 4 上一点,设直线 C? 、?? 、
Q? 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,求证: 2k1 ? k2 ? k3 .

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? a ln x ( a ? R ) .

?1? 若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;
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x3 5 x 2 11 ? ? 4x ? ; 3 2 6 ? 3? 当 x ??e, ??? 时, f ? x? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

? 2 ? 在 ?1? 的条件下,求证: f ? x ? ? ?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过点 ? 作圆 ? 的割线 ??? 与切线 ?? , ? 为切点,连 ???? 的平分线与 ?? , D, 接 ?? , ?? , ?? 分别交于点 C , 其中 ???? ? 30 . ?D ?? ?D ?1? 求证: ?D ? ?? ? ?C ; ? 2 ? 求 ??C? 的大小.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? ? x ? 2 ? 2t 在直角坐标系 x?y 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以原点 ? 为 y ? ? 1 ? 2 t ? ? 极 点 , 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 2 ?? . 1 ? 3sin 2 ? ?1? 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;

? 2 ? 试判断曲线 C1 与 C2 是否存在两个交点,若存在,求出两交点间的距离;若不存
在,说明理由.

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24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? 2x ? a ? a , x ? R .

?1? 当 a ? 3 时,求不等式 f ? x? ? 7 的解集; ? 2 ? 对任意 x ? R 恒有 f ? x ? ? 3 ,求实数 a 的取值范围.

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长春市普通高中 2015 届高三质量监测(二)

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.D 2.D 3.C 4.A 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.C 简答与提示: 1. 【命题意图】本题主要考查集合交集的运算,属于基础题. 【试题解析】D 由题意可知 Q ? {x | x ≤ ?1 或 x ? 2} ,所以 P Q ? {x | x ? 2} . 故选 D. 2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算,以及复平面上的点与复数的关系,属于基础题. 【试题解析】D 3.

1? i 3 1 ? ? i . 故选 D. 2?i 5 5
在区间 [0, ? ] 上,当 x ? [0,

【命题意图】本题考查解三角函数与几何概型等知识,属于基础题. 【试题解析】C

?

6

] [

5? 1 , ? ] 时, sin x ? [0, ] ,由几何概 6 2

4. 5.

1 型知,符合条件的概率为 .故选 C. 3 【命题意图】本题考查含有一个绝对值的函数的单调区间问题,属于简单题. 【试题解析】A 函数 f ( x) 在 (??, ?a) 上是单调函数,所以 ?a ? ?1 ,解得 a ? 1 .故选 A. 【命题意图】本题主要考查线性规划,是书中的原题改编,要求学生有一定的运算能力. 【试题解析】D 由题意可知, 3 x ? 5 y 在 (?1, 0) 处取得最小值,在 (0,1) 处取得最大值,

6.

即 3 x ? 5 y ? [?3,5] . 故选 D. 【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法,对学生运算求解能力有 一定要求. 【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥,所以其体积为 8 ?

4 1 13 ? ? . 3 6 2

7.

故选 D. 【命题意图】本题考查向量模的运算.
2 2

【试题解析】B | a ? 2b |? a ? 4a ? b ? 4b ? 7 . 故选 B. 8. 【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识,通过统计学知识考查程序流程图的认识,是 一道综合题. 【试题解析】B 由算法流程图可知, 其统计的是数学成绩大于等于 90 的人数, 所以由茎 叶图知:数学成绩大于等于 90 的人数为 10,因此输出结果为 10. 故选 B. 9. 【命题意图】本题主要考查学生对三角函数图像的掌握情况,属于基础题. ? 【试题解析】C f ( x) ? sin(2 x ? ) ,函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位后的 6 ? ? 解析式为 y ? sin(2 x ? 2? ) ,从而 ? ? ? k? (k ? N) ,有 ? 的最小值为 . 故选 C. 12 12 10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离,属于中档题. 【试题解析】B 由直线与圆相切可知 | m ? n |?

(m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ,整理得 m?n?2 2 (m ? 1)(n ? 1) ? 2 ,由 2 ? (m ? 1)(n ? 1) ? ( ) 可知 m ? n ? 2 ? 2 2 . 故选 B. 2

11. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题,属于较难题.
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【试题解析】B 由题意知, Sn ? nan ? 2 ,当 n ? 2 时, (n ? 1)an ? (n ? 1)an ?1 , 从而
an ?
a2 a3 a4 ? ? ? a1 a2 a3 an 1 2 ? ? ? an ?1 3 4

2 n ?1 , 有 an ? , 当 n ?1 时 上 式 成 立 , 所 以 n(n ? 1) n ?1

2 . 故选 B. n(n ? 1) 12. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,结合着较大的运算量,属于难题.

【试题解析】C 由题可知,过 I、III 象限的渐近线的倾斜角为 ? ,则 tan ? ?

b , a 1 a 3b 12a 2 2ab , 因此△ OAB 的面积可以表示为 ? a ? a tan 2? ? 2 , 解得 ? tan 2? ? 2 2 a ? b2 7 a ? b2 b 3 5 ? ,则 e ? . 故选 C. a 4 4

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 ? ln 2 4

14. 2 2

15. 8 ?

8 3 3

16. 2

简答与提示: 13. 【命题意图】本题考查导数的运算. 1 ? ln x 1 ? ln 2 【试题解析】由 f ?( x) ? ,得 f ?(2) ? . x2 4 14. 【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查考生的基本运算能力. ? y ? x ?1 【试题解析】抛物线焦点为 (1, 0) ,直线方程为 y ? x ? 1 ,与抛物线方程联立 ? 2 得两 ? y ? 4x 交点纵坐标差的绝对值为 4 2 ,从而△ OAB 的面积为 2 2 . 15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题,本题通过求球的截面面积,对考生的 空间想象能力及运算求解能力进行考查,具有一定的难度.
4 3 8 3 , 从而三棱锥的表面积为 8 ? . 3 3 16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题,需要学生对图像 进行理解,对学生的能力提出很高要求,属于难题. 【试题解析】由题意可知 f ( x) 是周期为 4 的偶函数,对称轴为直线 x ? 2 . 若 F ( x) 恰有 2

【试题解析】 由三棱锥的外接球半径为 2, 可知 PA ?

个零点,有 g (1) ? f (1) ,解得 a ? 2 . 三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式,以及同角三角函数的应用,并借助正弦 定理考查边角关系的运算,对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) (3 分) A+B ? C ? ? ,? tan C ? ? tan( A ? B)
tan A ? 2, tan B ? 3,? tan C ? 1,? C ?

?
4

(6 分)

(2)因为 tan B ? 3 ?

sin B ? 3 ? sin B ? 3cos B ,而 sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ,且 B 为锐角,可求得 cos B
第 8 页 共 11 页

sin B ?

3 10 . 10 AB 3 10 . ? sin B ? sin C 5

(9 分) (12 分)

所以在△ ABC 中,由正弦定理得, AC ? 18.

(本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识.本题主要考查数据处理能力. 【试题解析】(1)由图可知 a ? 0.035 , b ? 0.025 . (4 分) (2) 利用分层抽样从样本中抽取 5 人,其中属于高消费人群的为 3 人,属于潜在消费人群 的为 2 人. (6 分) 令高消费的人为 A, B, C ,潜在消费的人为 a, b ,从中取出三人, 总共有: ABC , ABa, ABb, ACa, ACb, BCa, BCb, Aab, Bab, Cab, 10 种情况, (8 分) 其中 ABa, ABb, ACa, ACb, BCa, BCb 为获得代金卷总和为 200 元的情况,(10 分) 因此,三人获得代金券总和为 200 元的概率为

3 . 5

(12 分)

19.

(本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查立体几何的相关知识, 具体涉及到线面以及面面的垂直关系、 点到平面的距离等问题. 【试题解析】解:(1) 取 PB 中点 N ,连结 MN 、 AN

1 BC ? 2 , 2 又 BC // AD ,? MN // AD, MN ? AD ,? 四边形 ADMN 为平行四边形 AP ? AD, AB ? AD ,? AD ? 平面 PAB ,? AD ? AN ,? AN ? MN AP ? AB ,? AN ? PB ,? AN ? 平面 PBC , AN ? 平面 ADM ,? 平面 ADM ? 平面 PBC . (6 分) (2)由(1)知, PN ? AN , PN ? AD , 所以 PN ? 平面 ADM ,即点 P 到平面 ADM 的距离为 PN , 1 在 Rt △ PAB 中,由 PA ? AB ? 2 ,得 PB ? 2 2 ,所以 PN ? PB ? 2 . (12 分) 2
M 是 PC 中点,? MN // BC , MN ?
20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求 法,椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运 算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解:(1) 已知 S ?ABC ?

1 1 (| AB | ? | AC | ? | BC |) ? r ? | BC | ? | y A | ,且 2 2 | BC |? 2 , | y A |? 3r ,其中 r 为内切圆半径,化简得:| AB | ? | AC |? 4 ,顶点 A 的轨迹是

以 B、C 为焦点,4 为长轴长的椭圆(去掉长轴端点) ,其中 a ? 2, c ? 1, b ? 3

x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0) . 进而其方程为 (5 分) 4 3 (2) 证明:当直线 PQ 斜率存在时,设直线 PQ : y ? k ( x ? 1) 且 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) , H (4, m)
第 9 页 共 11 页

? x2 y 2 8k 2 4k 2 ? 12 ?1 ? ? 联立 ? 4 可得 , . x ? x ? x x ? 3 1 2 1 2 2 2 3 ? 4 k 3 ? 4 k ? y ? k ( x ? 1) ? y ?m y ?m m 由题意: k1 ? , k2 ? 1 , k3 ? 2 . 3 x1 ? 4 x2 ? 4 ( y ? m)( x1 ? 4) ? ( y2 ? m)( x1 ? 4) k 2 ? k3 ? 1 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

(8 分)

8m ? 8k ? 2kx1 x2 ? (m ? 5k )( x1 ? x2 ) 24mk 2 ? 24m 2m ? ? ? 2k1 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 36k 2 ? 36 3 3 3 m? m? 3 3 2? 2 ? 2m ? 2k 当直线 PQ 斜率不存在时, P (1, ), Q (1, ? ) , k2 ? k3 ? 1 3 3 3 2 2 综上可得 2k1 ? k2 ? k3 . (12 分) ?
21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述原函 数的单调性、极值的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求. a 【试题解析】解: (1) f ?( x) ? 2 x ? a ? ,由题意可得 f ?(1) ? 0 ,解得 a ? 1 x 经检验, a ? 1 时 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 a ? 1 (3 分) (2)证明:由(1)知, f ( x) ? x 2 ? x ? ln x 令 g ( x) ? f ( x) ? (?

x3 5 x 2 11 x3 3x 2 11 ? ? 4x ? ) ? ? ? 3x ? ln x ? 3 2 6 3 2 6

1 x3 ? 1 ( x ? 1)3 ? ? 3( x ? 1) ? ( x ? 0) , x x x 可知 g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数
由 g ?( x) ? x 2 ? 3x ? 3 ? 所以 g ( x) ? g (1) ? 0 ,所以 f ( x) ? ? (3)由 x ? [e, ??) 知, x ? ln x ? 0 所以 f ( x) ? 0 恒成立等价于 a ? 令 h( x ) ?

x3 5 x 2 11 ? ? 4 x ? 成立 3 2 6

(8 分)

x2 在 x ? [e, ??) 时恒成立 x ? ln x

x2 x( x ? 1 ? 2ln x) ?0, , x ? [e, ??) ,有 h?( x) ? ( x ? ln x) 2 x ? ln x e2 e2 ,所以 a ? . e ?1 e ?1
(12 分) 相

所以 h( x) 在 [e, ??) 上是增函数,有 h( x) ? h(e) ?

22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到弦切角定理以及三角形 似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力. 【试题解析】解:(1) 由题意可知, ?EPC ? ?APC , ?PEB ? ?PAC ,
第 10 页 共 11 页

PE PD PE ED ED PB PD ,又 ,则 . (5 分) ? ? ? ? PA PC PB BD BD PA PC (2) 由 ?EPC ? ?APC , ?PEB ? ?PAC ,可得 ?CDE ? ?ECD , 在△ ECD 中, ?CED ? 30 ,可知 ?PCE ? 75 . (10 分)
则△ PED ∽△ PAC ,则 23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与 平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等 内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解:(1) 对于曲线 C1 有 x ? y ? 1 ,对于曲线 C2 有

x2 ? y 2 ? 1 .(5 分) 4

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (2) 显然曲线 C1 : 则其参数方程可写为 (为参数) 与曲线 C2 : x ? y ? 1 为直线, ? 2 ? y ? ?1 ? t ? ? 2

x2 ? y 2 ? 1 联立,可知 ? ? 0 ,所以 C1 与 C2 存在两个交点, 4 12 2 8 2 8 由 t1 ? t2 ? , t1t2 ? ,得 d ?| t2 ? t1 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? . 5 5 5

(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及绝对值不等式及不等式证明等 内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.

1 ? ?7 ? 4 x, x ? 2 ? 3 ? 1 【试题解析】解:(1)当 a ? 3 时, f ? x ? ? ?5, ? x ? 2 ? 2 3 ? ?4 x ? 1, x ? 2 ?
所以 f ? x ? ? 7 的解集为 x x ? 0或x ? 2

?

?

(5 分)

(2) f ? x ? ? 2x ?1 ? a ? 2x ? a ? 2x ?1? a ? 2x ? a ? a ?1 ? a 由 f ? x ? ? 3 恒成立,有 a ?1 ? a ? 3 ,解得 a ? 2 所以 a 的取值范围是 ?2, ??? (10 分)

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