8.3两条直线的位置关系习题课


第 17—18 课时
教学题目:§8.3 两条直线的位置关系——习题课 教学目标: 1、会求两条直线的交点坐标; 2、了解两条直线的夹角的概念及范围; 3、理解两条直线垂直的概念; 4、掌握两条直线垂直的条件; 5、会应用两条直线垂直的条件解答相关问题. 教学内容: 1、根据两条直线的方程,求两条直线的交点坐标; 2、两条直线的夹角的概念; 3、两条直线垂直的概念; 4、两条直线垂直的条件; 5、应用两条直线垂直的条件解答相关问题. 教学重点:应用两条直线垂直的条件解答相关问题. 教学难点:应用两条直线垂直的条件解答相关问题. 教学方法:讲授法、练习法. 教学过程: 一、知识点梳理 (一) 、直线平行 1、直线平行的条件; 2、运用直线平行的条件解答相关问题(判断两条直线是否平行,能运用条件确定两平 行直线的方程系数). 直线 l1 的方程为: A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 ,直线 l2 的方程为: A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0

? A1B1C1 ? 0, A2 B2C2 ? 0?
l1 / /l2 ?





A1 B1 C1 ? ? ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 A2 B2 C2




l1



l2





?

A1 B1 C1 ? ? ? A1 ? ? A2 , B1 ? ? B2 , C1 ? ?C2 A2 B2 C2 A1 B1 ? ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 . A2 B2

l1



l2





?

(适用于 A l1 / /l2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 ; 1、B 1、C1、A 2、B2、C2 取任 意值的情况) (适用于 A l1 与 l2 重合 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 ; 1、B 1、C1、A 2、B2、C2 取任意值的情况) (适用于 A . l1 与 l2 相交 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 1、B 1、C1、A 2、B2、C2 取任意值的情况)

(二) 、直线相交 1、两条直线的交点坐标:解两条直线的方程所组成的方程组,就可以得到两条直线交 点的坐标. 2、 两条直线的夹角: 两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角, 记作 ? . 两 条直线的夹角的范围 ? ? ?0,900 ? . ? ? (三) 、两条直线垂直的条件: 1、如果直线 l1 与直线 l2 的斜率都存在且不等于 0,那么 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 2、斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直. 两条直线的方程分别为 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,则直线 l1 ? l2 的充要条件是: A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 . 二、典型例题讲解 题型 1、判断或证明直线的平行关系 例 1、已知直线 l1 : 3x ? 6 y ? 10 ? 0 , l2 : x ? ?2 y ? 5 ,求证: l1 / / l2 . 证法一: 把 l1 与 l2 的方程写成斜截式 y ? ?

1 5 1 5 x ? ,y ? ? x ? , k1 ? k2 , b1 ? b2 , 2 3 2 2

? l1 / / l2 .
证 法 二 : 把
l2

















x ? 2y ? 5 ? 0



A1B2 ? A2 B1 ? 3 ? 2 ? 1? 6 ? 0 ? B1C2 ? B2C1 ? 6 ? ? ?5? ? 2 ?10 ? 0 ?

A1 3 B1 6 ? ? ? A2 1 B2 2



B1 6 C1 10 , ? l1 / / l2 . ? ? ? B2 2 C2 ?5

例 2、已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 ,l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ,试确定 m 、 n 的值,使 l1 / / l2 . 分析: l1 / /l2 ? A 1B2 ? A 2B 1 ? 0, C1B2 ? C2 B 1 ? 0. 解:
l1 / / l2 ,?

m 8 n m 8 8 n ? ? ,? 由 ? 得 m ? ?4 ,由 ? 得, 2 m 1 2 m m 1

m ? ?4 ,

? n ? ?2 ,
即 m ? 4 , n ? ?2 或 m ? ?4 , n ? ?2 时 l1 / / l2 . 题型 2.根据平行或垂直条件求直线方程 例3、求直线 l 的方程: (1)过点 P ? 2, ?1? 且与直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 平行; (2)过点 P ? 2, ?1? 且与直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 垂直.

解: (1)设直线 l 的斜率为 k ,直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 为 l1 ,斜率为 k1 . 直线 l1 方程为: 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,? 直线 l1 的斜率 k1 ? ?

3 3 ? , ?2 2

l / /l1 ,

? k ? k1 ? ,
直线 l 过点 P ? 2, ?1? ,? 直线 l 的方程为: y ? ? ?1? ?

3 2

3 0 . ? x ? 2 ? ,即 3x ?2 y ?8 ? 2

另解为:因已知直线与所求直线平行,故所求直线可设为 3x ? 2 y ? C ? 0 ,由点

P ? 2, ?1? 在直线上解得 C ? ?8 ,故所求直线方程为 3x ? 2 y ? 8 ? 0 .
(2)设直线 l 的斜率为 k ,直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 为 l1 ,斜率为 k1 . 直线 l1 方程为: 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,? 直线 l1 的斜率 k1 ? ?

3 3 ? , ?2 2

l ? l1 ,

? k.k1 ? k ? ?1 ,? k ? ? ,
直线 l 过点 P ? 2, ?1? , ? 直线 l 的方程为:y ? ? ?1? ? ?

3 2

2 3

2 3 y1 ? 0 ? . 即 2x ? ? x ? 2? , 3

另解为:因已知直线与所求直线垂直,故所求直线可设为 2 x ? 3 y ? C ? 0 ,由点

P ? 2, ?1? 在直线上解得 C ? ?1 ,故所求直线方程为 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 .
题型 3.求直线交点 例4.求下列两直线的交点: l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 . 解:解方程组 ?

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? x ? ?2 得? ,所以两直线的交点是 ? ?2, 2 ? . ? 2x ? y ? 2 ? 0 ? y ? 2

题型 4.已知直线的位置关系,求参数值
2 例 5. 直线 l1 : ? m ? 2 ? x ? m ? 3m y ? 4 ? 0 , 如果 l1 / / l2 , l2 : 2x ? 4 ? m ? 3? y ?1 ? 0 ,

?

?

求 m 的值.

?(m ? 2) ? 4( m ? 3) ? ( m 2 ? 3m) ? 2 ? 0 解: : 若 l1 / / l2 , 则有 ? , 解得:m ? ?4 或 m ? 3 . 2 ? (m ? 3m) ? (?1) ? 4 ? 4( m ? 3) ? 0
例 6. 直线 l1 : ax ? ?1 ? a ? y ? 3 ? 0 与 l2 : ? a ?1? x ? ? 2a ? 3? y ? 2 ? 0 互相垂直, 求a的 值. 解:利用直线垂直的充要条件: A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 得, a ? a ?1? ? ?1 ? a ?? 2a ? 3? ? 0 , 解得: a ? ?3 或 a ? 1 . 三、学生练习

练 习 1 、 求 过 两 条 直 线 x ? y ? 6 ? 0 和 2x ? y ? 3 ? 0 的 交 点 , 并 且 平 行 于 直 线

3x ? 4 y ? 1 ? 0 的直线的方程. (课本 P68 习题 8.3A 组第 4 题)
解:
? x? y?6?0 ?x ? 3 方程 ? 的解为: ? ,? 直线 x ? y ? 6 ? 0 和 2 x ? y ? 3 ? 0 的 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y ? 3

交点为 ? 3,3? . 直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 的斜率为 k1 ? ? 求直线的斜率为:k ? k1 ? ? 线过点 ? 3,3? ,

3 , 且所求直线与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 平行, ?所 4

3 , 直线过直线 x ? y ? 6 ? 0 和 2 x ? y ? 3 ? 0 的交点,即直 4

? 所求直线方程为: y ? 3 ? ?

3 ? x ? 3? ,即 3x ? 4 y ? 21 ? 0 . 4

练习 2、过点 A ? ?1, n ? 、 B ? n,6? 的直线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,求的值. (课本 P68 习题 8.3A 组第 5 题) 解 :( 1 ) 当 n ? 1 时 , 过 点 A ? ?1, n ? 、 B ? n,6? 的 直 线 的 斜 率 为 :

k1 ?

y2 ? y1 6?n 6?n , ? ? x2 ? x1 n ? ? ?1? n ? 1
直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率 k2 ? ?

A 1 1 ?? ? , 过点 A ? ?1, n ? 、 B ? n,6? 的直线与直 B ?2 2 1 6?n 1 11 线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,? k1 ? k2 ? ,? ? ,? n ? . 2 3 n ?1 2
(2)当 n ? 1 时,过点 A ? ?1, n ? 、 B ? n,6? 的直线的斜率不存在,即直线垂直于 x 轴, 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率 k 2 ? 交,不符题意,故 n ? 1 舍去.

1 ,? 过点 A ? ?1, n ? 、 B ? n,6? 的直线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相 2
n?

11 . 3 练习 3、已知直线分别满足下列条件,求直线的方程: (练习册 P34 习题 8.3A 组第三题 (2) )
综上所述: (1) 、经过点 ? 3, 2 ? ,且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线. (2) 、经过点 B ? 2,1? ,且与过两点 M ?1,3? 和 N ? ?1, ?5? 的直线平行的直线. 解: (1) 、设所求直线为 l1 ,斜率为 k1 ,直线 2 x ? y ? 5 ? 0 为 l2 ,斜率为 k 2 .

0 斜 率 k2 ? ?2 , ? 直 线 l2 : 2 x? y? 5 ? 的

直 线 l1 ? l2 , ? k1 ? k2 ? ?1 ,

? k1 ?

?1 ?1 1 ? ? , k 2 ?2 2

直线 l1 过点 ? 3, 2 ? ,? 直线 l1 的方程为: y ? 2 ?

1 ? x ? 3? ,即 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2

练 习 4 、 设 直 线 l 平 行 于 直 线 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 , 并 且 经 过 直 线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 与

2 x ? 3 y ? 4 ? 0 的交点,求直线 l 的方程. (课本 P80 复习题 8A 组第 3 题)
解:直线 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 为 l1 ,斜率为 k1 ,直线 l 的斜率为 k .
? 3x ? 2 y ? 1 ? 0 ? x ?1 方程 ? 的解为: ? ,? 直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 与 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 的 ?2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ? y ? ?2

交点为 ?1, ?2? . 由直线 l1 : 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 知, 直线 l1 的斜率 k1 ? 3 , l1 / /l , ? 直线 l 的斜率 k ? k1 ? 3 , 直线 l1 过点 ?1, ?2? ,

? 直线 l 的方程为: y ? ? ?2? ? 3? x ? 1? ,即 3x ? y ? 5 ? 0 .
练习 5、已知直线 l1 的方程 mx ? y ? ? m ? 1? ? 0 和 l2 的方程 x ? my ? 2m ? 0 .当 m 为何值 时, l1 与 l2 (1)互相平行; (2)互相垂直. (练习册 P36 习题 8.3B 组第三题(1) ) 解:设直线 l1 的斜率为 k1 ,纵截距为 b1 ,直线 l2 的斜率 k 2 ,纵截距为 b2 . (1) 、①当 m ? 0 时,直线 l1 : mx ? y ? ? m ? 1? ? 0 的斜率 k1 ? ?m ,纵截距 b1 ? m ? 1 ; 直线 l2 : x ? my ? 2m ? 0 的斜率 k2 ? ?

1 ?2m ,纵截距 b2 ? ? ?2. m m

l1 / / l2 ,? k1 ? k2 ,即

?m ? ?

1 ,? m ? ?1 . m

当 m ? 1 时, 直线 l1 :mx ? y ? ? m ? 1? ? 0 ? x ? y ? 2 ? 0 的斜率 k1 ? ?1 ,b1 ? 2 ; 直线 l2 :
x ? my ? 2m ? 0 ? x ? y ? 2 ? 0 的斜率 k2 ? ?1 ,纵截距 b2 ? 2 ,? k1 ? k2 ? ?1 , b1 ? b2 ? 2 ,

? 直线 l1 与 l2 重合,故 m ? 1 不符题意,故舍去.
b1 ? 0 ; mx ? y ? ? m ? 1? ? 0 ? ? x ? y ? 0 ? x ? y ? 0 的斜率 k1 ? 1 , 当 m ? ?1 时, 直线 l1 :
直线 l2 : x ? my ? 2m ? 0 ? x ? y ? 2 ? 0 的斜率 k2 ? 1 ,纵截距 b2 ? 2 ,? k1 ? k2 , b1 ? b2 ,

? l1 / / l2 .
②当 m ? 0 时,直线 l1 : mx ? y ? ? m ? 1? ? 0 ? y ? 1 的斜率 k1 ? 0 ;直线 l2 : x ? 0 的斜 率 k 2 不存在,直线 l1 与 l2 相交且垂直,故 m ? 0 不符题意,故舍去. 综上所述:当 m ? ?1 时,直线 l1 / / l2 .
x ? my ? 2m ? 0 mx ? y ? ? m ? 1? ? 0 的斜率 k1 ? ?m , (2) 、 ①当 m ? 0 时, 直线 l1 : 直线 l2 :

的斜率 k2 ? ?

1 . m

l1 ? l2 ,? k1 ? k2 ? ?1 ,? ? ?m ? ? ? ?

? 1? ? ? 1 ? ?1 ,这显然是不可能的,? m ? 0 不 ? m?

符题意,故舍去. ②当 m ? 0 时,直线 l1 : mx ? y ? ? m ? 1? ? 0 ? y ? 1 的斜率 k1 ? 0 ;直线 l2 : x ? 0 的斜 率 k 2 不存在,直线 l1 与 l2 相交且垂直,? m ? 0 .
l1 ? l2 .

综上所述:当 m ? 0 时,直线

练习 6、直线 l 平行于直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,且与坐标轴围成的三角形的面积为 3,求直 线 l 的方程. (练习册 P35 习题 8.3B 组第二题(1) ) 解:设直线 l 的斜率为 k ,纵截距为 b ,方程为 y ? kx ? b ,设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 为 l1 , 且 l1 : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的斜率为 k1 . 直线 l1 的方程为: 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,? 斜率 k1 ?
l 的方程为 y ? kx ? b ?

2 , 3

l1 / / l2 ,? k ? k1 ?

2 ,? 直线 3

2 3 3 x ? b ,令 y ? 0 ,得 x ? ? b ,? 直线 l1 的横截锯 a ? ? b , 直线 3 2 2 1 1 3 2 l 与坐标轴围成的三角形的面积为 3 , ? a b ? ? b b ? 3 , ? b ? 4 , ? b ? 2 , 2 2 2

? b ? ?2 .
当 b ? 2 时,直线 l1 的方程为: y ? 方程为: y ?

2 x ? 2 ,即 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ;当 b ? ?2 时,直线 l1 的 3

2 x ? 2 ,即 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 . 3

综上所述:直线 l1 的方程为: 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 或 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 . 四、课堂小结 (一) 、直线平行 1、直线平行的条件;

2、运用直线平行的条件解答相关问题(判断两条直线是否平行,能运用条件确定两平 行直线的方程系数). 直线 l1 的方程为: A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 ,直线 l2 的方程为: A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 (适用于 A l1 / /l2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 ; 1、B 1、C1、A 2、B2、C2 取任 意值的情况) (适用于 A l1 与 l2 重合 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 ; 1、B 1、C1、A 2、B2、C2 取任意值的情况) (适用于 A . l1 与 l2 相交 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 1、B 1、C1、A 2、B2、C2 取任意值的情况) (二) 、直线相交 1、两条直线的交点坐标:解两条直线的方程所组成的方程组,就可以得到两条直线交 点的坐标. 2、 两条直线的夹角: 两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角, 记作 ? . 两 条直线的夹角的范围 ? ? ?0,900 ? . ? ? (三) 、两条直线垂直的条件: 1、如果直线 l1 与直线 l2 的斜率都存在且不等于 0,那么 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 2、斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直. 两条直线的方程分别为 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,则直线 l1 ? l2 的充要条件是: A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 . 五、作业布置 (一) 、如果直线 l1 : ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 l2 : 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a 的值为 ( B ) A. ?

3 2

B. ?6

C. ?3

D.

2 3

a l2 的斜率 k1 ? ? 、 解: 由直线 l1 : ax ? 2 y ? 2 ? 0 、 直线 l2 :3x ? y ? 2 ? 0 可知, 直线 l1 、 2
k2 ? 3 均存在,

l1 / / l2 ,? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 ,即 a ? ? ?1? ? 2 ? 3 ? 0 ①,且

2 ? ? ?1? ? ??2?? 2 ? 2 ? 0 ②,由①得: a ? ?6 ,由②得: 2 ? 0 ,? a ? ?6 ,故选B.
(二) 、 若直线 l1 : ? 2a ? 5? x ? ? a ? 2? y ? 4 ? 0 与直线 l2 : ? 2 ? a ? x ? ? a ? 3? y ?1 ? 0 互相垂 直,则( C ) A. a ? 2 B. a ? ?2 C. a ? 2 或 a ? ?2 D. a ? 2,0, ?2

解:由直线 l1 ? l2 得: A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 ,即

? 2a ? 5?? 2 ? a? ? ? a ? 2?? a ? 3? ? ? 2 ? a ?? a ? 2? ? 0 ,? a ? 2 或 a ? ?2 ,故选C.
(三) 、如果直线 l1 : ax ? y ? 4 ? 0 与直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 相交于第一象限,则实数 a 的取 值范围是( A ) A. ?1 ? a ? 2 a ? ?2 或 a ? 2 B. a ? ?1 C. a ? 2 D.

解: 由 x ? y ? 2 ? 0 ①得:y ? x ? 2 ②, 将②代入 l1 : ax ? y ? 4 ? 0 ③中得:x ? 同理可得: y ? x ? 2 ?

6 , a ?1

2?2 ? a? 6 ?2? , 直线 l1 : ax ? y ? 4 ? 0 与直线 a ?1 a

l2 : x ? y ? 2 ? 0 相交于第一象限, ?x?

2?2 ? a? 6 a ? ?1 ? 0 ④,y ? ? 0 ⑤, 由④得: a ?1 a

⑥;由⑤得: a ? 2 ⑦,由⑥ ? ⑦得: ?1 ? a ? 2 ,故选A. (四) 、直线 l1 : Ax ? 4 y ?1 ? 0 与直线 l2 : 3x ? y ? C ? 0 重合的条件是( D ) A. A ? 12, C ? 0 D. A ? ?12, C ? ? 解: B. A ? ?12, C ?

1 4

C. A ? ?12, C ? ?

1 4

1 4
A 4 ?1 1 A1 B1 C1 ? ,? ? ,? A ? ?12, C ? ? . ? ? 3 ?1 ?C 4 A2 B2 C2

l1 与 l2 重合,?

另解为:

l1 与 l2 重合,? A1 ? ? A2 , B1 ? ? B2 , C1 ? ?C2 ,

B1 ? 4 ? ? B2 ? ? ? ?1? ,

1 ? ? ? ?4 ,? A1 ? ? A2 , A ? ?4 A2 ? ?4 ? 3 ? ?12 , C1 ? ?C2 , ?1 ? ?4 ? ?C ? , C ? ,故 4
选D. (五) 、若两条直线 l1 ,l2 的方程分别为 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 ,l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,l1 与 l2 只有一个公共点,则( B A. A 1B 1 ? A2 B2 ? 0 )

B. A 1 B2 ? A2 B 1 ?0

C.

A1 B1 ? A2 B2

D.

A1 A2 ? B1 B2 l1 / /l2 ? A1 B1 C1 ? ? ?1? ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 ? 2 ? ; A2 B2 C2

注: (1)式、 (2)式的区别: (1)式中: A 1B 1C1 ? 0, A 2 B2C2 制.

(2)式中无此限 ? 0;

(六) 、已知点 P ?1,1? 和直线 l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 ,则过 P 与 l 平行的直线方程是

3x ? 4 y ? 1 ? 0 ;过 P 与 l 垂直的直线方程是 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 .
解:1、设过 P 与 l 平行的直线为 l1 ,斜率为 k1 ,直线 l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 的斜率为 k , 直线 l 的方程为: 3x ? 4 y ? 20 ? 0 ,? k ? ?

3 3 3 ? , l / /l1 ,? k1 ? k ? , 直线 ?4 4 4

l1 过点 P ?1,1? ,? 直线 l1 的方程为 y ? 1 ?

3 ? x ? 1? ,即 3x ? 4 y ? 1 ? 0 . 4
直线 l1

另解为:设与直线 l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 平行的直线 l1 的方程为: 3x ? 4 y ? C ? 0 , 过点 P ?1,1? ,? 3 ?1 ? 4 ?1 ? C ? 0 ,? C ? 1 ,直线 l1 的方程为: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 . 2、设过 P 与 l 平行的直线为 l2 ,斜率为 k2 ,直线 l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 的斜率为 k , 直线 l 的方程为: 3x ? 4 y ? 20 ? 0 ,? k ? ?

3 3 ? , ?4 4

l ? l2 ,? k ? k2 ? ?1 ,

? k2 ?

?1 ?1 4 ? ?? , 3 k 3 4
4 ? x ? 1? ,即 4x ? 3 y ? 7 ? 0 . 3

直线 l2 过点 P ?1,1? ,? 直线 l2 的方程为 y ? 1 ? ?

另解为:设与直线 l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 垂直的直线 l2 的方程为: 4 x ? 3 y ? C ? 0 , 直线 l2 过点 P ?1,1? ,? 4 ?1 ? 3 ?1 ? C ? 0 ,? C ? ?7 ,直线 l2 的方程为: 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 . (七) 、 设直线 l1 : ? m ? 2? x ? 3 y ? 2m ? 0 与 l2 : x ? my ? 6 ? 0 , 当 m 满足 m ? 3 且 m ? ?1 时, l1 与 l2 相交;当 m ? -1时, l1 与 l2 平行;当 m ? 解:1、 2、

1 2

时, l1 ? l2 .

l1 与 l2 相交,? A1B2 ? A2 B1 ? 0 ,即 ? m ? 2? m ? 3 ?1 ? 0 ,? m ? 3 且 m ? ?1 .

l1 / / l2 ,? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C2 B1 ? C1B2 ? 0 ,

?(m ? 2)m ? 3 ?1 ? 0 ? m ? 3, m ? ?1 ? m ? ?1 , ?? ? 2m ? m ? 3 ? 6 ? 0 ? m ? 3, m ? ?3
解得: m ? ?1 .

3、

l1 ? l2 ,? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ,? ? m ? 2? ?1 ? m ? 3 ? 0 ,解得: m ?

1 . 2

(八) 、过两直线 l1 : 3x ? y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? 2 y ? 7 ? 0 的交点,并且与第一条直线垂直的直 线方程是( B ) A. x ? 3 y ? 7 ? 0 B. x ? 3 y ? 13 ? 0 C. 2 x ? 7 ? 0 D.

3x ? y ? 5 ? 0
解:设直线 l1 : 3x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 k1 ,所求直线为 l2 ,斜率为 k2 . 由直线 l1 : 3x ? y ? 1 ? 0 可知 k1 ? ?3 ,

l1 ? l2 ,? k1 ? k2 ? ?1 ,? k2 ? ?

1 1 1 ?? ? , k1 ?3 3

方程 ?

? 3x ? y ? 1 ? 0 ? x ? ?1 的解为 ? ,直线 l1 : 3x ? y ?1 ? 0 与 l2 : x ? 2 y ? 7 ? 0 的交点 ?x ? 2 y ? 7 ? 0 ? y?4

坐标为 ? ?1, 4? ,

? 直线 l2 的斜率 k2 ? ?3 ,且过点 ? ?1, 4? ,? 直线 l2 的方程为:
1 1 y?4? ? x ? ? ?1? ? ? ? x ? 1? ,即 x ? 3 y ? 13 ? 0 ,故选B. ? ? 3 3
另解为:与直线 l1 : 3x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线 l2 的方程可设为: x ? 3 y ? C ? 0 , 直线 l2 过 点 ? ?1, 4? ,? ?1 ? 3 ? 4 ? C ? 0 ,? C ? 13 ,直线 l2 的方程为: x ? 3 y ? 13 ? 0 ,故选B. (九) 、过点 P ?1, 4 ? 和 Q ? a, 2a ? 2? 的直线与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 平行,则 a 的值( B A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? ?1 D. a ? ?1 )

解:设过点 P ?1, 4 ? 和 Q ? a, 2a ? 2? 的直线为 l1 ,其斜率为 k1 ,直线 l2 : 2x ? y ? 3 ? 0 的斜 率为 k2 , 直线 l2 : 2x ? y ? 3 ? 0 的斜率 k2 存在( k2 ? 2 ) ,且 l1 / / l2 ,? 直线为 l1 的斜率 k1 也存在,

? a ? 1 ,? k1 ?

? 2a ? 2 ? ? 4 ? 2a ? 2 ? 2 ? a ? 1? ? 2 ,
a ?1 a ?1 a ?1

? 当 a ? 1 时, l1 / / l2 ,故选B.

(十) 、直线 l1 : 2 x ? y ? m ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系是( C ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D. 不能确定,与 m , n 取值有关

解: 直线 l1 : 2 x ? y ? m ? 0 的斜率: k1 ? ?2 ,直线 l2 : x ? 2 y ? n ? 0 的斜率: k 2 ? ?

1 , 2

? k1 ? k2 , k1 ? k2 ? ?1 ,? 直线 l1 与直线 l2 垂直且不相交,故选C.
(十一) 、直线 l1 : ax ? 4 y ? 2 ? 0 与直线 l2 : 2 x ? 5 y ? c ? 0 垂直相交于点 ?1, m? ,则 a ? 10 , c ? -12 ,m? -2 .

解:由直线 l1 : ax ? 4 y ? 2 ? 0 知,直线 l1 : ax ? 4 y ? 2 ? 0 的斜率: k1 ? ?

a ,由直线 4

l2 : 2 x ? 5 y ? c ? 0 知,直线 l2 : 2 x ? 5 y ? c ? 0 的斜率: k 2 ?

2 , 5

l1 ? l2 ,

a 2 ? k1 ? k2 ? ? ? ? ?1 , ? a ? 10 , ? 直线 l1 :10x ? 4 y ? 2 ? 0 ? 5x ? 2 y ? 1 ? 0 , l1 与 4 5

l2 垂直相较于点 ?1, m? ,? 由 l1 : 5x ? 2 y ?1 ? 0 知 5 ?1 ? 2m ? 1 ? 0 ,? m ? ?2 , 由
l2 : 2 x ? 5 y ? c ? 0 知, 2 ?1? 5m ? c ? 2 ?1? 5? ? ?2? ? c ? 0 ,? c ? ?12 ,综上所述:
a ? 10 , c ? ?12 , m ? ?2 .
教学反思:本节课回顾了两条直线的位置关系:平行、垂直,以及两条直线平行的条件及其 应用、两条直线垂直的条件及其应用、求两条直线的交点坐标的方法、两条直线的夹角的定 义和范围,重点是两条直线平行的条件、判断方法及应用,两条直线垂直的条件和判断方法 及其应用,难点是运用直线平行、垂直的条件判断两条直线是否平行或垂直,以及确定两平 行直线、垂直直线的方程系数,以及已知直线的位置关系,求参数值.本节课练习题的选择 有针对性,学生积极动手训练,师生配合良好,教学效果好,但个别例题、练习题、作业题 的选取数量较多且有一定难度,今后的教学中应注意规避.


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