2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(49)双曲线


课时作业(四十九) [第 49 讲

双曲线]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 x2 1.[2011· 银川一中月考] 与椭圆 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( ) 4 2 2 x x A. -y2=1 B. -y2=1 4 2 x2 y2 y2 C. - =1 D.x2- =1 3 3 2 x2 y2 2.[2011· 山东省实验中学二模] 如图 K49-1,已知点 P 为双曲线 - =1 右支上一 16 9 点,F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点,I 为△PF1F2 的内心,若 S△IPF1=S△IPF2+λS△ IF1F2 成立,则 λ 的值为( )

图 K49-1 5 4 A. B. 8 5 4 3 C. D. 3 4 3.[2010· 辽宁卷] 设双曲线的—个焦点为 F,虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该 双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 3+1 5+1 C. D. 2 2 x2 y2 4.[2011· 佛山一检] 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦 a b 点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为( ) A.x± 3y=0 B. 3x± y=0 C.x± 2y=0 D.2x± y=0 能力提升 x2 5.[2010· 福建卷] 若点 O 和点 F(-2,0)分别是双曲线 2-y2=1(a>0)的中心和左焦点, a → → 点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP· 的取值范围为( FP ) A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞) 7 7 C.?-4,+∞? D.?4,+∞? ? ? ? ? x2 y2 6.[2010· 天津卷] 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的 a b 一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 36 108 9 27 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 108 36 27 9 7.[2010· 课标全国卷] 已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l

与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程式为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 3 6 4 5 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 6 3 5 4 x2 y2 8.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,经过 a b 两曲线交点的直线恰过点 F,则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B.1+ 2 C. 3 D.1+ 3 x2 y2 9.点 P 在双曲线上 2- 2=1(a>0,b>0)上,F1,F2 是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2 a b =90° ,且△F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 x2 y2 10.已知双曲线 2- 2=1 左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双 a b π 曲线一个交点为 P,且∠PF1F2= ,则双曲线的渐近线方程为________. 6 2 2 x y 11.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 作直线交双曲线的 a b 左支于 A,B 两点,且|AB|=m,则△ABF2 的周长为__________. x2 y2 12.[2011· 全国卷] 已知 F1、F2 分别为双曲线 C: - =1 的左、右焦点,点 A∈C, 9 27 点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的平分线,则|AF2|=________. x2 y2 13.[2011· 辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4, a b 则它的离心率为________. 14.(10 分)[2011· 湖北八校一联] 如图 K49-2,已知双曲线 x2-y2=1 的左、右顶点分 别为 A1、A2,动直线 l:y=kx+m 与圆 x2+y2=1 相切,且与双曲线左、右两支的交点分别 为 P1(x1,y1),P2(x2,y2). (1)求 k 的取值范围,并求 x2-x1 的最小值; (2)记直线 P1A1 的斜率为 k1, 直线 P2A2 的斜率为 k2, 那么 k1k2 是定值吗?证明你的结论.

图 K49-2

15.(13 分)已知两定点 F1(- 2,0),F2( 2,0),满足条件|PF2|-|PF1|=2 的点 P 的轨 迹是曲线 E,直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A,B 两点.如果|AB|=6 3,且曲线 E 上存在点 → → → C,使OA+OB=mOC,求 m 的值和△ABC 的面积 S.

难点突破 x2 y2 16.(12 分)[2011· 黄石调研] 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,右焦点为 a b 2 a F,直线 x= (c= a2+b2)与 x 轴交于点 B,且与一条渐近线交于点 C,点 O 为坐标原点, c → → → → 又OA=2OB,OA· =2,过点 F 的直线与双曲线右支交于点 M、N,点 P 为点 M 关于 x 轴 OC 的对称点. (1)求双曲线的方程; (2)证明:B、P、N 三点共线; (3)求△BMN 面积的最小值.

课时作业(四十九) 【基础热身】 x2 x2 y2 1.B [解析] 椭圆 +y2=1 的焦点坐标是(± 3,0).设双曲线方程为 2- 2=1(a>0, 4 a b 4 1 2 2 2 b>0).因为点 P(2,1)在双曲线上,所以 2- 2=1,a +b =3,解得 a =2,b2=1,所以所求 a b x2 2 的双曲线方程是 -y =1. 2 2. [解析] 根据 S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2, B 即|PF1|=|PF2|+λ|F1F2|, 2a=λ2c, 即 a 4 即 λ= = . c 5 b 3.D [解析] 设 F 为左焦点,结合图形可知 kFB= ,而对应与之垂直的渐近线的斜率 c b? b b 为 k=- ,则有 ?-a?=-1,即 b2=ac=c2-a2,整理得 c2-ac-a2=0,两边都除以 a2 可 a c? 1+ 5 1± 5 得 e2-e-1=0,解得 e= ,由于 e>1,故 e= . 2 2 4.B [解析] F(2,0),即 c=2,设 P(x0,y0),根据抛物线的定义 x0+2=5,得 x0=3, 9 24 代入抛物线方程得 y2=24, 代入双曲线方程得 2- 2 =1, 结合 4=a2+b2, 解得 a=1, b= 3, 0 a b 故双曲线的渐近线方程是 3x± y=0. 【能力提升】 5.B [解析] 因为 F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以 a2+1=4,即 a2=3,所以双 x2 x2 x2 0 0 2 曲线方程为 -y2=1.设点 P(x0,y0),则有 -y2=1(x0≥ 3),解得 y0= -1(x0≥ 3).因 0 3 3 3 x2 4x2 → → → → 0 0 为FP=(x0+2,y0),OP=(x0,y0),所以OP· =x0(x0+2)+y2=x0(x0+2)+ -1= +2x0 FP 0 3 3 3 -1,此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为 x0=- ,因为 x0≥ 3,所以当 x0= 3时, 4 4 → → → → OP· 取得最小值 ×3+2 3-1=3+2 3,故OP· 的取值范围是[3+2 3,+∞). FP FP 3 2 6.B [解析] ∵抛物线 y =24x 的准线方程为 x=-6,则在双曲线中有 a2+b2=(-6)2 ?a2=9, ? x2 y2 b =36①, 又∵双曲线 2- 2=1 的渐近线为 y= 3x, = 3②, ∴ 联立①②解得? 2 所 a b a ? ?b =27, x2 y2 以双曲线的方程为 - =1. 9 27 7.B kAB=1. x2 y2 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),双曲线方程为 2- 2=1.∵AB 过 F,N,∴斜率 a b

2 2 ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? x1 y2 x2 y2 1 2 ∵ 2- 2=1, 2 - 2=1,∴两式相减,得 - =0,∴4b2 a b a b a2 b2 =5a2,又∵a2+b2=9,∴a2=4,b2=5. p 8.B [解析] 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0),则 =c,即 p=2c,抛物线方程为 y2 2 2 2 2 2 c y c 4c =4cx,根据题意 2- 2=1,y2=4c· c,消掉 y 得 2- 2 =1,即 c2(b2-4a2)=a2b2,即 c2(c2 a b a b 6+ 32 -5a2)=a2(c2-a2),即 c4-6a2c2+a4=0,即 e4-6e2+1=0,解得 e2= =3+2 2,故 2 e=1+ 2. 9.D [解析] 不妨设|PF1|,|PF2|,|F1F2|成等差数列,则 4c2=|PF1|2+|PF2|2,由 2|PF2| =2c+|PF1|, 且|PF2|-|PF1|=2a, 解得|PF1|=2c-4a, 2|=2c-2a, |PF 代入 4c2=|PF1|2+|PF2|2,

得 4c2=(2c-2a)2+(2c-4a)2,化简整理得 c2-6ac+5a2=0,解得 c=a(舍去)或者 c=5a, c 故 e= =5. a 2b2 b2 2b2 b2 b2 b 10.y=± 2x [解析] 根据已知|PF1|= 且|PF2|= ,故 - =2a,所以 2=2, = a a a a a a 2. ? ?|AF2|-|AF1|=2a, 11.4a+2m [解析] 由? ?|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,又|AF1| ?|BF2|-|BF1|=2a ? +|BF1|=|AB|=m,∴|AF2|+|BF2|=4a+m.则△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m. |AF2| |MF2| 1 12.6 [解析] 根据角平分线的性质, = = .又|AF1|-|AF2|=6,故|AF2|=6. |AF1| |MF1| 2 x2 y2 4 9 13.2 [解析] 方法一:点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1 上,则 2- 2=1.又由于 2c=4, a b a b ? 42- 92=1, ? 2 2 所以 a +b =4.解方程组?a b 得 a=1 或 a=4.由于 a<c, a=1.所以离心率为 e 故

?a2+b2=4 ?

c = =2. a 方法二:∵双曲线的焦距为 4,∴双曲线的两焦点分别为 F1(-2,0),F2(2,0),点(2,3) c 到两焦点的距离之差的绝对值为 2,即 2a=2,∴a=1,离心率 e= =2. a |m| 14.[解答] (1)∵l 与圆相切,∴1= , 1+k2 ∴m2=1+k2,① ?y=kx+m, ? 由? 2 2 得(1-k2)x2-2mkx-(m2+1)=0, ? ?x -y =1,

? ?Δ=4m k +4?1-k ??m +1?=4?m +1-k ?=8>0, ∴? m +1 ?x x = k -1 <0, ?
2 2 2 2 2 2 2 1 2 2

1-k2≠0,

∴k2<1,∴-1<k<1,故 k 的取值范围为(-1,1). 2mk 由于 x1+x2= , 1-k2 2 2 2 2 ∴x2-x1= ?x1+x2?2-4x1x2= = , |1-k2| 1-k2 ∵0≤k2<1∴当 k2=0 时,x2-x1 取最小值为 2 2. (2)由已知可得 A1,A2 的坐标分别为(-1,0),(1,0), y1 y2 ∴k1= ,k2= , x1+1 x2-1 ?kx1+m??kx2+m? y1y2 ∴k1k2= = ?x1+1??x2-1? ?x1+1??x2-1? k2x1x2+mk?x1+x2?+m2 = x1x2+?x2-x1?-1 m2+1 2mk k2· 2 -mk·2 +m2 k -1 k -1 = m2+1 2 2 - -1 k2-1 k2-1

m2k2+k2-2m2k2+m2k2-m2 k2-m2 = 2 2 , m2+1-2 2-k2+1 m -k +2-2 2 由①,得 m2-k2=1, -1 ∴k1k2= =-(3+2 2)为定值. 3-2 2 15.[解答] 由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1(- 2,0),F2( 2,0)为焦点的双曲 线的左支, 且 c= 2,a=1,易知 b=1, 故曲线 E 的方程为 x2-y2=1(x<0). ? ?y=kx-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组? 2 2 ? ?x -y =1, 2 2 消去 y,得(1-k )x +2kx-2=0, 又已知直线与双曲线左支交于两点 A,B,有 =

?Δ=?2k? +8?1-k ?>0, ? -2k ?x +x =1-k <0, ?x x = -2 >0, ? 1-k
2 2 1 2 2 1 2 2

1-k2≠0,

解得- 2<k<-1.

又∵|AB|= 1+k2· 1-x2| |x 2 = 1+k · ?x1+x2?2-4x1x2 ? -2k ?2-4× -2 = 1+k2· ? ? 1-k2 ?1-k2? =2 ?1+k2??2-k2? , ?1-k2?2

?1+k2??2-k2? 依题意得 2 =6 3,整理后得 ?1-k2?2 4 2 28k -55k +25=0, 5 5 5 ∴k2= 或 k2= ,又- 2<k<-1,∴k=- , 7 4 2 5 故直线 AB 的方程为 x+y+1=0. 2 → → → 设 C(xc,yc),由已知OA+OB=mOC, 得(x1,y1)+(x2,y2)=(mxc,myc), x1+x2 y1+y2? ∴(xc,yc)=? ? m , m ?(m≠0). 2k 2k2 2 又 x1+x2= 2 =-4 5,y1+y2=k(x1+x2)-2= 2 -2= 2 =8, k -1 k -1 k -1 80 64 ?-4 5 8 ?,将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得 2- 2=1,得 m=± ∴点 C? 4, ? m m ? m ,m? 但当 m=-4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,∴m=4, ? 5×?- 5?+2+1? ?2 ? 1 C 点的坐标为(- 5,2),C 到 AB 的距离为 = , 3 ? 5?2+12 ?2? 1 1 ∴△ABC 的面积 S= ×6 3× = 3. 2 3

【难点突破】

?a=2a , ?a2=4, ? ? c 16.[解答] (1)由题意得? 解得? 2 ? ?c =16, ?a3=2c, ?
x2 y2 ∴b2=c2-a2=12,∴双曲线方程为 - =1. 4 12 (2)证明:由(1)可知得点 B(1,0),设直线 l 的方程为:x=ty+4, 2 2 ?x - y =1, ? 4 12 由? 可得(3t2-1)y2+24ty+36=0.

2

?x=ty+4, ?

设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 P(x1,-y1), -24t ?y +y =3t -1, ? 所以? 36 ? ?y y =3t -1,
1 2 2 1 2 2

→ → 所以BP=(x1-1,-y1),BN=(x2-1,y2),

因为(x1-1)y2+y1(x2-1)=x1y2+y1x2-y1-y2 =2ty1y2+3(y1+y2) -24t 36 =2t 2 +3 2 3t -1 3t -1 =0, → → 所以向量BP,BN共线.所以 B,P,N 三点共线. (3)因为直线 l 与双曲线右支相交于 M,N, 1 所以 x1x2=(ty1+4)(ty2+4)>0,所以 t2< , 3 2 18 1+t 6 3 3+3t2 1 S△BMN= |BF||y1-y2|= 2 = , 2 |3t -1| 1-3t2 令 u=1-3t2,u∈(0,1], 4-u 4 1 S△BMN=6 3 =6 3 - u u2 u 1 1 1 =6 3 4?u-8?2- , ? ? 16 1 由 u∈(0,1],所以 ∈[1,+∞), u 1 当 =1,即 t=0 时,△BMN 面积的最小值为 18. u


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