2008高考湖北数学理科试题含详细解答(全word版)080719


安徽高中数学

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数 学(理科)
一、选择题:本次题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 设 a ? (1, ?2) , b ? ( ?3, 4) , c ? (3, 2) 则 ( a ? 2b)? ? c A. ( ?15,12) B. 0 C. ?3 D. ?11

解: a ? 2b ? (1, ?2) ? 2( ?3, 4) ? ( ?5, 6) , ( a ? 2b)? ? ( ?5, 6) ? (3, 2) ? ?3 ,选 C c 2. 若非空集合 A, B , C 满足 A ? B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则 A. “ x ? C ”是“ x ? A ”的充分条件但不是必要条件 B. “ x ? C ”是“ x ? A ”的必要条件但不是充分条件 C. “ x ? C ”是“ x ? A ”的充要条件 D. “ x ? C ”既不是“ x ? A ”的充分条件也不是“ x ? A ”必要条件 解: x ? A ? x ? C ,但是 x ? C不能 ? x ? A , 所以 B 正确。 另外画出韦恩图,也能判断 B 选项正确

A C

B

3. 用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为 A.

8? 3

B.

8 2? 3

C. 8 2?

D.

32? 3

解:截面面积为 ? ? 截面圆半径为 1,又与球心距离为 1 ? 球的半径是 2 , 所以根据球的体积公式知 V球 ? 4. 函数 f ( x ) ?

4? R 3 3

?

8 2? 3

,故 B 为正确答案.

1 x

ln( x 2 ? 3 x ? 2 ? ? x 2 ? 3 x ? 4) 的定义域为
B. ( ?4, 0) ? (0.1) D. [ ?4, 0) ? (0,1)

A. ( ??, ?4] ? [2, ?? ) C.

[-4,0) ? (0,1]

解:函数的定义域必须满足条件:

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?x ? 0 ? 2 ? x ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? [ ? 4, 0) ? (0,1) ? 2 ?? x ? 3x ? 4 ? 0 ? 2 2 ? x ? 3x ? 2 ? ? x ? 3x ? 4 ? 0
5. 将函数 y ? 3sin( x ? ? ) 的图象 F 按向量 (

?
3

, 3) 平移得到图象 F ? ,若 F ? 的一条对称轴是直线

x?

?
4

,则 ? 的一个可能取值是

A.

5 12

?

B. ?

5 12

?

C.

11 12

?
) ?3,

D. ?

11 12

?

解: 平移得到图象 F ,的解析式为 y ? 3sin( x ? ? ? 对称轴方程 x ? ? ? 把x ?

?
3

?
3

? k? ? 7? 12

?
2

(k ? Z ) , 5? 12 ( k ? Z ) ,令 k ? ?1 , ? ? 5 12

?
4

带入得 ? ? ?

? k? ? ( ? k ? 1)? ?

?

6. 将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者的方案种 数为 A. 540 B. 300 C. 180 D. 150

解:将5分成满足题意的3份有1,1,3与2,2,1两种, 所以共有 C A ?
3 5 3 3

C 52 C 32 A
2 2

A33 ? 150 种方案,故D正确.

7. 若 f ( x ) ? ?

1 2

x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+? ) 上是减函数,则 b 的取值范围是
B. ( ?1, ?? )
'

A. [ ?1, ?? )

C. ( ?? , ?1]

D. ( ?? , ?1)

解:由题意可知 f ( x ) ? ? x ?

b x?2

? 0 ,在 x ? ( ?1, ?? ) 上恒成立,

即 b ? x ( x ? 2) 在 x ? ( ?1, ?? ) 上恒成立,由于 x ? ?1 ,所以 b ? ?1 ,故C为正确答案.

8 .已知 m ? N , a, b ? R ,若 lim
*
x?0

(1 ? x ) m ? a x

? b ,则 a ? b ?
D. 1

A. ?m 解: lim
x?0

B. m

C. ?1

(1 ? x ) m ? a x

? lim
x?0

1 2 m ( a ? 1) ? C m x ? C m x 2 ? ? C m x m

x

? lim([
x?0

a ?1 x

2 m ? m ? C m x1 ? ? ? C m x m ?1 ) ? b

∴ a ? ?1, b ? m ? a? ? ?m b

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另外易知 a ? ?1, 由洛必达法则 lim
x?0
2 2

(1 ? x ) m ? a x

? lim
x?0

m (1 ? x ) m ?1 1

? m ? b ,所以 a? ? ?m b

9. 过点 A(11, 2) 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有 A. 16 条 B. 17 条
2

C. 32 条
2 2

D. 34 条

解:圆的标准方程是: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 13 ,圆心 ( ?1, 2) ,半径 r ? 13 过点 A(11, 2) 的最短的弦长为 10,最长的弦长为 26,(分别只有一条) 还有长度为 11,12,? 25 的各 2 条,所以共有弦长为整数的 2 ? 2 ?15 ? 32 条。 10. 如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在 月球附近一点 P 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月 飞行, 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅱ绕月飞行, 最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道 Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c 2 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和

2a 2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:
① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; 其中正确式子的序号是 A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ ② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ③ c1a2 ? a1c2 ; ④

c1 a1



c2 a2

.

解:由焦点到顶点的距离可知②正确,由椭圆的离心率知③正确,故应选B. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设 z 2 ? z1 ? i z1 (其中 z1 表示 z1 的共轭复数),已知 z2 的实部是 ?1 ,则 z2 的虚部为 解:设 z1 ? x ? yi , z 2 ? ? 1 ? bi ,由复数相等 .

?1 ? bi ? x ? yi ? i ( x ? yi ) ? ( x ? y ) ? ( y ? x )i ? b ? y ? x ? ? ( x ? y ) ? 1
12.在△ ABC 中,三个角 A, B , C 的对边边长分别为 a ? 3, b ? 4, c ? 6 ,则

bc cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为
解:由余弦定理,原式 ?
2

.

16 ? 36 ? 9 2

?

9 ? 36 ? 16 2
2

?

16 ? 9 ? 36 2

?

61 2

13.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? a , f (bx ) ? 9 x ? 6 x ? 2 ,其中 x ? R , a , b 为常数,则方程

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f ( ax ? b ) ? 0 的解集为
2

.
2

解:由题意知 f (bx ) ? b x ? 2bx ? a ? 9 x ? 6 x ? 2 ? a ? 2, b ? ?3. 所以

f (2 x ? 3) ? 4 x 2 ? 8 x ? 5 ? 0, ? ? 0 ,所以解集为 ? 。
x 14.已知函数 f ( x ) ? 2 ,等差数列 {a x } 的公差为 2 .若 f ( a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 ,则

log 2 [ f ( a1 ) ? f ( a2 ) ? f ( a3 ) ?? ? f ( a10 )] ?

.

解:依题意 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 2 ,所以 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? 2 ? 5 ? 2 ? ?8

∴ f ( a1 ) ? f ( a2 ) ? f ( a3 ) ?? ? f ( a10 ) ? 2 a1 ? a2 ??? a10 ? 2 ?6

? log 2 [ f ( a1 ) ? f ( a2 ) ? f ( a3 ) ?? ? f ( a10 )] ? ?6
15.观察下列等式:

?i ? 2 n
i ?1

n

1

2

?

1 2

n,

?i
i ?1

n

2

?

1 3
1 4 1 5 1 6 1 7

n3 ?

1 2
1 2 1 2 1 2 1 2

n2 ?

1 6
1 4 1 3

n,

?i
i ?1

n

3

?

n4 ?

n3 ?

n2 ,

?i
i ?1

n

4

?

n5 ?

n4 ?

n3 ?

1 30 1

n,

?i
i ?1

n

5

?

n6 ?

n5 ?

5 12 1 2

n4 ?

12

n2 ,

?i
i ?1

n

6

?

n7 ?

n6 ?

n5 ?

1 6

n3 ?

1 42

n,

??????????????

?i
i ?1

n

k

? ak ?1n k ? 2 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ak ? 2 n k ? 2 ? ??? ? a1n ? a0 ,
*

可以推测,当 x ≥2( k ? N )时, ak ?1 ?

1 k ?1

, ak ?

1 2

, ak ?1 ?

ak ? 2 ?

.

解:由观察可知当 k ? 2时 ,每一个式子的第三项的系数是成等差数列的,所以 ak ?1 ?

k 12



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第四项均为零,所以 ak ? 2 ? 0 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (t ) ?

1? t 1? t

, g ( x ) ? cos x ? f (sin x ) ? sin x ? f (cos x ), x ? (? ,

17? 12

).

(Ⅰ)将函数 g ( x ) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x ) 的值域.

解:(Ⅰ) g ( x ) ? cos x ?

1 ? sin x 1 ? sin x

? sin x ?

1 ? cos x 1 ? cos x
(1 ? cos x ) 2 sin 2 x

? cos x ?

(1 ? sin x ) 2 cos 2 x

? sin x ?

1 ? sin x 1 ? cos x ? cos x ? ? sin x ? . cos x sin x
? 17 ? ? ? x ? ? ?, ? ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ?

1 ? sin x 1 ? cos x ? g ( x ) ? cos x ? ? sin x ? ? cos x ? sin x
?? ? ? sin x ? cos x ? 2 ? 2 sin ? x ? ? ? 2. 4? ?
(Ⅱ)由 ?< x ?

17 ? 12

得 ,

5? 4

<x ?

? 4

?

5? 3

.

? 5 ? 3? ? ? 3? 5 ? ? ? sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2 ? ? 2 3 ?
又 sin

5? 3

< sin

5? 4
? 4

,? sin

3?

? 5? ? 17 ? ? (当 x ? ? ?, ? sin( x ? )< sin ? ), 2 ? 2 4 4 ?

即 ?1 ? sin( x ?

)< ?

? , ? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, ? 2 4 2

故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ? 3 . ?

?

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17.(本小题满分 12 分) 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个( n =1,2,3,4).现从袋中任 取一球. ? 表示所取球的标号. (Ⅰ)求 ? 的分布列,期望和方差;(Ⅱ)若? ? a? ? b , E? ? 1 , D? ? 11 ,试求 a,b 的值. 解:(Ⅰ) ? 的分布列为:

?
P ∴ E? ? 0 ?

0

1

2

3

4

1 2 1 2 ? 1? 1 2 1 20 ? 2? 1 10 ? 3? 1 20

1 20 3 20 ? 4? 1 5 ? 1.5. 1 10

1 10

3 20

1 5

? ? (0 ? 1.5) 2 ?

? (1 ? 1.5) 2 ?

? (2 ? 1.5) 2 ?

? (3 ? 1.5) 2 ?

3 20

? (4 ? 1.5) 2 ?

1 5

由 ? 2.75.(Ⅱ)

D ? ? a 2 D ? ,得 a2×2.75=11,即 a ? ?2. 又 E ? ? aE ? ? b, 所以
当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ∴?

? a ? 2, ?b ? ?2

或?

? a ? ? 2, ? b?4

即为所求.

18.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ? 侧面 A1 ABB1 . (Ⅰ)求证: AB ? BC ; (Ⅱ)若直线 AC 与平面 A1 BC 所成的角为 ? ,二面角 A1 ? BC ? A 的大小为 ? ,试判断 ? 与 ? 的大小关系,并予以证明. 解:(Ⅰ)证明:如右图,过点 A 在平面 A1 ABB1 内作 AD ? A1 B 于 D , 则由平面 A1 BC ? 侧面 A1 ABB1 ,且平面 A1 BC ? 侧面 A1 ABB1 ? A1 B , 得 AD ? 平面 A1 BC ? . 又 BC ? 平面 A1 BC ,所以 AD ? BC . 因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,

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则 AA1 ? 底面 ABC ,所以 AA1 ? BC . 又 AA1 ? AD ? A ,从而 BC ? 侧面 A1 ABB1 ,又 AB ? 侧面 A1 ABB1 . , 故 AB ? BC . (Ⅱ)解法 1:连接 CD ,则由(Ⅰ)知 ?ACD 就是直线 AC 与平面 A1 BC 所成的角,

? ABA1 就是二面角 A1 ? BC ? A 的平面角,即 ?ACD ? ? , ? ABA1 ? ? .
于是在 Rt ? ACD 中, sin ? ?

AD AC

, 在 Rt ? ADB , sin ? ?

AD AB

,

由 AB ? AC ,得 sin ?< sin ?, 0< ?, ?< , 又 所以 ?< ?

? 2

解法 2:由(Ⅰ)知,以点 B 为坐标原点,以 BC , BA, BB1 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系.设 AA1 ? a , AC ? b , AB ? c , 则 B (0, 0, 0) , A(0, c, 0) , C ( b ? c , 0, 0), A1 (0, c, a ),
2 2

??? ? ???? 2 2 于是 BC ? ( b ? c , 0, 0), BA1 ? (0, c , a ), ???? ???? AC ? ( b 2 ? c 2 , ? c , 0), AA1 ? (0, 0, a ).
设平面 A1 BC 的一个法向量为 n ? ( x, y , z ) 则

???? ? n ?BA1 ? 0, ? cy ? az ? 0, ? ? 由 ? ??? 得? ? 2 2 ? n ?BC ? 0, ? b ? c x ? 0, ? ? ???? ???? AC 可取 n ? (0, ? a, c ) 于是 n ?AC ? ac>0, 与 n 的夹角 ? 为锐角,则 ? 与 ? 互为余角. ???? n ?AC ac sin ? ? cos ? ? , ???? ? n ? AC b a 2 ? c 2 ???? ??? ? BA1 ?BA c cos ? ? ???? ??? ? , 所以 sin ? ? ? BA1 ? BA a2 ? c2
于是由 c ? b ,得

a a2 ? c2

,

ac b a2 ? c2



a a2 ? c2

,

即 sin ?<sin ?, 又 0< ?, ?< , 所以 ?<?,

? 2

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19.(本小题满分 13 分) 如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中, OD ? AB , P 是半圆弧上一点,

?POB ? 30? ,曲线 C 是满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P .
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F . 若△ OEF 的面积不小于 2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. ... 解:(Ⅰ)解法 1:以 O 为原点, AB, OD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴,建立平面直角坐标系, 则 A( ?2, 0), B (2, 0) , D (0, 2), P ( 3,1) ,依题意得

MA ? MB ? PA ? PB ?

2 (2 ? 3) 2 ? 12 ? (2 ? 3) ? 12=2 2 ? AB ? 4

∴曲线 C 是以原点为中心, A, B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为 a ,虚半轴长为 b ,半焦距为 c , 则 c ? 2 , 2 a ? 2 2 ? a ? 2, b ? c ? a ? 2 ,∴曲线 C 的方程为
2 2 2 2

x2 2

?

y2 2

? 1.

解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得 MA ? MB ? PA ? PB ? AB ? 4 . ∴曲线 C 是以原点为中心, A, B 为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a >0,b>0).

? ( 3) 2 12 ? 2 ?1 x2 y2 ? 2 2 ? ? 1. 则由 ? a 2 解得 a ? b ? 2 , ∴曲线 C 的方程为 b 2 2 ? a 2 ? b 2 ? 4. ?
(Ⅱ)解法 1:依题意,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入双曲线 C 的方程并整理得

(1 ? k 2 ) x 2 ? 4 kx ? 6 ? 0 .
∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,

?1 ? k 2 ? 0 ? ? ? k ? ?1 ∴? , ?? 2 2 ?? 3 ? k ? 3 ? ? ? ( ? 4 k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) ? 0 ? ?

∴ k ? ( ? 3, 3)且 k ? ?1



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设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则由①式得 x1 ? x2 ?

4k 1? k
2

, x1 x2 ? ?

6 1? k

,于是

EF ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?
2 1? k2

2 2 3? k2 1? k 2

.

而原点 O 到直线 l 的距离 d ?



∴ S? OEF ?

1 2

d ? EF ?

1 2

?

2 1? k 2

? 1? k 2 ?

2 2 3? k2 1? k 2

?

2 2 3? k2 1? k 2

.

若 ? OEF 面积不小于 2 2 ,即 S? OEF ? 2 2 ,则有

2 2 3?k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ?
k ? [?

2 . 
2 ]k ? ? 且



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为

2,

1

解法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入双曲线 C 的方程并整理,得

(1 ? k 2 ) x 2 ? 4 kx ? 6 ? 0
∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E , F

∴?

? k ? ?1 ? . ?? ?? 3 ? k ? 3 ? ? ? ( ? 4 k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) ? 0 ? ? ?1 ? k 2 ? 0 ?
2 2

∴ k ? ( ? 3, 3)且 k ? ?1 .
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) 则由①式得



x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

? 1? k 2

?

2 2 3? k2 1? k 2

.



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当 E、F 在同一支上时(如上左图所示),

S? OEF ? S ?ODF ? S ?ODE ?

1 2 1 2

OD ? x1 ? x2 ?

1 2 1 2

OD ? x1 ? x2 ;

当 E、F 在不同支上时(如上右图所示).

S ?OEF ? S ?ODF ? S ?ODE ?

OD ? ( x1 ? x2 ) ?

OD ? x1 ? x2 .

综上得 S? OEF ?

1 2

OD ? x1 ? x2 , 于是
2 2 3? k2 1? k2 .

由 OD ? 2 及③式,得 S ? OEF ?

若△OEF 面积不小于 2 2 , 即 S ?OEF ? 2 2 , 则有
2 2 3?k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ?

2.



综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为 k ? [ ? 2, 2 ]且 k ? ?1

20.(本小题满分 12 分) 水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的 蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为
1 x ? 2 ? ( ?t ? 14t ? 40)e 4 ? 50, 0 ? t ? 10, V (t ) ? ? ? 4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,10 ? t ? 12. ?

(Ⅰ)该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i ? 1 ? t ? i 表示第 1 月份( i ? 1, 2,? ,12 ),同 一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e ? 2.7 计算).
1

解:(Ⅰ)①当 0 ? t ? 10 时, V (t ) ? ( ?t 2 ? 14t ? 40)e 4 ? 50 ? 50 ,化简得 t ? 14t ? 40 ? 0 ,
2

x

解得 t ? 4 ,或 t ? 10 ,又 0 ? t ? 10 ,故 0 ? t ? 4 . ②当 10 ? t ? 12 时, V (t ) ? 4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50 ? 50 ,化简得 (t ? 10)(3t ? 41) ? 0 , 解得 10 ? t ?

41 3

,又 10 ? t ? 12 ,故 10 ? t ? 12 .

综合得 0 ? t ? 4 ,或 10 ? t ? 12 ; 故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,11 月,12 月共 5 个月.

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(Ⅱ) 由(Ⅰ)知: V (t ) 的最大值只能在(4,10)内达到.
1 ' t

由 V (t ) ? c 4 ( ?
'

1 4

t2 ?

3

1 t t ? 4) ? ? c 4 (t ? 2)(t ? 8), 2 4

1

令 V (t ) ? 0 ,解得 t ? 8 ( t ? ?2 舍去). 当 t 变化时, V (t ) 与 V (t ) 的变化情况如下表:
'

t
V ' (t )

(4,8) +

8 0 极大值
2

(8,10) -

V (t )

?

?

由上表, V (t ) 在 t=8 时取得最大值 V (8) ? 8e ? 50 ? 108.32 (亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? ? , an ?1 ?

2 3

an ? n ? 4, bn ? ( ?1) n ( an ? 3n ? 21), 其中 ? 为实数,

n 为正整数.
(Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0 ? a ? b , S n 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有

a ? S n ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)证明:假设存在一个实数 ? ,使 {an } 是等比数列,则有 a2 ? a1a3 ,即
2

2 4 4 4 ( ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ? 2 ? 4? ? 9 ? ? 2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9
所以{an}不是等比数列. (Ⅱ) 解:因为 bn ?1 ? ( ?1)

2 [ an ?1 ? 3( n ? 1) ? 21] ? ( ?1) n ?1 ( an ? 2 n ? 14) 3 2 2 ? ? ( ?1) n ( an ? 3n ? 21) ? ? bn 3 3
n ?1

又 b1 ? ? (? ? 18) 所以

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2008.7.19

安徽高中数学

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当 ? ? ?18 , bn ? 0( n ? N ) ,此时 {bn } 不是等比数列;
?

当 ? ? ?18 时, b1 ? ? (? ? 18) ? 0 ,由上可知 bn ? 0 ,∴ 故当 ? ? ?18 时,数列 {bn } 是以 ?(? ? 18) 为首项, ?
?

ba ?1 bn

??

2 3

(n∈N+).

2 3

为公比的等比数列.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 ? ? ?18 , bn ? 0( n ? N ) , S n ? 0 ,不满足题目要求;. ∴ ? ? ?18 ,故知 bn ? ? (? ? 18) ? ( ? ) n ?1 ,于是可得

2 3

3 2 S n ? ? (? ? 18)? ? ( ? ) n ] [1 5 3
n ? 要使 a ? S n ? b 对任意正整数 n 成立, 即 a ? ? (? ? 18)? ? ( ? ) ] ? b( n ? N ) [1

3

2

5

3



a 2 1 ? (? )n 3

3 ? ? (? ? 18) ? 5
2 3
n

b 2 1 ? (? )n 3

 (n ? N ? )



令 f ( n ) ? 1 ? ( ? ) ,则 当 n 为正奇数时, 1 ? f ( n ) ?

5 3

,当 n 为正偶数时

5 9

? f (n) ? 1 ; 5 9
,

? f ( n ) 的最大值为 f (1) ?
于是,由①式得

5 3

, f ( n ) 的最小值为 f (2) ?

3 3 a ? ? (? ? 18) ? b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18 ,(必须 ?b ? ?3a 即 b ? 3a ) 9 5 5

5

当 a ? b ? 3a 时,由 ?b ? 18 ? ?3a ? 18 ,不存在实数满足题目要求; 当 b ? 3a 存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 a ? S n ? b ,且 ? 的取值范围是 ( ?b ? 18, ?3a ? 18)

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