2013届高考数学第一轮讲义复习课件58


一轮复习讲义

直线与圆、圆与圆的位置关系

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要点梳理

忆一忆知识要点

1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种: 相离 、 相切 、 相交 . 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: ?>0?相交 判别式 ? (1)代数法: ――→ ?=0?相切 Δ=b2-4ac?<0?相离 ? (2)几何法: 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系: d<r?相交,d=r?相切,d>r?相离.

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要点梳理
(1)几何方法

忆一忆知识要点

2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成 直角三角形计算. (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB= 1+k2|xA-xB|= (1+k2)[(xA+xB)2-4xAxB]. 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.求过点 P(x0,y0)的圆 x2+y2=r2 的切线方程 (1)若 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上,
x0x+y0y=r2 . 则以 P 为切点的圆的切线方程为:

(2)若 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 外,则过 P 的切线方程可设 为:y-y0=k(x-x0),利用待定系数法求解. 说明:k 为切线斜率,同时应考虑斜率不存在的情况.

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要点梳理

忆一忆知识要点

4.圆与圆的位置关系的判定
2 设⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r1(r1>0),

⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r2>0),则有: 2 C1C2>r1+r2?⊙C1 与⊙C2相离 ; C1C2=r1+r2?⊙C1 与⊙C2 外切 ; |r1-r2|<C1C2<r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相交 ; C1C2=|r1-r2|(r1≠r2)?⊙C1 与⊙C2 内切 ; C1C2<|r1-r2|?⊙C1 与⊙C2 内含 .

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[难点正本

疑点清源]

1.解决直线与圆的位置关系的有关问题,要充分利用平面几何 中圆的性质使问题简化. 一般要求圆心到直线的距离与半径. 2.当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线的距离 等于半径,求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连 线构成的直角三角形;当与圆相交时,弦长的计算也要用弦 心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形. 3.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的情况.

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直线与圆的位置关系
例 1 m 为何值时,直线 2x-y+m=0 与圆 x2+y2=5. (1)无公共点; (2)截得的弦长为 2; (3)交点处两条半径互相垂直.

(1)无公共点即相离,用点到直线的距离 d>r 判断; (2)充分利用直角三角形; (3)两半径互相垂直,形成等腰直角三角形.

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(1)由已知,圆心为 O(0,0),半径 r= 5,圆心到直线 2x-y |m| |m| +m=0 的距离 d= 2 , 2= 5 2 +(-1)
|m| ∵直线与圆无公共点,∴d>r,即 > 5, 5 ∴m>5 或 m<-5. 故当 m>5 或 m<-5 时,直线与圆无公共点.

(2)如图,由平面几何垂径定理知 r2-d2=12. m2 即 5- =1. 5
得 m=± 5, 2 ∴当 m=± 5时,直线被圆截得的弦长为 2. 2

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(3)如图,由于交点处两条半径互相垂直, ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形,
2 |m| 2 r,即 = · 5, 2 5 2 5 2 解得 m=± . 2 ∴d=
5 2 故当 m=± 时,直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 2

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探究提高
(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系, 也可利用 直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来 判断直线与圆的位置关系; (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法; (3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率 k1·2=-1. k

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变式训练 1
已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长.
方法一 (1)证明
?y=kx+1, ? 由? ?(x-1)2+(y+1)2=12, ?

消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,
因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点.

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(2)解

设直线与圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,

则直线 l 被圆 C 截得的弦长 AB= 1+k2|x1-x2| 8-4k+11k2 4k+3 =2 =2 11- , 1+k2 1+k2 4k+3 令 t= ,则 tk2-4k+(t-3)=0, 1+k2 3 当 t=0 时,k=- ,当 t≠0 时,因为 k∈R, 4
所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0,
4k+3 故 t= 2 的最大值为 4,此时 AB 最小为 2 7. 1+k

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|k+2| 方法二 (1)证明 圆心 C(1,-1)到直线 l 的距离 d= 2, 1+k k2+4k+4 11k2-4k+8 圆 C 的半径 R=2 3,R2-d2=12- = ,而 1+k2 1+k2 在 S=11k2-4k+8 中,Δ=(-4)2-4×11×8<0,
故 11k2-4k+8>0 对 k∈R 恒成立, 所以 R2-d2>0,即 d<R,所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总 有两个交点.
由平面几何知识, 8-4k+11k2 知 AB=2 R2-d2=2 ,下同方法一. 1+k2 (2)解

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方法三 (1)证明

因为不论 k 为何实数,直线 l 总过点 A(0,1),

而 AC= 5<2 3=R,所以点 A(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为 何实数,直线 l 总经过圆 C 内部的定点 A.
所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点.
(2)解 由平面几何知识知过圆内定点 A(0,1)的弦,只有和 AC (C

为圆心)垂直时才最短,而此时点 A(0,1)为弦 AB 的中点,由勾股 定理,知 AB=2 12-5=2 7, 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.

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圆的切线问题
例 2 已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3,求 a 的值.

(1)过点求切线,可考虑切线斜率存在和不存在两种情况.对于斜 率存在的情况可考虑用待定系数法求解. (2)充分利用几何意义求解. ?L? (3)注意利用关系? 2 ?2=r2-d2. ? ?

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(1)圆心 C(1,2),半径为 r=2,

①当直线的斜率不存在时,方程为 x=3. 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知, 此时,直线与圆相切.
②当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k= . 2 4 k +1 3 ∴方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0. 4
故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0.
|a-2+4| 4 (2)由题意有 =2,解得 a=0 或 a= . 3 a2+1

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|a+2| (3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 2 , a +1 ? |a+2| ? ? ? 3 ? ?2 ?2 3?2 ∴? 2 ? +? 2 ? =4,解得 a=-4. ? ? ? a +1?

探究提高
求过一点的圆的切线方程,首先要判断此点是否在圆上.若在圆 上,该点为切点;若不在圆上,切线应该有两条,设切线的点斜 式方程,用待定系数法求解.注意,需考虑无斜率的情况.求弦 长问题,要充分运用圆的几何性质.

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变式训练 2
已知点 A(1,a),圆 x2+y2=4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切,求 a 的 值及切线方程.
解 (1)由于过点 A 的圆的切线只有一条,则点 A 在圆上,故

12+a2=4,∴a=± 3.
当 a= 3时,A(1, 3),切线方程为 x+ 3y-4=0; 当 a=- 3时,A(1,- 3),切线方程为 x- 3y-4=0, ∴a= 3时,切线方程为 x+ 3y-4=0,
a=- 3时,切线方程为 x- 3y-4=0.

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(2)设直线方程为 x+y=b, 由于直线过点 A,∴1+a=b, ∴直线方程为 x+y=1+a,即 x+y-a-1=0.

|a+1| 又直线与圆相切,∴d= =2, 2 ∴a=± 2-1. 2 ∴切线方程为 x+y+2 2=0 或 x+y-2 2=0.

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圆与圆的位置关系
例 3 a 为何值时,圆 C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0 和圆 C2: x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)外切;(2)相交;(3)外离;(4)内切.

(1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径;(2)利用连心线长度 与两圆半径的关系求解.

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将两圆方程写成标准方程.

C1:(x-a)2+(y+2)2=9, C2:(x+1)2+(y-a)2=4.
∴两圆的圆心和半径分别为 C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2, 设两圆的圆心距为 d, 则 d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.
(1)当 d=5,即 2a2+6a+5=25 时,两圆外切, 此时 a=-5 或 a=2.

(2)当 1<d<5,即 1<2a2+6a+5<25 时,两圆相交,此时-5<a <-2 或-1<a<2.

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(3)当 d>5,即 2a2+6a+5>25 时,两圆外离,此时 a>2 或 a <-5.
(4)当 d=1,即 2a2+6a+5=1 时,两圆内切,此时 a=-1 或 a=-2.

探究提高
判断两圆的位置关系常用几何法, 即用两圆圆心距与两圆半径和 与差之间的关系,一般不采用代数法.

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变式训练 3
圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心为 O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且 AB=2 2,求圆 O2 的 方程.
解 (1)设圆 O2 的半径为 r2,由于两圆外切, ∴O1O2=r1+r2,r2=O1O2-r1=2( 2-1),
故圆 O2 的方程是(x-2)2+(y-1)2=4( 2-1)2.
2 (2)设圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,

又圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4,

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此两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程: 4x+4y+r2-8=0. 2
∴圆心 O1(0,-1)到直线 AB 的距离为 ?2 2? |r2-12| 2 ?2 = 4-? ? 2 ? = 2, 4 2 ? ? 解得 r2=4 或 r2=20. 2 2 故圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20.

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答题模板
与圆有关的探索问题
(14 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存在两 点 A、 关于直线 y=kx-1 对称, B 且以 AB 为直径的圆经过原点? 若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由.

审题视角
(1)假设存在两点 A、B 关于直线对称,则直线过圆心. → → (2)若以 AB 为直径的圆过原点,则 OA⊥OB.转化为OA· OB =0.

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规范解答 解 圆 C 的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9, [2 分] 圆心为 C(1,-2).
假设在圆 C 上存在两点 A、B 满足条件, 则圆心 C(1,-2)在直线 y=kx-1 上,即 k=-1. 于是可知,kAB=1.
设 lAB:y=x+b,代入圆 C 的方程, 整理得 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 则 Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0,即 b2+6b-9<0. 解得-3-3 2<b<-3+3 2. [8 分]

[4 分]

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设点 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 2 则 x1+x2=-b-1,x1x2= b +2b-2. 2 由题意知 OA⊥OB,则有 x1x2+y1y2=0, 也就是 x1x2+(x1+b)(x2+b)=0. ∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0.
∴b2+4b-4-b2-b+b2=0,化简得 b2+3b-4=0. 解得 b=-4 或 b=1,均满足 Δ>0, 即直线 AB 的方程为 x-y-4=0,或 x-y+1=0. [14 分]

[12 分]

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答题模板
第一步:假设符合要求的结论存在. 第二步:从条件出发(即假设)求解. 第三步:确定符合要求的结论存在或不存在. 第四步:给出明确结果. 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点及答题规范.

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批阅笔记

(1)本题是与圆有关的探索类问题, 要注意充分利用圆的几何性质 答题.(2)要注意解答这类题目的答题格式.使答题过程完整规 范.(3)本题的易错点是转化方向不明确,思路不清晰.

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方法与技巧
1.过圆外一点 M 可以作两条直线与圆相切,其直线方程的求法 有两种: (1)用待定系数法设出直线方程,再利用圆心到切线的距离 等于半径列出关系式求出切线的斜率,进而求得直线方程. (2)用待定系数法设出直线方程,再利用直线与圆相切时交 点唯一列出关系式求出切线的斜率,进而求得直线方程. 2.若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的 公共弦所在的直线方程.

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方法与技巧
3.求弦长时,常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距,再 结合勾股定理求弦长. 4.求圆外一点 P 到圆 O 上任意一点距离的最小值为 PO-r,最 大值为 PO+r(其中 r 为圆 O 的半径).

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失误与防范
1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中 点连线与弦垂直的性质, 可以用勾股定理或斜率之积为-1 列 方程来简化运算. 2.注意利用圆的性质解题,可以简化计算.

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动态演示
圆和圆位置关系的性质和判定

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知识网络
标准方程 圆的方程 一般性质

圆 与 方 程

直线与圆的位置关系
d ? R?r
d ? R? r
R?r ?d ? R?r

外离 外切

圆与圆的位置关系

相交 内切 内含

d ? R?r 0≤d ? R? r

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要点梳理

忆一忆知识要点

1. 直线与圆的位置关系的判定方法
直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (1)利用圆心到直线的距离d与半径 r 的大小关系判断: d>r d=r d<r 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交

d?

aA ? bB ? C A2 ? B 2

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忆一忆知识要点

1. 直线与圆的位置关系的判定方法
直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (2)利用直线与圆的公共点的个数进行判断:

? Ax ? By ? C ? 0 设方程组 ? 2 2 2 的解的个数为?n ?( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
Δ<0

n=0
n=1

直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
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Δ=0
Δ>0

n=2

忆一忆知识要点

1. 直线与圆的位置关系的判定方法 (3)直线和圆相交,所得弦的弦长
①几何法:用弦心距,半径及半弦构成直 2 2 角三角形的三边 | AB |? 2 r ? d ②代数法:用弦长公式
| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |;
| AB |? 1 ? 12 y1 ? y2 . k
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r d
A B

③圆的切线长

忆一忆知识要点

2.圆与圆的位置关系的判定方法 (已知圆心距为 d,两圆半径为 r, R.) 无解 (1) 外离 ? d ? R ? r?联立方程组 _____ (2) 外切 ? d ? R ? r?联立方程组 唯一解 _____
(3) 相交 ???| R ? r |? d ? R ? r?联立方程组 两解 _____

(4) 内切 ? d ?| R ? r |?联立方程组唯一解 _____ (5) 内含 ? 0 ? d ?| R ? r |?联立方程组 无解 _____
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例1.求过点A(4,-1)且与圆M:x2+ y2+2x-6y+5=0 外切于点 B(1, 2)的圆C的方程. 解: 圆M: ( x + 1)2 + ( y -3 )2 = 5, y MB 方程:x + 2y -5 = 0. AB 的中垂线方程: x-y-2 = 0. C B M ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 由? ? x ? y ? 2 ? 0.
? x ? 3, 即C(3, 1). ?? ? y ? 1.

o

x

A

∴所求圆方程为 ( x-3)2 + (y-1)2 = 5.
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【1】已知圆 C1: (x-m)2 + (y+2)2= 9, 圆 C2: (x+1)2+(y-m)2=4 . 若圆C1与C2的外切, 则m的值 ?5, 或 2 为___________;若圆C1与C2的内含,则m的取范 ?2 ? m ? ?1 围为________________. 2 2 2 ( m ? 1) ? ( m ? 2) ? 3 ? 2 ? m ? 3m ? 10 ? 0 2 2 2 ( m ? 1) ? ( m ? 2) ? 3 ? 2 ? m ? 3m ? 2 ? 0 【2】圆 C1: x2 + y2=a与圆C2: x2 + y2+6x8y-11=0 相切,则a的值为___________. 1或 121 若两圆外切 a ? 6 ? 5 若两圆内切 | a ? 6 |? 5
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【3】若两圆x2+y2=m与x2+y2+6x-8y-11=0 有公共点, 则实数 m 的取值范围是1 ≤ m ≤ 121 .

C1 (0,0),

r1 ? m ; C2 ( ?3,4),

r2 ? 6.

两圆可能内切、外切、相交

| 6 ? m |≤ 5 ≤ 6 ? m ? 1 ≤ m ≤ 11.

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【4】直线 l 将圆 x2 +y2-2x-4y=0平分,且不过 0≤k ≤2 第四象限,则直线 l 的斜率的范围是___________. y
N

C

M

o

x

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【5】一光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射 到 圆 C: (x-2)2+(y-3)2=4 上 , 则 最 短 路 程 是 _________. 3 y B( ?1, ?1), C (2, 3), C
| BC |? (2 ? 1)2 ? (3 ? 1)2 ? 5,

| BC | ?2 ? 3.

A B
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E o D
x

例 2.已知圆 x 2 ? y 2 ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P (0, 2) 且 斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B . (1)求 k 的取值范围;

? ??? ??? ??? ? ? (2)是否存在常数 k, 使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线, 如果存在,
求出 k 的值; 如果不存在,请说明理由.

解:① ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4
2 2

② y ? kx ? 2

? (1 ? k ) x ? 4(k ? 3) x ? 36 ?y0 ? ? 16 ( ?8k ? 6k ) ? 0
2
2

P Q
5

? ? 3 ? k ? 0. 4
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o

A B

x

(2)设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
4( k ? 3) ? x1 ? x2 ? ? , 2 1? k

??? ??? ? ? 则OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),
2

y P Q o
5

B y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 12k ?24 , 1? k ??? ? 又 PQ ? (6, ?2), ? ??? ??? ??? ? ? 向量 OA ? OB 与 PQ 共线等价于?2( x1 ? x2) (y1 ? y2 ), ?6

A

x

8(k ? 3) ? ? 6 ? 12k ?24 , ? k ? ? 3 . 1? k2 1? k 4
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? k ? (? 3 ,0), 所以不存在符合题意的常数k. 4

例1.已知点P(5,0)和⊙O:x2+y2=16. (1)自P作⊙O的切线,求切线长及切线方程; (2)过P任意作直线 l 与⊙O交于A, B两相异 点, 求弦AB中点M的轨迹. y

B A P

O

x

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例3.已知点P(5, 0)和⊙O:x2+y2=16. (1)自P作⊙O的切线, 求切线长及切线方程; (2)过P任意作直线 l 与⊙O交于A, B两相异 点, 求弦AB中点M的轨迹. 解:(1)设过P的圆O的切线切圆于点Q,连接OQ. y ∵△PQO是直角三角形 ,
∴切线长|PQ|=

设切线方程为 y ? k ( x ? 5), | ?5 k | 则 y ? k ( x ? 5), ? 2 ? 4,
?k ? ? 4 . 3
k ?1

52 ? 42 ? 3.

O Q

x

P(5,0)

所以切线方程为 4 x ? 3 y ? 20 ? 0, 或 4 x ? 3 y ? 20 ? 0.
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(2)设M(x, y)是所求轨迹上任一点, A(x1, y1), B(x2,y2) , AB的斜率为k,
? y ? k ( x ? 5), 由题意: x 2 ? y 2 ? 16. ? ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 10k 2 x ? 25k 2 ? 16 ? 0. (1) 消去y得:

10k 2 ? x1 ? x2 ? , 2 1? k ? 10k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 10k ? 1? k2 2
? x ? x2 5k x? 1 ? , ? 2 2 1? k ?? y ? y2 ?5k ?y? 1 ? . 2 2 1? k ?

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x 2 ? y 2 ? 5 x ? 0, 或 y ? 0. 消去k得:

当 y=0时, k=0, 此时x=0. 而 x ? y ? 5 x ? 0 过原点(0,0),
2 2

所以轨迹方程为

x 2 ? y 2 ? 5 x ? 0.
2

又由(1),

16 ? 0 ≤ x ? 16 . ? ? 0? k ? 9 5

5 )2 ? y 2 ? 25 (0 ≤ x ? 16 ). 所求轨迹方程为 ( x ? 2 4 5
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例4.已知圆满足: (1)截 y 轴所得弦长为2;(2)被 x 轴分 成两段圆弧,其弧长的比为3:1;(3)圆心到直线l:x-2y=0

的距离为 5 ,求该圆的方程.
5

解:令圆心坐标为(a,b),半径为 r, 则r 2 ? 12 ? | a |2 ①
由(2)知 ?ACB ? 90?, ? r ? a ? 2b 由( 3) ? ? 5, 5 12 ? ( ?2)2

y

2 |b|



1 |a|

r C

.

|b|

r
B
x

联立①②消去r

?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1 ③④ ? ? 2 (Ⅰ)或? 2 (Ⅱ) 2 2 ?2b ? a ? 1 ?2b ? a ? 1 主页

? a ? 2b ? 1 ? 2b2 ? a2 ? 1

③ ④

o

A

例4.已知圆满足: (1)截 y 轴所得弦长为2;(2)被 x 轴分成 两段圆弧,其弧长的比为3:1; (3)圆心到直线l:x-2y=0
5 的距离为 5 ,求该圆的方程. ?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1 ①② ? ? 2 (Ⅰ)或 ? 2 (Ⅱ) 2 2 ?2b ? a ? 1 ?2b ? a ? 1 y

解(Ⅰ)b ? ?1 , ? ?1 , ? 2 b ? 2; a r
解(Ⅱ) ? 1 , ? 1 , ? 2 b ? 2. b a r
1 |a|

r C

.

|b|

r
B

综上,所求圆的方程为

o

A

x

(x ? 1 2 ? y ? 1 2 ? 2,???或(x ? 1 2 ? y ? 1 2 ? 2. ) ( ) ) ( )
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【1】若方程 2 x ? x ? kx ? 2k ? 2 有两个不同
2

3 ? k ≤1 的实数根,则实数 k 的取值范围是____________. 4
解:① y ? 2 x ? x 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1( y ≥ 0)

② y ? kx ? 2k ? 2
| ?k ? 2 | ? 1 ? k PQ ? 3 2 4 k ?1 kOP ? 1
O
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y
Q

P(2,2)

x

【1】圆x2+y2-2x-4y+1=0上到直线x+y-1=0 的距离为 2 的点共有 2 个. y
|1? 2?1| d? ? 2, r ? 2. 2

2? 2 2? 2

3 个 1 个

o

x
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2? 3

4 个

【2】过点P(3,4)向圆O:x2+y2=5引两条切线, A, 3x+4y=5 B为切点,则直线AB的方程是________________.
解:由题设知 A, O, B, P四点在以OP为直径的圆上,

由题设知O,A,B,P四点 易求得该圆的方程为: 在以OP为直径的圆上,易求 3 )2 ? ( y ? 2)2 ? 25 ,?? ① (x ? 得该圆的方程为: 2 4

y

P B

①-②得直线 AB 的方程为 3x+4y=5.
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又已知圆的方程为 o 2 2 x ? y ? 5.?? ② ①-②得直线AB的方程为 3x+4y=5.

A

x

【2】过点P(3,4)向圆O:x2+y2=5引两条切线, A, 3x+4y=5 B为切点,则直线AB的方程是________________. 2 解:由 RtOBM∽Rt△OBP,易得 OB ? OM ? OP ,
???? ? ??? ? ? OM ? 1 OP , 从而M ( 3 , 4 ). 5 5 5 又kOP ? 4 且AB ? OP , 3

?| OM |? 1,| MP |? 4.

y

P

B M o A x

3. ? k AB ? ? 4 y ? 4 ? ? 3 ( x ? 3 ). ∴直线 AB 的方程为 5 4 5

即直线 AB 的方程为 3x+4y=5.
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