50道解析几何综合题解答


解析几何综合测试
一.选择题: 5 ? 10 ? 50 分) ( 1.设直线过点 (0 , a ), 其斜率为 1,且与圆 x ? y ? 2 相切,则 a 的值为
2 2

(A) (C) ( C )

x

2

?
2

y

2

? 1( y ? 0 )
2

(B) (D)

x

2

?
2

y

2

? 1( y ? 0 )
2

36 x

16 ? y ? 1( y ? 0 )

64 x

100 ? y ? 1( y ? 0 )

100

64

144

36

8.某动圆与 y 轴相切,且 x 轴上截得的弦长为 2,则动圆的圆心的轨迹为 (A) x 2 ? y 2 ? 1 (B) x 2 ? y 2 ? 1 (C) y 2 ? x 2 ? 1 (D)以上皆非

( B )

(A) ? 4
x
2

(B) ? 2 2
y
2

(C) ? 2

(D) ? 2

2.双曲线

?
2 3

? 1 的渐近线方程是
4 9 3 2 9 4

( C )
x (D) y ? ?

9.点 M ( 5 ,3 ) 到抛物线 y ? a x 2 的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是 (A) y ? 1 2 x 2 (B) y ? ? 3 6 x 2 (C) y ? 1 2 x 2 或 y ? ? 3 6 x 2 (D) y ?
1 12 x 或y ? ?
2

( D
1 36 x
2

)

4

9
x (B) y ? ? x (C) y ? ? x

(A) y ? ?

3.若两直线 x ? m y ? 2 ? 0 和 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 互相垂直,则 m 的值为 (A) ?
2 3
2

( A )

10.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? (A) b ?
2

1 ? y 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围为( B
2



(B) ?

3 2

(C)

2 3

(D)

3 2

(B) ? 1 ? b ? 1或 b ? ? 2 (C) ? 1 ? b ? 1 (D)都不对

4.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为4,则点 A 与抛物线焦点的距离为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

( D



二.填空题: 5 ? 6 ? 3 0 分) ( 11.若直线 y ? kx ? 1 与双曲线
x
2

?

y

2

=1 仅有一个交点,则 k= k ? ?

2 3

,k ? ?

5 3

5.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1, 则该椭圆的离心率为
2 2
1 2

9

4

( B
2 4



12.设椭圆 x
a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的右焦点为

F1,右准线为 l1,若过 F1 且垂直于 x 轴的弦的长等 .

(A) 2

(B)

(C)

(D)

于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

1 2

13.定长为 6 的线段,其端点分别在 x 轴、y 轴上移动,则 AB 中点的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 9 6.如果双曲线的两个焦点分别为 F1 ( ? 3 , 0 ) 、 F 2 ( 3 , 0 ) ,一条渐近线方程为 y ? 两条准线间的距离是 (A) 6 3
A 7. ?C 若 B

2 x ,那么它的

( C ) (B) 4 (C) 2 (D) 1

14.从圆 ? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 1 外一点 P ? 2, 3 ? 向这个圆引切线,则切线方程为 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 或
2 2

x?2

15.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 长轴上一个顶点为 A,以 A 为直角顶点作一个內接于椭圆的等腰直角三角型, 底边的两个端点分别是 B ( ? 6, 0) , C (6, 0 ) , 周长为 32, 则顶点 A 的轨迹方程是( C ) 该三角形的面积是
16 25



1

16.已知圆锥曲线 x 2 ? ky 2 ? 1 的准线平行于 y 轴,则实数 k 的取值范围是 三.解答题: 17.已知 ? ABC 的三个顶点 A ( ? 3, 0), B ( 2,1), C ( ? 2, 3), 求: (1) B C 所在直线的方程; (2) B C 边的中线 A D 所在直线的方程; (3) B C 边的垂直平分线 D E 的方程。 (1) x ? 2 y ? 4 ? 0 (2) D (0, 2) , 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 (3) (12 分)

k ?1



解: (I)? a ? 2, b ? 1,? c ? 1, F ( ? 1, 0 ), l : x ? ? 2 .
2 2

? 圆过点 O、F, ? 圆心 M 在直线 x ? ?

1 2

上。
y

设 M (?

1 2

, t ), 则圆半径

r ? (?
2 x ? y ? 2? 0

1 2

) ? (?2) ?

3 2

.
F A

B

由 O M ? r , 得 (? 18. (1)求经过 A(2,-1)和直线 x+y-1=0 相切,且圆心在直线 y=-2x 上的圆方程。 解得 t ? ? 2 . (2)将(1)所求出的圆按向量 a =(-1,2)平移得到一个新的圆 C,现过点 A 作圆 C 的切

1 2

) ?t
2

2

?

3 2

l

G

O

x

,

? 所求圆的方程为 ( x ?

1 2

) ? (y ?
2

2) ?
2

9 4

.

线,切点为 P,Q, 求 PQ 所在的直线方程。 解:(1) (x-1)2+(y+2)2=2 (2)圆 C: x2+y2=2 BC: 2x-y=2 19.已知椭圆
x
2

(12 分)

(II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)( k ? 0),
x
2

代入

? y ? 1, 整理得 (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 k ? 2 ? 0.
2

2

2

2

2

2 ? y ? 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。 (14 分)
2

2

? 直线 AB 过椭圆的左焦点 F,? 方程有两个不等实根。

(I)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (II)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围。
y

记 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), A B 中点 N ( x 0 , y 0 ), 则 x1 ? x 2 ? ?
4k
2 2

2k ? 1

,
1 k

? A B 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y 0 ? ?
B

( x ? x 0 ).

令 y ? 0, 得
O x

l

F A

G

2

x G ? x 0 ? ky 0 ? ? ? k ? 0,? ? 1 2

2k
2

2

2k ? 1

?

k
2

2

2k ? 1

??

k
2

2

2k ? 1

??

1 2

?

1 4k ? 2
2

.

(2)因为 AB ?
?

1? k

2

x1 ? x 2 ?
? 2k 1? k
2

1? k

2

?
?2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

? x G ? 0,
1 2

1? k

2

(

) ? 4?
2

1? k

2

? 2

(1 ? k )( 2 ? k )
2 2

(1 ? k )
2

2

? 点 G 横坐标的取值范围为 ( ?

, 0 ).

依题意: 2

(1 ? k )( 2 ? k )
2 2

20.已知两定点 F1 ? 2 , 0 , F 2

?

?

?

???? ? ???? 2 , 0 ,满足条件 P F 2 ? P F1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E ,直

?

(1 ? k )
2
4 2

2

? 6 3

整理得: 28 k ? 55 k ? 25 ? 0 线 y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A , B 两点 (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)如果 A B ? 6 3 ,且曲线 E 上存在点 C ,使 OA ? OB ? mOC ,求 m 的值和 ? A B C 的 面积 S ? 故直线 AB 是方程为: 解: (1)由双曲线的定义可知曲线 E 是以 F1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ) 为焦点的双曲线的左支,且
c ? 2 , a ? 1 ,易知 b ? 1 ,故曲线 E 的方程为 x ? y
2 2

(16 分)
?k
2

?

5 7

或? k

2

?

5 4

??? ?

??? ?

????

但?

2 ? k ? ?1

?k ? ?

5 2

5 2

x ? y ?1? 0

? 1( x ? 0 )

设 C ( x c , y c ) 由已知 OA ? OB ? m OC ,得 ( x 1 , y 1 ) ? ( x 2 , y 2 ) ? m ( x c , y c )
? (xc , yc ) ? ( x1 ? x 2 m y1 ? y 2 m ), ( m ? 0 )

? y ? kx ? 1 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由题意建立方程组: ? 2 2 ?x ? y ? 1

,

消去 y, (1 ? k ) x ? 2 kx ? 2 ? 0
2 2

又 x1 ? x 2 ?

2 k
2

?1
8 m

? ? 4 5 , y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 ?

2k k
2

2

?1

?2 ? k

2
2

?1

?8

又已知直线与双曲线左支交于 A、B 两点,有
?1 ? k 2 ? 0 ? 2 2 ? ? ? ( 2 k ) ? 8 (1 ? k ) ? 0 ? ? 2k ? x1 ? x 2 ? ? 0 2 1? k ? ? ?2 ? 0 ? x1 x 2 ? 2 1? k ?
? 点C (

?4 5 m

,

)

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程得:
80 x
2

?

64 m
2

? 1 ? m ? ?4

但 m ? ? 4 时,点在右支上(舍去)
?m ? 4

解得: ?

2 ? k ? ?1

? C (?

5 , 2,计算得 d ? )

1 3

,S? ?

3。

3

21. 如图,M 是抛物线上 y2=x 上的一点,动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点,且 MA=MB. (1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心 G 的轨迹方程. (16 分) 解: (1)设 M ( y 02 , y 0 ) ,直线 M E 的斜率为 k ( k ? 0) ,则直线 M F 的斜率为 ? k , 所以直线 M E 的方程为 y ? y 0 ? k ( x ? y 02 ) ,由 ?
1 ? ky 0 k
2

22.求由圆

与直线

及曲线

所围图形的面积。(12 分)

y

解 画草图,取

为积分变量,

M

? y ? y0 ? k ( x ? y0 ) ?
2

?y ? x ?
2

,消 x 得

o

A E

B

x
F

ky ? y ? y 0 (1 ? ky 0 ) ? 0 ,解得 y E ?
2

, xE ?

(1 ? ky 0 ) k
2

2



同理可得 y F ?

1 ? ky 0 ?k

, xF ?
1 ? ky 0 ? ?

(1 ? ky 0 ) k
2


2

? k EF ?

yE ? yF xE ? xF

1 ? ky 0

?

k 2 (1 ? ky 0 ) k
2

1 ?k k ? ? ? (定值) 2 ? 4 ky 0 (1 ? ky 0 ) 2 y0 k
2

k

2

所以直线 EF 的斜率为定值。 (2)当 ? E M F ? 9 0 ? 时, ? M A B ? 45 ? ,? k ? 1 , 所以直线 M E 的方程为 y ? y 0 ? x ? y 02 , 由?
? y ? y0 ? x ? y0 ? ?y ? x ?
2 2

23.设由曲线

与直线

围成平面图形

,得 E ((1 ? y 0 ) 2 ,1 ? y 0 ) ,

求(1)此平面图形的面积;(2)此平面图形绕

轴旋转所成的旋转体体积。

同理可得 F ((1 ? y 0 ) 2 , ? (1 ? y 0 )) ,
? y ? (1 ? y 0 ) ? (1 ? y 0 ) 2 ? 3 y0 xM ? xE ? xF ? 0 ? ?x ? ? 3 3 3 设重心 G ( x , y ) ,则有 ? y 0 ? (1 ? y 0 ) ? (1 ? y 0 ) y0 yM ? yE ? yF ?y ? ? ?? ? 3 3 3 ?
2 2 2 2

解 作图,求交点:解



消去参数 y 0 得 y 2 ?

1 9

x?

2 27

(x ?

2 3

)

4

解 (1)面积:

=

(2)体积:

25.求摆线 周而成的旋转体体积。

,

的一拱与

围成的图形绕

轴旋转一

24.求摆线

的一拱



轴所围成的平面图形的面积。

解 如图,对应与图中摆线的一拱, 范围为 。故所求面积为

的变化范围为

,参数 t 的变化



解:绕

轴:为如图两部分体积之差

5

?x +x -2·y +y ?x +x =-2 2 2 a ? ? ?y -y 5-2a ?x x = 2a ?x -x =-2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2

y B O
A(4,-3)

5-2a 2 ∴x1,x2 为方程 x + x+ =0 两异根. a 2a2
2

x

3 令△>0 ? a> , 2 3 故当 a> 时,抛物线上总有关于 OB 对称两点. 2 27.直线 l 与抛物线 y ? 4 x 交于两点 A、B,O 为坐标原点,且 O A ? O B ? ? 4.
2

??? ??? ? ?

(1)求证:直线 l 恒过一定点; (2)若 4 6 ≤ | A B |≤ 4 30 ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (3)设抛物线的焦点为 F, ? A F B ? ? ,试问 ? 角能否等于 120° ?若能,求出相应的直线 l 的方程;若不能,请说明理由. 解(1)若直线 l 与 x 轴不垂直,设其方程为 y ? kx ? b ,l 与抛物线 y ? 4 x 的交点坐标分别为
2

26.在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△AOB 的直角顶点,已知|AB|=2|OA|, 且 B 点纵坐标大于零. (1)求向量 AB 的坐标;(2)求圆 x2+y2-6x+2y=0 关于直线 OB 对称的圆的议程; (3)是否存在实数 a,使抛物线 y=ax2-1 上总有关于直线 OB 对称的两个点,若不存在,说 明理由,若存在,求出 a 的取值范围.

A ( x1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,由 O A ? O B ? ? 4 得 x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? 4

??? ??? ? ?

,即 y1 y 2
16

2

2

? y1 y 2 ? ? 4



则 y1 y 2 ? ? 8. 又由 ? y 则 y1 y 2
4b k

?

2

? 4 x,

? y ? kx ? b .

得 ky 2 ? 4 y ? 4 b ? 0

( k ? 0) .

?|AB|=2|OA| ?u2+v2=100 ?u=6 ?u=-6 → ? ?→ ? ? ? ? .解:(1)设AB=(u,v) 或? . → ?v=8 ?v=-8 ?AB·OA=0 ?4u-3v=0
→ → → → ∵OB=OA+AB=(u+4,v-3),v-3>0,∴AB=(6,8). 1 → (2)由OB(10,5),LOB 方程∶y= x, 2 ⊙O1 方程化为(x-3) +(y+1) =10,可求得(3,-1)关于 OB 对称点(1,3). 故所求圆方程为(x-1)2+(y-3)2=10. (3)设 P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上关于 OB 对称两点,则
2 2

?

? ? 8, 即 b ? ? 2 k

,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,

则直线 l 过定点(2,0). 若直线 l 与 x 轴垂直,易得 x1 ? x 2 ? 2 . l 的方程为 x=2, 则 l 也过定点(2,0). 综上,直线 l 恒过定点(2,0). (2)由(1)得 | A B | 2 ? (1 ?
1
1 k
2

)( y 2 ? y 1 ) ?
2

1? k k
2

2

(

16 k
2

? 32)

,可得 6 ≤

1? k k
2

2

(

1 k
2

? 2 ) ≤ 3 0 . 解得

k 的取值范围是 [ ? 1, ? ] ? [ ,1].
2 2

1

6

2 2 2 | AF | ? | BF | ? | AB | 1 ? (3)假定 ? ? 120 ,则有 c o s ? ? ? 1 ,如图,即 ? ? (*)

(II)设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,AB 的中点 M ? x , y ?
? 2 | A B | ? 5 | F1 F 2 | ?| A B | ? ? 5 2 | F1 F 2 | ?
2

2

2 | AF | ? | BF |

2

由(1)得 y 1 y 2 ? ? 8, x1 x 2 ?
2 2 2

y1 y 2 16
2

2

2

5 2

? 4 . 由定义得 | A F |? x1 ? 1, | B F |? x 2 ? 1. 从而有

? 2c ? 10
2

( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) 3 3 x1, y 2 ? ? 3 3 3 3

? 10 x 2 , 2 x ? x1 ? x 2 , 2 y ? y1 ? y 2 3 3 ( x1 ? x 2 )

| A F | ? | B F | ? | A B | ? ( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ? ? ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 6,
2 2 2

又 y1 ?

| A F | ? | B F |? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 5 均代入(*)得
? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 6 2 ( x1 ? x 2 ) ? 1 0 ? ? 1 2
?

? y1 ? y 2 ?

( x1 ? x 2 ) , y1 ? y 2 ?

,即 x1 ? x 2 ? 1 ? 0 . 这与 x1 ? 0 且 x 2 ? 0 相矛盾.
?

?

3 ( y1 ? y 2 )

?

2

经检验,当 A B ? x 轴时, ? ? 2 arctan 2 2 ? 1 2 0 ? . 故 ? ? 1 2 0 .
? 3( 2 y ) ?
2

? 3 ? ? ? ( x1 ? x 2 )? ? 3 ?

2

? 10

1 3

(2 x )

2

? 100, 即

x

2

?

3y

2

?1

28 (本小题满分 14 分) 设双曲线
y a
2 2

75

25
10 3 3

?

x

2

3

? 1 的两个焦点分别为 F1 、 F 2 ,离心率为 2.

则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 1 0 3 ,短轴长为 (III)假设存在满足条件的直线 l

的椭圆.(9 分)

(I)求此双曲线的渐近线 l1 、 l 2 的方程; 设 l : y ? k ( x ? 1) , l 与 双 曲 线 交 于 P ( x 1 , y 1 ) 、 Q ( x 2 , y 2 ) (II)若 A、B 分别为 l1 、 l 2 上的点,且 2 | A B | ? 5| F1 F 2 | ,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线;
? ? (III)过点 N (1 , 0 ) 能否作出直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两点,且 O P · O Q ? 0 .若

? ? ? OP · OQ ? 0 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ? x 1 x 2 ? k ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0
2

存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解: (I)? e ? 2 , ? c ? 4 a
2 2

? x1 x 2 ? k

2

? x1 x 2

? ( x 1 ? x 2 ) ? 1? ? 0

(i )

?c

2

? a

2

? 3 , ? a ? 1, c ? 2
x
2

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由? 得 ( 3 k ? 1) x ? 6 k x ? 3 k ? 3 ? 0 x 2 ?1 ?y ? 3 ?
3 3

? 双曲线方程为y

2

?

? 1 ,渐近线方程为 y ? ?

x

4分

则 x1 ? x 2 ?

6k 3k
2

2

?1

, x1 x 2 ?

3k 3k

2 2

?3 ?1

( ii )

3

7

由(i) (ii)得 k

2

?3? 0

b

2

?2 ? 2

∴k 不存在,即不存在满足条件的直线 l . 29.设椭圆
x a
2 2

14 分

圆半径 r ?

c

a

2

? a.
|c?3| 2

10 分

2c
3 y ? 3 ? 0 相切得,

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F ,上顶点为 A ,过点 A 与 AF 垂直的直线

由圆与直线 l : x ?

? a,

分别交椭圆和 x 轴正半轴于 P , Q 两点,且 P 分向量 AQ 所成的比为 8∶5. (1)求椭圆的离心率;

又 a ? 2 c ,? c ? 1, a ? 2 , b ?

3 .∴椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1.

12 分

4
2 2

3

30.垂直于 x 轴的直线交双曲线 x ? 2 y ? 2 于 M、N 不同两点,A1、A2 分别为双曲线的左顶点 (2)若过 A , Q , F 三点的圆恰好与直线 l : x ? 分 12 分) 解: (1)设点 Q ( x 0 , 0 ), F ( ? c , 0 ), 其中 c ? 由 P 分 AQ 所成的比为 8∶5,得 P (
8 13 x0 a
2

3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆方程. (本小题满

和右顶点,设直线 A1M 与 A2N 交于点 P(x0,y0) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明: x 0 ? 2 y 0 为定值 ;
2 2

a
5 13

2

? b , A(0, b ) .
2

8 13

x0 ,

b) ,

2分

(Ⅱ)过 P 作斜率为 ?

x0 2 y0

的直线 l,原点到直线 l 的距离为 d,求 d 的最小值.

∴(

)

2

2

?(

5 13

)

2

? 1 ? x0 ?

3 2

a .①,

4分

解(Ⅰ)证明: 设 M ( x 1 , ? y 1 ), 则 N ( x 1 , ? y 1 ), ? A1 ( ? 2 , 0 ), A 2 ( 2 , 0 )
? 直线 A1 M 的方程为 y ? y1 x1 ? 2 (x ? 2)

而 FA ? ( c , b ), AQ ? ( x 0 , ? b ), FA ? AQ , ∴ FA ? AQ ? 0 .? cx 0 ? b ? 0 , x 0 ?
2



b

2

.②,

5分

直线 A2N 的方程为 y ?

? y1 x1 ?
2

(x ? 2

2)

②……4 分

c
2

由①②知 2 b ? 3 ac ,? 2 c ? 3 ac ? 2 a ? 0 .
2 2

①×②,得 y ?
2

? y1
2

2

∴ 2 e ? 3e ? 2 ? 0 . ? e ?
2

1 2

x1 ? 2
2

( x ? 2)


b ?c
2 2

6分
? x 1 ? 2 y 1 ? 2 ,? y
2 2

? ?

1 2

( x ? 2 ), 即 x ? 2 y
2 2

2

? 2

(2)满足条件的圆心为 O ? (

,0 ) ,

2c b ?c
2 2

? P ( x 0 , y 0 ) 是直线 A1 M 与 A 2 N 的交点 ? x 0 ? 2 y 0 ? 2 为定值 ? ? 8 分
2 2

?

a

2

?c ?c
2

2

? c ,? O ? ( c , 0 ) ,

8分

2c

2c

8

(Ⅱ) l 的方程为 y ? y 0 ? ?

x0 2 y0

( x ? x 0 ), 结合 x 0 ? 2 y 0 ? 2 整理得 x 0 x ? 2 y 0 y ? 2 ? 0
2 2

2 2 ? a ab b ab M F ? (c ? , ? ) ? ( , ? ) c c c c

于是 d ?
2

2 x0 ? 4 y0
2

?

2 2 ? 2 y0
2

?
2

2 1? y
2 0

……10 分

2 2 2 2 ? ? a b a b ? OM? MF ? ? ? 0 2 2 c c

? ? ? OM ? MF

……3 分

? x0 ? 2 y0 ? 2
2 2

? y0 ? 1

? 1 ? y0 ? 2
2

?d ?

2 1 ? y0
2

?1

(II)? e ?

6 2

, ?

b a

?

e ?1 ?
2

2 2

, ?a

2

? 2b

2

当 y 0 ? ? 1时 , y 0 ? 1, d 取最小值 1 ……12 分
2

4 2 2 2 2 2 ? b a b b (b ? a ) ?| M F | ? 1 , ? 2 ? ? 1, ? ?1 2 2 c c c

31. 如图, 已知双曲线 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的右准线 l1 与一条渐近线 l 2 交于点 M,

?b

2

? 1, a

2

?1

F 是双曲线 C 的右焦点,O 为坐标原点. (I)求证: O M ? M F ; (II)若 | M F | ? 1 且双曲线 C 的离心率 e ?
?

? 双曲线 C 的方程为:

x

2

? y

2

?1

……7 分 ……8 分

2

?

?

(III)由题意可得 0 ? ? ? 1
6 2

,求双曲线 C 的方程;

证明:设 l 3 : y ? kx ? 1 ,点 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 )
?x 2 ? 2y 2 ? 2 2 2 由? 得 (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 4 ? 0 ?y ? kx ? 1
? l 3 与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Q

(III)在(II)的条件下,直线 l 3 过点 A(0,1)与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Q 且 P 在 A、Q 之间,满足 A P ? ? A Q ,试判断 ? 的范围,并用代数方法给出证明. (本小题满分 13 分)
? ?

解: (I)? 右准线 l 1 : x ?
2

a

2

c

,渐近线 l 2 : y ?

b a

x

? M(

a



ab c

) , ? F(c, 0) , c

2

? a

2

c

2 ? a ab 2 ? b ,? O M ? ( , ) c c

?1 ? 2 k 2 ? 0 ? 2 2 ? ? ? 1 6 k ? 1 6 (1 ? 2 k ) ? 0 ? 4k ? ?x ? x ? ? 0 1 2 2 1 ? 2k ? ? 4 ? 0 ?x1x 2 ? ? 2 1 ? 2k ?
? ?1 ? k ? ? 2 2

? 2 ?k ? ? 2 ? ? 2 ? ?k ? 1 ?k ? 0 ? 2 ?1 ? 2 k ? 0 ?

……11 分

9

? ? ? A P ? ? A Q , ? ( x 1 , y 1 ? 1) ? ? ( x 2 , y 2 ? 1) ,得 x 1 ? ? x 2

∴直线 l 的斜率 kl=-

1 k切
1 2

=-

1 x1



? (1 ? ? ) x 2 ? ? (1 ? ? )
2

4k 1 ? 2k 16k
2 2

, ?x 2 ? ?
2

4 1 ? 2k
2 2

∴直线 l 的方程为 y-
2 2k
2

x12=-

1 x1

(x-x1),

?

?

? 4 (1 ? 2 k )
2

?

4k 2k
2

?1

? 2?

?1
2

方法一:
? 4

? ?1 ? k ? ?

2 2

, ? 0 ? 2k

2

? 1 ? 1, ?

(1 ? ? )

?

联立①②消去 y,得 x2+ ∵M 是 PQ 的中点

2 x1

x-x12-2=0.

? (1 ? ? )

2

? 4?

? ? ? 2? ? 1 ? 0
2

? ? 的取值范围是(0,1)

……13 分 x0 =
2

x1 ? x 2 2

=-

1 x1



32.如图,P 是抛物线 C:y= C 交于另一点 Q.

1 2

x 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 ∴ y0=
1 2

(Ⅰ)若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹 方程; (Ⅱ)若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T, 试求
| ST | | SP | ? | ST | | SQ |

x12-

1 x1

(x0-x1).

消去 x1,得 y0=x02+

1 2 x0
2

+1(x0≠0),

的取值范围. (本小题满分 12 分) ∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 方法二: 由 y1=
1 2

1 2 x0
2

+1(x≠0).

本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本思想和综 合解题能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意 x1≠0,y1>0,y2>0. 由 y=
1 2

x12,y2=
1 2

1 2 1 2

x22,x0= x22=
1 x1
1 2

x1 ? x 2 2



x2,

① 得 y1-y2= 则 x0=

得 y'=x. ∴过点 P 的切线的斜率 k 切= x1,

x12-

(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),

y1 ? y 2 x1 ? x 2

=kl=-



10

∴x1=-

1 x0



方法二: ∴
| ST | | SP | ? | ST | | SQ | | ST | | SP |

=|b|

y1 ? y 2 y1 y 2

=|b|

2(k

2

? b)
2

.

将上式代入②并整理,得 y0=x02+
1 2 x0
2

b 2(k
2

+1(x0≠0),

当 b>0 时,

?

| ST | | SQ | | ST | | SQ |

=b

? b)
2

=

2(k

2

? b)

=

2k b

2

+2>2;

b

b
2

∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+

1 2 x0
2

+1(x≠0).

当 b<0 时,

| ST | | SP |

?

=-b

2(k

? b)
2

=

2(k

2

? b)

b

?b

.

(Ⅱ)设直线 l:y=kx+b,依题意 k≠0,b≠0,则 T(0,b). 分别过 P、Q 作 PP'⊥x 轴,QQ'⊥y 轴,垂足分别为 P' 、Q' ,则
| ST | | SP | ? | ST | | SQ | ?
| OT | | P ?P | ? | OT | | Q ?Q | ? |b| | y1 | ? |b | | y2 |

又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0, 于是 k2+2b>0,即 k2>-2b. 所以
| ST | | SP | ? | ST | | SQ | 2k b | ST | | SP | ? | ST | | SQ |
2

.

>

2(?2b ? b ) ?b

=2.

y= 由

1 2

x2 ③

∵当 b>0 时,

可取一切正数,

消去 x,得 y2-2(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b),



的取值范围是(2,+ ? ).

则 y1y2=b2. 方法一: ∴
| ST | | SP | ? | ST | | SQ | ? |b|(
1 y1 ? 1 y2

方法三: 由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=KTP, 即 )≥2|b|
1 y1 y 2

y2 ? b x2

=

y1 ? b x1

.

=2|b|

1 b
2

=2.

则 x1y2-bx1=x2y1-bx2,即 b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).
x2 ? 1 2 x1 ? x1 ? x 2 ? x1
2

∵y1、y2 可取一切不相等的正数, 于是 b= ∴
| ST | | SP | ? | ST | | SQ |

1 2

x2

2

=-

1 2

x1x2.

的取值范围是(2,+ ? ).

11



| ST | | SP |

?

| ST | | SQ |

=

|b | | y1 |

?

|b | | y2 |

|?

1 2

x1 x 2 |

|?

1 2

x1 x 2 |

x ? (? 3 y ? 4 x ) ? 2 ? 0,即 y ?
2

1 3

(4 x

2

? x ? 2 ).

=

+
1

=|
1

x2 x1

| +|

x1 x2

| ≥2.

2

2

(2)方法 1:因为 FA ? ( x 0 , x 0 ?

2

1 4

), FP ? (

x 0 ? x1 2

, x 0 x1 ?

1 4

), FB ? ( x 1 , x 1 ?

2

1 4

).

∵|

x2 x1

| 可取一切不等于 1 的正数,

由于 P 点在抛物线外,则 | FP |? 0 .
x 0 ? x1 ? x 0 ? ( x 0 x1 ?
2



| ST | | SP |

?

| ST | | SQ |

的取值范围是(2,+ ? ). ∴ cos ? AFP ?

1 4
2

FP ? FA | FP || FA |

?

2

)( x 0 ? 1 4 )
2

2

1

)

4 ?

x 0 x1 ? | FP |

1 4,

33(本小题满分 14 分) 如图,设抛物线 C : y ? x 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物
2

| FP |

x0 ? ( x0 ?

x 0 ? x1

线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.
2 解: (1)设切点 A、B 坐标分别为 ( x , x 0 ) 和 ( x 1 , x 12 )(( x 1 ? x 0 ) ,

同理有 cos ? BFP ?

FP ? FB | FP || FB |

?

2

? x1 ? ( x 0 x1 ?
2 2

1 4

)( x 1 ? 1 4 )
2

2

1 4

) ?

x 0 x1 ? | FP |

1 4 ,

| FP |

x1 ? ( x1 ?

∴∠AFP=∠PFB. 方法 2: ①当 x 1 x 0 ? 0时 ,由于 x 1 ? x 0 , 不妨设 x 0 ? 0 , 则 y 0 ? 0 , 所以 P 点坐标为 (
x1 2 , 0 ) ,则

∴切线 AP 的方程为: 2 x 0 x ? y ? x ? 0 ;
2 0

切线 BP 的方程为: 2 x 1 x ? y ? x 1 ? 0 ;
2

P 点到直线 AF 的距离为: d 1 ?
1 4 1 4

| x1 | 2

; 而直线 BF 的方程 : y ?

1 4

x1 ?
2

1 4 x,

? x1

解得 P 点的坐标为: x P ?

x 0 ? x1 2

, y P ? x 0 x1
2 即 ( x1 ?

) x ? x1 y ?

x1 ? 0 .

所以△APB 的重心 G 的坐标为 x G ?
y 0 ? y1 ? y P 3
2

x 0 ? x1 ? x P 3
2

? xP ,

| ( x1 ?
2

所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 2 ?
? 4xP ? y p 3
2

x1 1 x1 ) ? | 4 2 4 1 4 ) ? ( x1 )
2 2

( x1 ?
2

?

yG ?

?

x 0 ? x1 ? x 0 x1
2 2

?

( x 0 ? x1 ) ? x 0 x1 3

,

( x1 ?
2

1 | x1 | ) | x1 | 4 2 ? 1 2 2 x1 ? 4

3

所以 y p ? ? 3 y G ? 4 x G ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:

所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

12

②当 x 1 x 0 ? 0 时,直线 AF 的方程: y ?
x1 ?
2

1 4

x0 ?
2

1 1 1

?

2 4 ( x ? 0 ), 即 ( x 0 ? ) x ? x 0 y ? x 0 ? 0 , x0 ? 0 4 4

且 x1 ? x 2 ?
x1 ? x 2 2

2 k ( k ? 3) k
2

?3

, 由 N(1,3)是线段 AB 的中点,得

1

? 1,

? k ( k ? 3) ? k

2

? 3.

1 1 2 4 直线 BF 的方程: y ? ? ( x ? 0 ), 即 ( x 1 ? ) x ? x 1 y ? x 1 ? 0 , 4 x1 ? 0 4 4

1

解得 k=-1,代入②得, ? ? 12 , 即 ? 的取值范围是(12,+∞). 于是,直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1), 即 x ? y ? 4 ? 0 .

所以 P 点到直线 AF 的距离为:
| (x ?
2 0

1 4

)(

x 0 ? x1 2 (x ?
2 0

) ? x 0 x1 ? ) ? x0
2 2

2

1 4

x0 | ?

|

x 0 ? x1 2
2 0

)( x 0 ? 1 4

2

1 4

) ?

d1 ?

| x 0 ? x1 | 2

,同理可得到 P

1 4

x ?

解法 2:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则有
? 3 x 12 ? y 12 ? ? ? ? ( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ? 0 . ? 2 2 ?3 x 2 ? y 2 ? ? ?

点到直线 BF 的距离 d 2 ? 34. (本小题满分 12 分)

| x1 ? x 0 | 2

,因此由 d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB. 依题意, x 1 ? x 2 ,? k AB ? ?
3( x1 ? x 2 ) y1 ? y 2 .

设 A、B 是椭圆 3 x ? y ? ? 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直
2 2

∵N(1,3)是 AB 的中点, ∴ x 1 ? x 2 ? 2 , y 1 ? y 2 ? 6 , 从而 k AB ? ? 1 . 又由 N(1,3)在椭圆内,∴ ? ? 3 ? 1 ? 3 ? 12 ,
2 2

平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (Ⅰ)确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 ? ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由. (此题不要求在答题卡上画图) 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的

∴ ? 的取值范围是(12,+∞). 直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1) ,即 x+y-4=0. (Ⅱ)解法 1:∵CD 垂直平分 AB,∴直线 CD 的方程为 y-3=x-1,即 x-y+2=0, 代入椭圆方程,整理得
4 x ? 4 x ? 4 ? ? ? 0.
2

能力. (Ⅰ)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 3 , 代入 3 x ? y ? ? ,整理得
2 2

又设 C ( x 3 , y 3 ), D ( x 4 , y 4 ), CD 的中点为 C ( x 0 , y 0 ), 则 x 3 , x 4 是方程③的两根, ∴ x 3 ? x 4 ? ? 1, 且 x 0 ?
1 2 ( x3 ? x 4 ) ? ? 1 2 , y0 ? x0 ? 2 ? 3 2 ,即 M (? 1 3 , ). 2 2

(k

2

? 3) x ? 2 k ( k ? 3) x ? ( k ? 3) ? ? ? 0 .
2 2



设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 x 1 , x 2 是方程①的两个不同的根, ∴ ? ? 4[ ? ( k ? 3 ) ? 3 ( k ? 3 ) ] ? 0 ,
2 2

于是由弦长公式可得

| CD | ?

1 ? (?

1 k

) ? | x 3 ? x 4 |?
2

2 (? ? 3) .





13

将直线 AB 的方程 x+y-4=0,代入椭圆方程得 4 x 2 ? 8 x ? 16 ? ? ? 0 同理可得
| AB |? 1 ? k ? | x 1 ? x 2 |?
2



4 x ? 8 x ? 16 ? ? ? 0 .
2


2?

2 ( ? ? 12 ) .



解③和⑤式可得 不妨设 A (1 ?
1 2

x 1, 2 ?
1 2

? ? 12
2

, x 3,4 ?

?1? 2
,

? ?3

.
?1? 2

∵当 ? ? 12 时, 2 ( ? ? 3 ) ?

2 ( ? ? 12 ) ,?| AB |? | CD |
? ? 12 , 3 ? ? ? 12 ), C (

?1? 2

? ?3 3?

? ?3
2

假设存在 ? >12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心.
|? ? 1 2 ? 3 2 2 ?4| ?

), D (

? ?3 3?
,

? ?3
2

)

∴ CA ? (
3 2 2
DA ? (

3?

? ? 12 ?
2

? ?3 3?
,

? ?3?
2

? ? 12

)

点 M 到直线 AB 的距离为 d ?

| x0 ? y0 ? 4 | 2

.


3?

? ? 12 ?
2

? ?3 3?
,

? ?3?
2

? ? 12

于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
| MA | ? | MB | ? d ? |
2 2 2

)

AB 2

| ?
2

9 2

?

? ? 12
2

?

? ?3
2

?|

CD 2

| .

2

计算可得 CA ? DA ? 0 ,∴A 在以 CD 为直径的圆上. 又 B 为 A 关于 CD 的对称点,∴A、B、C、D 四点共圆. (注:也可用勾股定理证明 AC⊥AD) 35.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若点 P 为 l 上的动点,求∠F1PF2 最大值.

故当 ? >12 时,A、B、C、D 四点匀在以 M 为圆心, (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得: )

| CD | 2

为半径的圆上.

A、B、C、D 共圆 ? △ACD 为直角三角形,A 为直角 ? |AN|2=|CN|·|DN|, 即 (
| AB | 2 )
2

? (

| CD | 2

? d )(

| CD | 2

? d ).



由⑥式知,⑧式左边 ?

? ? 12
2

,
2 (? ? 3) 2

由④和⑦知,⑧式右边 ? (

2 (? ? 3) 2

?

3 2 2

)(

?

3 2 2

) ?

? ?3
2

?

9 2

?

? ? 12
2

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知
,

识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分 14 分. 解:(Ⅰ)设椭圆方程为
x a
2 2

∴⑧式成立,即 A、B、C、D 四点共圆. 解法 2:由(Ⅱ)解法 1 及λ >12, ∵CD 垂直平分 AB, ∴直线 CD 方程为 y ? 3 ? x ? 1 ,代入椭圆方程,整理得
4 x ? 4 x ? 4 ? ? ? 0.
2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? ,半焦距为 c

,则



将直线 AB 的方程 x+y-4=0,代入椭圆方程,整理得

14

M A1 ?

a

2

c

? a , A1 F1 ? a ? c
2

?a ? a ? 2?a ? c? ? c ? ? 由 题 意 ,得 ?2a ? 4 ? 2 2 2 a ?b ?c ? ? ? ? a ? 2, b ? 3,c ? 1 x
2

2 ? x12 y1 ? ? 1, ? ? ? ? (1) ? ?12 4 ………………………………………………………3 分 ? 2 2 x2 y2 ? ? ? 1 .? ? ? ? (2 ) ?12 ? 4

由(1)-(2)可得 k M N ? k Q N ? ?

1 3

. ………………………………6 分
x1 y1

故椭圆方程为

?

y

2

又 MN⊥MQ, k M N ? k M Q ? ? 1, k M N ? ?
? 1.

, 所以 k Q N ?

y1 3 x1

.

4

3

(Ⅱ) 设 P ? ? 4, y 0 ? , y 0 ? 0
设 直 线 P F1的 斜 率 k 1 ? ? ? ? ? y0 3 , 直 线 P F 2的 斜 率 k 2 ? ? y0 5

直线 QN 的方程为 y ?
1 2 1 2

y1 3 x1

( x ? x1 ) ? y 1 ,又直线 PT 的方程为 y ? ?

x1 y1

x . ……10 分

从而得 x ?

x1 , y ? ?

y 1 . 所以 x1 ? 2 x , y1 ? ? 2 y .

0 ? ? F1 P F 2 ? ? P F1 M ? ? F1 P F 为 锐 角 。 tan ? F1 P F 2 ? k 2 ? k1 1 ? k1 k 2 ?

?
2

,

代入(1)可得
2 y0 2 15 y0

x

2

? y ? 1( xy ? 0 ), 此即为所求的轨迹方程.………………13 分
2

3
? ? 15 15 .

2 y0 y0 ? 15
2

37. (本小题满分 12 分) 过抛物线 x ? 4 y 上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P 点, PA ? PB ? 0 .
2

当 y0 ?

1 5, 即 y 0 = ?

1 5时 , ? F1 P F 2 取 到 最 大 值 , 此 时 ? F1 P F 2 最 大 , tan 15 15 .

故 ? F1 P F 2的 最 大 值 为 arctan

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)已知点 F(0,1) ,是否存在实数 ? 使得 FA ? FB ? ? ( FP ) ? 0 ?若存在,求出 ? 的值,
2

36 设 M 是椭圆 C :

x

2

?

y

2

? 1 上的一点,P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点,

12

4

若不存在,请说明理由. 解法(一)(1)设 A ( x1 , :
2 由 x ? 4 y , 得: y ?
'

N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点,且 MN⊥MQ,QN 与 PT 的交点为 E,当 M 沿椭圆 C 运动时, 求动点 E 的轨迹方程. (本小题满分 13 分)

x1 4

2

), B ( x 2 ,

x2 4

2

), ( x 1 ? x 2 )

x 2

解:设点的坐标 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 )( x1 y1 ? 0 ), E ( x , y ), 则 P ( ? x1 , y1 ), Q ( ? x1 , ? y1 ), T ( x1 , ? y1 ), ……1 分

? k PA ?

x1 2

, k PB ?

x2 2

? PA ? PB ? 0 ,? PA ? PB ,? x1 x 2 ? ? 4 ………………………………3 分

15

直线 PA 的方程是: y ?

x1 4

2

?

x1 2

( x ? x1 ) 即 y ?

x1 x 2

?

x1 4

2



由?

? y ? kx ? m ? x ? 4y
2

得: x ? 4 kx ? 4 m ? 0
2

同理,直线 PB 的方程是: y ?

x2 x 2

?

x2 4

2



? ? ? 16 k ? 16 m ? 0 即 m ? ? k …………………………3 分
2 2

x1 ? x 2 ? ? x? 2 由①②得: ? ( x1 , x 2 ? R ) x1 x 2 ?y ? ? ? 1, 4 ?

即直线 PA 的方程是: y ? kx ? k

2

同理可得直线 PB 的方程是: y ? ?

1 k

x?

1 k
2

∴点 P 的轨迹方程是 y ? ? 1( x ? R ). ……………………………………6 分
x1 4
2

1 ? y ? kx ? k 2 ? ? ?x ? k ? ? R 由? 1 1 得: ? k y ? ? x? 2 ? ? y ? ?1 ? k k ?

(2)由(1)得: FA ? ( x1 ,
x1 ? x 2 2

? 1), FB ? ( x 2 ,

x2 4

2

? 1), P (

x1 ? x 2 2

, ? 1)

故点 P 的轨迹方程是 y ? ? 1( x ? R ). ……………………………………6 分 (2)由(1)得: A ( 2 k , k ), B ( ?
2

2

FP ? (

, ? 2 ), x 1 x 2 ? ? 4

,

1
2

), P ( k ?

1 k

, ? 1)

k k FA ? ( 2 k , k
2

? 1), FB ? ( ?

2

,

1
2

? 1)

FA ? FB ? x1 x 2 ? (

x

2 1

? 1)(

x

2 2

? 1) ? ? 2 ?

x ? x
2 1

2 2

k k

…………………………10 分

4
2

4 x1 ? x 2
2 2

4

FP ? ( k ?

1 k

,? 2 )
2

( FP ) ?
2

( x1 ? x 2 ) 4

?4?

?2

FA ? FB ? ? 4 ? ( k ? 1)( ( FP ) ? (
2

1 k
2

? 1) ? ? 2 ? ( k ?
2 2

1 k
2

) ………………………………10 分

4
2

1 k

? k ) ? 4 ? 2 ? (k ?
2

1 k
2

)

所以 FA ? FB ? ( FP ) ? 0 故存在 ? =1 使得 FA ? FB ? ? ( FP ) ? 0 …………………………………………12 分
2

故存在 ? =1 使得 FA ? FB ? ? ( FP ) ? 0 …………………………………………12 分
2

38.如图,直角坐标系 xO y 中,一直角三角形 A B C , ? C ? 90 ? , B 、 C 在 x 轴上且关于原点 O 对 解法(二)(1)∵直线 PA、PB 与抛物线相切,且 PA ? PB ? 0 , : ∴直线 PA、PB 的斜率均存在且不为 0,且 PA ? PB , 设 PA 的直线方程是 y ? kx ? m ( k , m ? R , k ? 0 ) 称, D 在边 B C 上, B D
D
? 3DC

,!

ABC

的周长为 12.若一双曲线 E 以 B 、 C 为焦点,且经过 A 、

两点. (1) 求双曲线 E 的方程;

(2) 若一过点 P ( m , 0) ( m 为非零常数)的直线 l 与双曲线 E 相交于不同于双曲线顶点的两点 M 、

16

N

,且 MP

????

??? ? ? ?PN

,问在 x 轴上是否存在定点 G ,使 B C ? ( G M ? ? G N ) ?若存在,求出所有这样

????

???? ?

????

2 ky1 y 2 ? ( m ? t )( y1 ? y 2 ) ? 0



(9 分)

定点 G 的坐标;若不存在,请说明理由.(本小题满分 12 分)

把 x ? m ? ky 代入 x 2 ?
2 2

y

2

? 1 并整理得

3

解:(1) 设双曲线 E 的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

(3 k ? 1) y ? 6 km y ? 3( m ? 1) ? 0
2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 )



y A

其中 3 k 2 ? 1 ? 0 且 ?
y1 ? y 2 ? ? 6 km 3k ? 1
2

?0

,即 k 2 ?
2

1 3

且 3k 2 ? m 2 ? 1 . . (10 分)

则 B ( ? c , 0), D ( a , 0), C ( c , 0) . 由 BD
? 3DC

,得 c ? a ? 3( c ? a ) ,即 c

? 2a


B O D C x

, y y ? 1 2

3( m ? 1) 3k ? 1
2

? | A B |2 ? | A C |2 ? 1 6 a 2 , ? ∴ ? | A B | ? | A C |? 1 2 ? 4 a , ? | A B | ? | A C |? 2 a . ?

代入③,得
6 k ( m ? 1)
2

(3 分)

3k ? 1
2

?

6 km ( m ? t ) 3k ? 1
2

? 0



化简得 解之得 a
? 1 ,∴ c ? 2, b ?
2

km t ? k



3

. 当t ?
1 m

∴双曲线 E 的方程为 x ? (2)

y

2

时,上式恒成立.
1 m , 0)

?1.

(5 分) .

3
???? ???? ? ???? 设在 x 轴上存在定点 G ( t , 0 ) ,使 B C ? ( G M ? ? G N )

因此,在 x 轴上存在定点 G ( 39(本小题满分 14 分)
y

,使 B C ? ( G M ? ? G N ) .

????

???? ?

????

(12 分)

设直线 l 的方程为 x ? m ? ky , M ( x1 , y1 ),
???? ???? 由 M P ? ? PN

N ( x2 , y2 )



已知动圆过定点 ? ,得 y1
? ? y2 ? 0

? p


B

p ? , 0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 . 2 ? 2 ?

即?

? ?

y1 y2

G
O

① ,

(6 分)

C

(I)求动圆圆心 C 的轨迹的方程;
P
x

???? ∵ B C ? (4, 0 )

N M

(II)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 O A 和 O B 的倾斜角分别为 ? 和 ? , 当 ? , ? 变化且 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时,证明直线 A B 恒过定点,并求出该定点的坐标.
? p

???? ? ???? G M ? ? G N ? ( x1 ? t ? ? x 2 ? ? t , y1 ? ? y 2 ) , ???? ???? ? ???? ∴ B C ? ( G M ? ? G N ) ? x1 ? t ? ? ( x 2 ? t )

. (8 分)

解: 如图,设 M 为动圆圆心,? (I)

p ? , 0 ? 为记为 F ,过点 M 作直线 x ? ? 的垂线,垂足为 N , 2 ? 2 ? p 2

即 ky1

? m ? t ? ? ( ky 2 ? m ? t )

. ②

由题意知: M F ? M N 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ?

的距离相等,由抛物线的定义知,

把①代入②,得

17

点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ?
y ? 2 px( P ? 0) ;
2

? p

p ? ,0 ? 为 焦 点 , x ? ? 为准线,所以轨迹方程为 2 ? 2 ?

2p ? ? ? ?2 p, ?. tan ? ? ?

40. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 的方程为

x

2

? y

2

(II)如图,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,由题意得 x1 ? x 2 (否则 ? ? ? ? ? )且 x1 , x 2 ? 0 所以直线
A B 的 斜 率 存 在 , 设 其 方 程 为 y ? kx ? b , 显 然 x1 ?

4

? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1

的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (Ⅰ)求双曲线 C2 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ?
2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两

y1

2

2p

, x2 ?

y2

2

? ,将 y ? kx

b 与

2p
2p k , y1 ? y 2 ? 2 pb k

y ? 2 p x ( P ? 0 ) 联立消去 x , k 得y
2

2

?2 p y

?p b 2

?0

由韦达定理知 y1 ? y 2 ?

① (1)当? ?
?
2

个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x
2 2

时,即 ? ? ? ?

?
2

? 时 , t a n ? t a?n ?

1 所以

y1 x1

?

y2 x2

?

y b

2 2

? 1 ,则 a

2

? 4 ? 1 ? 3 , 再由 a ? b
2

2

? c 得b
2

2

? 1.

? 1, x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,

a

故 C2 的方程为
y1 y 2 4p
2 2 2

x

2

? y

2

? 1.

? y 1 y 2 ? 0 所以 y1 y 2 ? 4 p 由①知:
2

2 pb k

3 x
2

? 4 p 所以 b ? 2 pk . 因此直线 A B 的方程可表示
2

(II)将 y ? kx ? 为 y ? kx ? 2 P k ,即 k ( x ? 2 P ) ? y ? 0 所以直线 A B 恒过定点 ? ? 2 p , 0 ? (2)当 ? ?
?
2
2 p ( y1 ? y 2 ) y1 y 2 ? 4 p
2

2 代入

? y

2

? 1得 (1 ? 4 k ) x ? 8 2 kx ? 4 ? 0 .
2 2

4

时,由 ? ? ? ? ? ,得 tan ? ? tan(? ? ? ) =

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得 =
? 1 ? (8 2 ) k
2 2

? 16 (1 ? 4 k ) ? 16 ( 4 k
2

2

? 1) ? 0 ,

将①式代入上式整理化简可得: tan ? ?

2p b ? 2 pk

,所以 b ?

2p tan ?

? 2 pk ,



k

2

?

1 4

.


x
2

2p ? ? ? 2 pk 即 k ( x ? 2 p) ? ? y ? 此时,直线 A B 的方程可表示为 y ? kx ? ??0 tan ? tan ? ? ?

2p

将 y ? kx ?

2 代入

? y

2

? 1得 (1 ? 3 k ) x ? 6 2 kx ? 9 ? 0 .
2 2

3

由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得

所以直线 A B 恒过定点 ? ? 2 p ,
?

?

2p ? ? tan ? ?

所以由(1) (2)知,当 ? ?

?
2

时,直线 A B 恒过定点 ? ? 2 p , 0 ? ,当 ? ?

?
2

时直线 A B 恒过定点

18

?1 ? 3 k 2 ? 0 , ? ? 2 2 2 ? ? 2 ? ( ? 6 2 k ) ? 36 (1 ? 3 k ) ? 36 (1 ? k ) ? 0 . ? 即k
2

(Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ? (Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程;

c a

x;

?

1 3

且k

2

? 1.
6 2k 1 ? 3k
2

(Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,
, xA ? xB ? ?9 1 ? 3k
2

设 A ( x A , y A ), B ( x B , y B ), 则 x A ? x B ? 由 OA ? OB ? 6 得 x A x B ? y A y B ? 6 , 而 x A x B ? y A y B ? x A x B ? ( kx A ?
? (k ? (k ?
2 2

使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.

2 )( kx B ?

2)

本小题主要考查平面向量的概率,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应用,以及 综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x , y ). 由 P ( x , y ) 在椭圆上,得
b a c a x) .
2 2 2

2

? 1) x A x B ? ? 1) ? ?7 ?1 ?9 1 ? 3k
2

2k (x A ? xB ) ? 2 ? 2k ? 6 2k 1 ? 3k
2

2

?2

3k 3k

2 2

.
2 2

于是

3k 3k

?7 ?1
2

? 6,即
1 3

15 k 3k

? 13 ?1

? 0 . 解此不等式得

| F1 P | ? ? (a ?

( x ? c) ? y
2

2

?

(x ? c) ? b ?
2 2

x

2

k

2

?

13 15

或k

?

.



由①、②、③得
1 4 ? k
2

由 x ? a,知 a ?
? k
2

c a

x ? ? c ? a ? 0 ,所以 | F1 P | ? a ?

c a

x . ………………………3 分

?

1 3



13 15

? 1.

证法二:设点 P 的坐标为 ( x , y ). 记 | F1 P |? r1 , | F 2 P |? r2 ,
) ? (? 3 3 ,? 1 2 1 2 3 3 13 15
2 2 由 r1 ? r2 ? 2 a , r1 ? r2 ? 4 cx , 得 | F1 P |? r1 ? a ?

故 k 的取值范围为 ( ? 1, ?

13 15

)?(

,

)?(

,1 )

则 r1 ?

( x ? c ) ? y , r2 ?
2 2

(x ? c) ? y .
2 2

c a

x. c a x ? 0.
c a x |.

41.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 、F ,Q 是

证法三:设点 P 的坐标为 ( x , y ). 椭圆的左准线方程为 a ? 由椭圆第二定义得
| F1 P | |x? a
2

椭圆外的动点,满足 | F1 Q |? 2 a . 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满 足 PT ? TF 2 ? 0 , | TF 2 |? 0 .

? |

c a

,即 | F1 P

|?

c a

|x?

a

2

|? | a ?

c

c

由 x ? ?a,知 a ?

c a

x ? ? c ? a ? 0 ,所以 | F1 P | ? a ?

c a

x . …………………………3 分

19

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x , y ). 当 | PT
| ? 0 时,点( a

,0)和点(- a ,0)在轨迹上.

2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , ? ?1 2 ? ? 2 c | y 0 |? b . ?2

当| PT |? 0 且 | TF 2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF 2 |? 0 ,得 PT ? TF 2 . 又 | PQ |? | PF 2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?
1 2 | F1 Q |? a ,所以有 x ? y
2 2 2 2 2

由③得 | y 0 |? a ,由④得 | y 0 |? 当a
? b
2

b

2

.

c

所以,当 a

?

b

2

时,存在点 M,使 S= b 2 ;

c

时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分 时, MF 1 ? ( ? c ? x 0 , ? y 0 ), MF 2 ? ( c ? x 0 , ? y 0 ) ,
2 2 2 2 2 2

? a .
2

c

当a

?

b

2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . …………………………7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x , y ). 当 | PT
| ? 0 时,点( a

c

由 MF 1 ? MF 2 ? x 0 ? c ? y 0 ? a ? c ? b , ,0)和点(- a ,0)在轨迹上.
MF 1 ? MF 2 ? | MF 1 | ? | MF 2 | cos ? F1 MF 2 ,

当| PT |? 0 且 | TF 2 |? 0 时,由 PT ? TF 2 ? 0 ,得 PT ? TF 2 .
S ?

1 2

| MF 1 | ? | MF 2 | sin ? F1 MF 2 ? b ,得 tan ? F1 MF 2 ? 2 .
2
2

又 | PQ |? | PF 2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
? ?x ? 2 Q 的坐标为( x ?, y ? ) ,则 ? ? ? ?y ? y . ? 2 ? x? ? c ,

解法二:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , ? ?1 2 ? ? 2 c | y 0 |? b . ?2

设点

③ ④
4 2 2 2

因此 ?

? x ? ? 2 x ? c, ? y ? ? 2 y.

① 由④得 | y 0 |? ② 于是,当 a 当a
? b
2

b

2

.

c
b
2

上式代入③得 x 02 ? a 2 ?
2

b c

? (a ?

b

)( a ?

b

) ? 0.

c

c

2 2 2 由 | F1 Q | ? 2 a 得 ( x ? ? c ) ? y ? ? 4 a .

?

时,存在点 M,使 S= b ;

将①代入②,可得 x ? y ? a .
2 2 2

c

时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分
y0 x0 ? c y0 x0 ? c

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . ……………………7 分
2 2 2

c

(Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 的充要条件是 ③ ④

2

当a

?

b

2

c

时,记 k 1 ? k F M ?
1

, k 2 ? k F2 M ?


k1 ? k 2 1 ? k1k 2

由 | F1 F 2 |? 2 a , 知 ? F1 MF 2 ? 90 ? ,所以 tan

? F1 MF 2 ? |

|? 2 . …………14



20

42(12 分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M ? 1, 2 ? ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆 和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (Ⅰ)求这三条曲线的方程; (Ⅱ)已知动直线 l 过点 P ? 3, 0 ? ,交抛物线于 A , B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? 被以
AP

令 A ? x1 , y 1 ? ,
? DC ? CH ? 1 2

? x ? 3 y1 ? ? C? 1 , ? ………………………………………………(7 2 ? ? 2

分)

AP ? x1 ? 3 2

1 2

?x

1

? 3 ? ? y1
2

2

?a ?

1 2

?x
?

1

? 2a ? ? 3

为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l ? 的方程;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? ,将 M ? 1, 2 ? 代入方程得 p ? 2
? 抛物线方程为: y ? 4x
2

?

DH

2

? DC

2

? CH

2

1

2 1 2 ?? x ? 3 ? ? y 2 ? ? ?? x ? 2a ? ? 3? 1 ? ? 1 ? 4? 1 4

? ? a - 2 ? x1 ? a ? 3 a
2

………………………………………………(1 分)
? c=1
2

当 a ? 2时 , D H ?

2

? ? 4 ? 6 ? 2为 定 值 ;

…………(12 分)

D E ? 2 D H ? 2 2为 定 值

由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F ? ? 1, 0 ?1 , F2 ?1, 0 ? ,
2 2

…………………(2 分)

此 时 l ?的 方 程 为 : x ? 2

对于椭圆, 2 a ? M F1 ? M F2 ? ?1 ? 1 ? ? 2 ? ?1 ? 1 ? ? 4 ? 2 ? 2 2
? ? ? ? a ?1? a ? 1?
2 2 2

43(14 分)已知正项数列 ? a n ? 中, a 1 ? 6 ,点 A n ? a n , a n ? 1 ? 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上;数列 ? b n ? 中,点 B n ? n , b n ? 在过点 ? 0 ,1 ? ,以方向向量为 ? 1, 2 ? 的直线上.

2 2
2

?

?

2

?3?2 2

b ? a ?c ? 2?2 2 椭圆方程为: x
2

………………………………(4 分)
? y
2

(Ⅰ)求数列 ? a n ? , ? b n ? 的通项公式; (Ⅱ)若 f ? n ? ? ?
?an , ? ? bn , ?

3?2 2

2?2 2

?1

? n为 奇 数 ? ? n为 偶 数 ?

k ,问是否存在 k ? N ,使 f ?k ? 27 ? ? 4 f ? ? 成立,若存在,

对于双曲线, 2 a ? ? M F1 ? M F2 ? 2 2 ? 2
? ? ? ? a? ?
2

求出 k 值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)对任意正整数 n ,不等式 ………………………………(6 分)
a
n ?1

2 ?1

a? ? 3 ? 2 2 b? ? c? ? a? ? 2 2 ? 2
2 2 2

? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? b1 ? ? b2 ? ? bn ? ?

?

a

n

n ? 2 ? an

?0

成立,求正数 a 的取

双曲线方程为:

x

2

3?2 2

?

y

2

2 2 ?2

?1

值范围. 解: (Ⅰ)将点 A n ? a n , a n ? 1 ? 代入 y 2 ? x ? 1 中得
a n ?1 ? a n ? 1 ? ? a n ?1 ? a n ? d ? 1

(Ⅱ)设 A P 的中点为 C , l ? 的方程为: x ? a ,以 A P 为直径的圆交 l ? 于 D , E 两点, D E 中 点为 H

a n ? a1 ? ? n ? 1 ? ? 1 ? n ? 5

…………………………………………(4 分)

直 线 l : y ? 2 x ? 1, ? b n ? 2 n ? 1

21

(Ⅱ) f ? n ? ? ?

? n ? 5, ? ? 2 n ? 1, ?

? n为 奇 数 ? ? n为 偶 数 ?

………………………………(5 分)

(1) 求 C 的方程; (2) 设 O 为坐标原点, 过点 F ( 3 , 0 ) 的直线 l 与 C 交于 A、 两点, N 为线段 AB 的中点, B 延长线段 ON 交 C 于点 E.

当 k 为 偶 数 时 , k ? 2 7为 奇 数 , ? k ? 27 ? 5 ? 4 ? 2 k ? 1? ,

? f ? k ? 27 ? ? 4 f ? k ?

? k ?4

当 k 为 奇 数 时 , k ? 2 7为 偶 数 , ? 2 ? k ? 27 ? ? 1 ? 4 ? k ? 5 ? , ? k ? 35 2

……………………(8 分)

求证: OE ? 2 ON 的充要条件是 | AB | ? 3 . 解: (1)设点 P ( x ?, y ?) , 点 M 的坐标为 ( x , y ) ,由题意可知 ?
?x ? ? x, ? y ? ? 2 y,

?舍 去 ?

………………(2 分)

综 上 , 存 在 唯 一 的 k ? 4符 合 条 件 。
a
n ?1

(Ⅲ)由

? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? b1 ? ? b2 ? ? bn ? ?

?

a

n

n ? 2 ? an

?0

2 2 又 x ? ? y ? ? 4, ∴ x ? 4 y ? 4 ?
2 2

x

2

? y

2

?1.

4 x
2

即a ?

? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? b1 ? ? b2 ? ? bn ? 2n ? 3 ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? b1 ? ? b2 ? ? bn ? 2n ? 3 ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? b1 ? ? b2 ? ? bn ? ? bn ?1 ? 2n ? 5 ? 1 ? 2n ? 3 ? 1 ? ? ?1 ? ?? bn ?1 ? 2n ? 5 ? ?1 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 4 2n ? 3 ? 2n ? 4 2n ? 5 ? 2n ? 3

所以, 点 M 的轨迹 C 的方程为

? y

2

? 1 .………………(4 分)

4

记f ?n? ?

(2)设点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 点 N 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) , ㈠当直线 l 与 x 轴重合时, 线段 AB 的中点 N 就是原点 O, 不合题意,舍去; ………………(5 分) ㈡设直线 l: x ? my ? 由?
? x ? my ? ? 3
3,

?

f ? n ? 1? ? f ? n ? 1? f ?n?
2

?

? ? ?

4n ? 16n ? 16 4n ? 16n ? 15
2

f ? n ? 1? ? f ? n ? , 即 f ? n ? 递 增 , f ? n ? m in ? f ? 1 ? ? 0? a? 4 5 15 1 5 ? 4 3 ? 4 5 15 ,

?x 2 ? 4y 2 ? 4 ?
2 2

消去 x,

得 ( m ? 4 ) y ? 2 3 my ? 1 ? 0 ………………①
3m m
2

?

∴y0 ? ? ………………………………(14 分)

? 4

, ………………(6 分)

∴ x 0 ? my 44 (本小题满分 12 分) 将圆 O: x ? y ? 4 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
2 2

0

?

3 ? ? m

3m
2

2

?4

?

3m m

2 2

?4 3 ?4

?

4 3 m
2

?4

,

得到曲线 C.

22

∴点 N 的坐标为 (

4 3 m
2

?4

, ? m

3m
2

?4

) .………………(8 分)

| AB | ? 3 .………………(12 分)

45(12 分) E 、 F 是椭圆 x ? 2 y ? 4 的左、右焦点, l 是椭圆的右准线,点 P ? l ,过点 E 的
2 2

①若 OE ? 2 ON , 坐标为, 则点 E 的为 (
2 2

8 3 m
2

?4

, ?

2 3m m
2

?4

) , 由点 E 在曲线 C 上,

直线交椭圆于 A 、 B 两点. (1) 当 A E ? A F 时,求 ? A E F 的面积;


(m

48
2

? 4)

2

?

12 m (m
2

? 4)

? 1, 即 m

4

? 4m

2

? 32 ? 0 , ∴ m

2

? 8 (m

2

? ? 4 舍去).

(2) 当 A B ? 3 时,求 A F ? B F 的大小; (3) 求 ? E P F 的最大值.

由方程①得 | y 1 ? y 2 |?

12 m

2

? 4m
2

2

? 16

m

?4

?

4 m m
2

2

?1

?4

? 1,

解: (1) ? 又 | x 1 ? x 2 | ? | my 1 ? my ∴ | AB | ?
m
2

? m?n ? 4 ?m ? n ? 8
2 2

? S ?AEF ?

1 2

mn ? 2

2

| ? | m ( y 1 ? y 2 ) |,

? 1 | y 1 ? y 2 | ? 3 .………………(10 分)
4(m m
3 3
2 2

(2)因 ?

? AE ? AF ? 4 ? ? BE ? BF ? 4 ?

? AB ? AF ? BF ? 8 ,

②若 | AB | ? 3 , 由①得

? 1) ? 4

? 3, ∴ m

2

? 8.

则 AF ? BF ? 5. (1) 设 P (2 2 , t )( t ? 0 ) tan ? E P F ? tan ( ? E P M ? ? F P M )
x (x ? 0) ,
?( 3 2 t ? t 2 ) ? (1 ? 3 2? t
2

∴点 N 的坐标为 (

, ?

6 6

) , 射线 ON 方程为: y ? ?

2 2

2

)?

2 2t t ?6
2

?

2 2 t ? 6t
?1

?

3 3



? 2 x (x ? 0) ?y ? ? 由? 2 ?x 2 ? 4y 2 ? 4 ?

? 2 3 ?x ? ? 3 解得 ? 6 ? y ? ? ? 3 ?

∴点 E

当t ?

6 时, ta n ? E P F ?

3 3

? ? EPF ? 30

?

的坐标为 (

2 3 3

, ?

6 3

),

46(本小题满分 14 分) 设双曲线
x a
2 2

∴ OE ? 2 ON . 综 上 ,
OE ? 2 ON

?

y b

2 2

=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为 A,P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从 A

的 充 要 条 件 是
y

引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两点. 第 21 题

A

P

M B E O F x

23

(1) 证明:无论 P 点在什么位置,总有| OP |2 = | OQ · OR | ( O 为坐标原点); (2) 若以 OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的 取值范围; 解:(1) 设 OP:y = k x,
?? ?

?? ?

??

?? ?

解法一:设双曲线的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

=1.

依题意知,点P,Q的坐标满足方程组 又条件可设 AR: y = ,
? kab ak ? b ab b a
??

(x – a ),
ab ak ? b
2

解得: OR = (
??
?? ?

? ab ak ? b ? ab

),

同理可得 OQ = (
? kab kab
2

,

kab ak ? b
2

),

? x2 ? 2 ? ?a ? ?y ? ? ?

y b 3 5

2 2

?1



?x ? c ?

?其中 c ?

a ?b
2

2

?②

b a

∴| OQ · OR | =|
?? ?

ak ? b ak ? b

+

ak ? b ak ? b

|=

a b (1 ? k ) |a k
2 2

? b |
2

.

4分

将②式代入①式,整理得 (5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. 设方程③的两个根为x1,x2,若5b2-3a2=0,则 ——3分
3 5

设 OP m2 =
b
?? ?

= ( m, n ) , 则由双曲线方程与 OP 方程联立解得:
a b
2 2 2 2 2

=

,即直线②与双曲线①的两条渐近

?a k

, n2 =
b

k a b
2 2

2

2

2 2

?a k
2 2 2 2

,

线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点同,与题设矛盾,所以5b2-3a2≠0.
k a b b
2 2 2 2 2 2

∴ | OP |2 = :m2 + n2 =
b

a b
2

?a k

+

?a k

=

a b (1 ? k )
2 2 2

根据根与系数的关系,有 ,
x1 ? x 2 ? 6a c 5b ? 3a
2 2 2 2 2

b

2

?a k
2

2

∵点 P 在双曲线上,∴b2 – a2k2 > 0 . ∴无论 P 点在什么位置,总有| OP |2 = | OQ · OR | . (2)由条件得:
a b (1 ? k )
2 2 2



?? ?

??

?? ?

4分 2分

x1 x 2 ? ?

3a c ? 5a b
2

2

5b ? 3a
2

2



——6分

b
2

2

?a k
2

2

= 4ab,

由于P、Q在直线y=
17 4

3 5

(x-c)上,可记为

即 k2 =

4b

? ab
2

ab ? 4 a

> 0 , ∴ 4b > a, 得 e >

2分 P (x1,
3 5

3 5

(x1-c)),Q (x2,

3 5
3

(x2-c)).

47.双曲线的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,过双曲线右焦点且斜率为 线于 P、Q 两点.若 OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.(本小题满分 12 分)

的直线交双曲 由OP⊥OQ得

3 5

( x1 ? c )

·
x1

5

(x2 ? c)

=-1,
x2

整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0.



24

将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得 3a +8a b -3b =0, (a2+3b2)(3a2-b2)=0. 因为 所以 a2+3b2≠0,解得b2=3a2, c= a ? b =2a.
2 2

4

2 2

4

由|PQ|=4,得(x2-x1)2+[ 即 (x2-x1)2=10. ⑥

3 5

(x2-c)-

3 5

(x1-c)]2=42.

将④式代入⑥式并整理得 ——8分
3 5

(5b2-3a2)2-16a2b4=0. 将b2=3a2代入上式,得a2=1,

——10分

由|PQ|=4,得(x2-x1)2=[

3 5

(x2-c)-

(x1-c)]2=42.

将a2=1代入b2=3a2得b2=3. 故所求双曲线方程为 ——10分 x-
2

整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦ 将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1. 将a =1代入b =3a 得 b =3. 故所求双曲线方程为x2-
y
2

y

2

=1.

——12 分

2

2

2

2

3

=1.

——12分 ——4分

3

本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合 分析能力

解法二:④式以上同解法一. 解方程③得x1=
? 3a c ?
2 2

48 定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 y2=x 上移动,记线段 AB 的 中点为 M,求点 M 到 y 轴的最短距离,并求此时点 M 的坐标 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 长度为 3, 那么 x1=y12,x2=y22,(1) 32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1](2) 线段 AB 的中点 M(x,y)到 y 轴的距离为
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40 ab
2

2

5b ? 3a

,x2=

? 3a c ?
2 2

40 ab
2

2

5b ? 3a



——6分

由于P、Q在直线y=

3 5

(x-c)上,可记为P (x1,

3 5

(x1-c)),Q (x2,

3 5

(x2-c)).

由OP⊥OQ,得x1 x2+

3 5

(x1-c)·

3 5

(x2-c)=0.



将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0, 即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0. ——8分

因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.

x ?

x1 ? x 2 2

?

1 2

( y1 ? y 2 ) ?
2 2

1 4

[( y 1 ? y 2 ) ? (( y 1 ? y 2 ) ? 1) ? 1]
2 2

25

?

1 4

[ 2 ( y 1 ? y 2 ) (( y 1 ? y 2 ) ? 1) ? 1]
2 2

1.当
2

a?2 a?2

?

a ?1 a ?1

, 即 a ? 0时 , 直线

PA 和 QB 平行,无交点

王新敞
奎屯

新疆

由 ( 2 )得 x ?

1 4

( 2 ? 3 ? 1) ? x0 ? 5 4

5 4

, 并且当 ( y 1 ? y 2 )

? ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 3 (3)
2

2.当 a

? 0

时,直线 PA 与 QB 相交,设交点为 M(x,y),由(2)式得
2 ) x, a ? 1 ? 2x x? y?2 ,? a ? 2 ? 3x ? y ? 2 x? y?2 ,a ? 2 ? 3y ? x ? 6 x? y?2 .

时 x 取得最小值

y ? 2 ? (1 ?

a ?1

下证 x 能达到最小值,根据题意不妨设 y1>y2 ,由(3)得
? y1 ? y 2 ? 3, 由此解得 y 1 , y 2 ,由 (1) 解得 x 1 , x 2 , 所以 x 可取得最小值 ? ?y1 ? y 2 ? ? 2 , M 点纵坐标 y 0 ? ? M 点坐标为 ( 5 4 , y1 ? y 2 2 2 2 )或 ( 5 4 ,? ? ? 2 2 2 2
2

将上述两式代入(1)式,得
y?2 ? ( x ? 1) 8
2

5 4

.相应的

3y ? x ? 6 3x ? y ? 2 ? ( y ? 1) 8
2

( x ? 2)

整理得 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 即
2 2

? ?1

(*)

)

当 a =-2 或 a =-1 时,直线 PA 和 QB 仍然相交,并且交点坐标也满足(*) 的 式
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49.已知两点 P(-2,2) ,Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为
王新敞
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线段 AB 在直线 L 上移动,如图 求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程(要
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所以(*)式即为所求动点的轨迹方程

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求把结果写成普通方程) 解:由于线段 AB 在直线 y=x 上移动,且 AB 的长 分别是( a , a )和( a +1, a +1),其中 a 为参数 于是可得:直线 PA 的方程是
y?2 ? a?2 a?2 ( x ? 2) (a ? ?2) (1)
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50.已知常数 a ? 0 ,在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 4 a ,O 为 AB 的中点,点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动,且 B E ? C F ? D G ,P 为 GE 与 OF 的交点(如图) ,问是否存在
2

,所以可设点 A 和 B

BC

CD

DA

两个定点,使 P 到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在, 请说明理由 根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在的两定点,使得点 P 到两点 距离的和为定值.
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奎屯 新疆

按题意有 A(-2,0) ,B(2,0) ,C(2,4a) ,D(-2,4a)设 由此有 E(2,4ak) ,F(2-4k,4a) ,G(-2,4a-4ak) M 直线 OF 的方程为: 2 ax ? ( 2 k ? 1) y ? 0 ① 直线 GE 的方程为: ? a ( 2 k ? 1) x ? y ? 2 a ? 0 ②

BE BC

?

CF CD

?

DG DA

? k (0 ? k ? 1)

直线 QB 的方程是
y?2 ? a ?1 a ?1 x ( a ? ? 1) (2)

从①,②消去参数 k,得点 P(x,y)坐标满足方程 2 a x ? y ? 2 ay ? 0
2 2 2

26

整理得

x

2

1 2

?

( y ? a) a
2

2

? 1 当a

2

?

1 2

时,点 P 的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.

当a

2

?

1 2

时,点 P 轨迹为椭圆的一部分,点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长
1 2 1 2

王新敞
奎屯

新疆

当a ?
2

1 2

时,点 P 到椭圆两个焦点( ?

? a , a ), (
2

2 ? a , a ) 的距离之和为定值

2

王新敞
奎屯

新疆

当a

2

?

1 2

时, P 到椭圆两个焦点 点 (0,a

?

a

2

?

1 2

), ( 0 , a ?

a

2

?

1 2

)

的距离之和为定值 2 a .

y D F P G A O B x C E

27


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