放缩法的应用


放缩法在不等式的应用 所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过 程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度” ,否则就不能同向传递了,此法既可以单独 用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式,因其思维 跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学 生的潜能与后继学习能力, 因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。 这类 问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规 律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例 1. 设 a,b 为不相等的两正数,且 a -b =a -b ,求证 1<a+b<
3 3 2 2 2 2 2 2 2

4。 3

证明:由题设得 a +ab+b =a+b,于是(a+b) >a +ab+b =a+b,又 a+b>0,得 a+b>1,又

ab<

1 (a+b) ,而(a+b) =a+b+ab<a+b+ 1 (a+b) ,即 3 (a+b) <a+b,所以 a+b< 4 4 4 4 3
2 2 2 2



故有 1<a+b<

4。 3

例 2. 已知 a、b、c 不全为零,求证:

a2 ? ab ? b2 ? b2 ? bc ? c2 ? c2 ? ac ? a2 > 3 (a ? b ? c) 2
2 2 a2 ? ab ? b2 ? (a ? b ) ? 3 b2 > (a ? b ) ? a ? b ≥a ? b ,同理 4 2 2 2 2

证明:因为

b2 ? bc ? c2 >b ? c , c2 ? ac ? a 2 >c ? a 。 2 2
a2 ? ab ? b2 ? b2 ? bc ? c2 ? c2 ? ac ? a2 > 3 (a ? b ? c) 2

所以

二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同 一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。 例 3. 已知 a、b、c 为三角形的三边,求证: 1<

a + b + c <2 。 b?c a?c a ?b

证明: 由于 a、 、 为正数, b c 所以

b a > a b > c > c , , , b?c a ?b?c a ?c a ?b?c a ?b a ?b?c

所以

a + b + c > a b c + + =1 ,又 a,b,c 为三角形的边, b?c a?c a+b+c a+b+c a+b+c a ?b

1

故 b+c>a, 则

a 为真分数, a < 2a 则 b?c a ?b?c b?c

, 同理

b < 2b c < 2c , , a?c a ?b?c a ?b a ?b?c



a + b + c < 2a 2b 2c + + ? 2. b?c a?c a ?b?c a ?b?c a ?b?c a ?b a + b + c <2 。 b?c a?c a ?b

综合得 1<

三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例 4. 已知 n∈N*,求 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

<2 n 。

证明:因为

1 n

?

2 n? n



2 n ? n ?1

? 2 ( n ? n ? 1) ,则 1 ?

1 2

?

1 3

?

??
,证毕。

1 n

<1 ? 2 ( 2 ? 1) ? 2 ( 3 ? 2 ) ? ? ? 2 ( n ? n ? 1) ? 2 n ? 1< 2 n

例 5. 已知 n ? N 且 a n
*

? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ?? n(n ? 1) ,求证:

n(n ? 1) (n ? 1) 2 对 ? an ? 2 2

所有正整数 n 都成立。

证明:因为

n(n ? 1) ? n 2 ? n ,所以 a n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1) , 2



n(n ? 1) ?
?

n(n ? 1) , 2

所以 a n

n (n ? 1) 3 5 1? 2 2 ? 3 2n ? 1 (n ? 1) 2 ? ??? ? ? ??? ? ,综合知结论成立。 2 2 2 2 2 2 2

例6

设数列 {an } 满足 a1

? 2, an ?1 ? an ?

1 (n ? 1,2,?). (Ⅰ)证明 an ? 2n ? 1 对一切正整数 an

(Ⅱ)令 bn ? n 成立; 题)

an n

(n ? 1,2,?) ,判定 bn 与 bn ?1 的大小,并说明理由(04 年重庆卷理科第(22)

简析 本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有 法 1 用数学归纳法(只考虑第二步) a 2 k ?1
2 ? ak ? 2 ?

1 ? 2k ? 1 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ; 2 ak

法2

2 a 2 n ?1 ? a n ? 2 ?

1 2 2 2 ? a n ? 2 ? ak ?1 ? ak ? 2, k ? 1,2,?, n ? 1. 2 an

2

则 an

2

2 ? a12 ? 2(n ? 1) ? an ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 .

四. 利用重要不等式放缩 1.均值不等式 利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。 例 7 设 Sn 解析

? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ? S n ? (n ? 1) .
2

2

2

此数列的通项为 ak

? k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.
n n 1 k ? k ?1 1 ? k ? ,? ? k ? S n ? ? (k ? ) , 2 2 2 k ?1 k ?1

? k ? k (k ? 1) ?

2 即 n(n ? 1) ? S ? n(n ? 1) ? n ? (n ? 1) . n

2

2

2

2

注:①应注意把握放缩的“度” :上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ab ? a ? b ,若放成 2

k (k ? 1) ? k ? 1则得 S n ? ? (k ? 1) ? (n ? 1)(n ? 3) ? (n ? 1) ,就放过“度”了!
n 2 k ?1

2

2

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里

n 1 1 ??? a1 an
其中, n

? n a1 ? a n ?

a1 ? ? ? a n ? n

2 a12 ? ? ? a n n

? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。
1 1 ? n n n 2n n ?1 ? ?1, 试证: 对每一个 n ? N , a ? b) ? a ? b ? 2 ? 2 . ( a b

例 8 已知 a, b 为正数, 且 (88 年全国联赛题) 简析 由

1 1 1 1 a b ? ? 1得 ab ? a ? b ,又 (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 4 ,故 a b a b b a

0 1 r n ab ? a ? b ? 4 ,而 (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n , 1 r n f (n) ? (a ? b) n ? a n ? b n ,则 f (n) = Cn a n?1b ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn ?1abn?1 , i n ? Cn ?i ,倒序相加得



因为 Cn

1 r n 2 f (n) = Cn (a n?1b ? abn?1 ) ? ? ? Cn (a n?r b r ? a r b n?r ) ? ? ? Cn ?1 (abn?1 ? a n?1b) ,
n

而a

n ?1

b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 ,则

1 r n 2 f (n) = (Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ?1 )(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2n ? 2)(a r b n?r ? a n?r b r )

? (2 n ? 2) ? 2 n ?1 ,所以 f (n) ? (2 n ? 2) ? 2 n ,即对每一个 n ? N ? ,

3

(a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .
2.利用有用结论 例 9 求证 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )? (1 ?

1 3

1 5

1 ) ? 2n ? 1. 2n ? 1

简析 本题可以利用的有用结论主要有: 法 1 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得 a a?m

2 4 6 2n 3 5 7 2 n ? 1 1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n 2 4 6 2n

? ( 2 ? 4 ? 6 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ?
1 3 5 2n ? 1

3

5

1 ) ? 2n ? 1. 2n ? 1

法 2 利用贝努利不等式

(1 ? x) n ? 1 ? nx(n ? N ? , n ? 2, x ? ?1, x ? 0) 的 一 个 特 例

(1 ?

1 )得 1 2 1 (此处 n ? 2, x ? ) ? 1? 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

1?

n n 1 2k ? 1 1 2k ? 1 ? ? ?(1 ? )?? ? 2n ? 1. k ?1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 k ?1 2k ? 1

注:例 9 是 1985 年上海高考试题,以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成 1998 年全国高考文科 试题;进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是: 证明 (1 ? 1)(1 ? 例 10 已知函数

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. (可考虑用贝努利不等式 n ? 3 的特例) 4 7 3n ? 2

f ( x) ? lg

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ,0 ? a ? 1, 给定n ? N ? , n ? 2. n

求证:

f (2 x) ? 2 f ( x)(x ? 0) 对任意 n ? N ? 且 n ? 2 恒成立。 年全国卷压轴题) (90

简析 本题可用数学归纳法证明,详参高考评分标准;这里给出运用柯西( Cauchy)不等式

[? (ai bi )]2 ? ? ai2 ? bi2
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

的简捷证法:

f (2 x) ? 2 f ( x) ? lg

1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x 1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ? 2 lg n n

? [1 ? 2 x ? 3x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ]2 ? n ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x ]
而由 Cauchy不等式得 (1 ? 1 ? 1 ? 2
x

? 1 ? 3 x ? ? ? 1 ? (n ? 1) x ? a ? n x ) 2

? (12 ? ? ? 12 ) ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a 2 ? n 2 x ] ( x ? 0 时取等号)
,得证! ? n ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x ] (? 0 ? a ? 1 ) 例 11 已 知 a1 ? 1, an ?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n . (I ) 用 数 学 归 纳 法 证 明 an ? 2(n ? 2) ; (II ) 对 n ?n 2
2

(05 年辽宁卷第 22 题) ln(1 ? x) ? x 对 x ? 0 都成立,证明 an ? e2 (无理数 e ? 2.71828? ) 4

解析

(II ) 结合第 (I ) 问结论及所给题设条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )的结构特征,可得放缩思路:
1 1 1 1 ? n )a n ? ln a n ?1 ? ln(1 ? 2 ? n ) ? ln a n ? n ?n 2 n ?n 2 1 1 1 1 ? ln a n ? 2 ? n 。于是 ln a n ?1 ? ln a n ? 2 ? n, n ?n 2 n ?n 2
2
n ?1 i ?1

a n ?1 ? (1 ?

?
即 ln an

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ?
i ?1

n ?1

1 1 1 ( 2 ? i ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i ?i 2

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2

? ln a1 ? 2 ? an ? e 2 .
? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的

注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x ( x 作用;当然,本题还可用结论 2 n

? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩:

1 1 1 )(a n ? 1) ? )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ? )? . n(n ? 1) n(n ? 1)
a n ?1 ? (1 ?
? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2 n ?1 n ?1

1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , i(i ? 1) n

即 ln(an 例 12

?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .
1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], n ? N ? , n ? 2.[log 2 n] 表示不超过 log2 n 的最 2 3 n 2

已知不等式

大整数。设正数数列 {an } 满足: a1

? b(b ? 0), an ?

nan?1 , n ? 2. n ? an?1

求证 a n ?

2b , n ? 3. (05 年湖北卷第(22)题) 2 ? b[log2 n]

简析 当 n

? 2 时 an ? nan?1 ? 1 ? n ? an?1 ? 1 ? 1 ,即 n ? an?1 an an?1 an?1 n

n n 1 1 1 1 1 1 )?? . ? ? ?? ( ? a k ak ?1 a n a n ?1 n k ?2 k ?2 k

于是当 n

? 3 时有 1 ? 1 ? 1 [log2 n] ? a n ?
an a1 2

2b . 2 ? b[log2 n]

注:①本题涉及的和式

1 1 1 ? ? ? ? 为调和级数,是发散的,不能求和;但是可以利用所给题 2 3 n

设结论

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n] 来进行有效地放缩; 2 3 n 2

②引入有用结论在解题中即时应用,是近年来高考创新型试题的一个显著特点,有利于培养学生

5

的学习能力与创新意识。 例 13 设 a n

1 ? (1 ? ) n ,求证:数列 {an } 单调递增且 a n ? 4. n
? a ? 0 则 b n?1 ? a n?1 ? (n ? 1)b n (b ? a) (证略)

解析 引入一个结论:若 b 整理上式得 a 以 a ? 1?
n?1

? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? )

1 n ?1 1 1 ) ? (1 ? 1 ) n . , b ? 1 ? 代入( ? )式得 (1 ? n ?1 n ?1 n n

即 {an } 单调递增。

1 n 1 1 1 代入( ? )式得 1 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2n 2 2n 2n 1 此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有 (1 ? ) n ? 4 ,又因为数列 {an } 单调递增, n
以 a ? 1, b ? 1 ? 所以对一切正整数 n 有 (1 ?

1 n ) ? 4。 n

注:①上述不等式可加强为 2

1 ? (1 ? ) n ? 3. 简证如下: n
1 1 1 1 2 n 1 ? (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? C n ? 2 ? ? ? C n n . n n n n

利用二项展开式进行部分放缩: a n 只取前两项有 a n
1 ? 1 ? Cn ?

1 ? 2. 对通项作如下放缩: n 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 k 1 Cn k ? ? ? ?? ? ? ? k ?1 . k! n n n k! 1 ? 2 ? 2 2 n

故有 a n

? 1?1?

1 1 1 1 1 ? (1 / 2) n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? ? ? 3. 2 2 2 1 ? 1/ 2 2

②上述数列 {an } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景: 已知

i, m, n

是正整数,且

1 ? i ? m ? n. ( 1 ) 证 明 n Am ? m An ;( 2 ) 证 明
i i i i

(1 ? m) n ? (1 ? n) m . (01 年全国卷理科第 20 题)
1

简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {bn } : bn
1

? (1 ? n) n

是递减数列;借鉴此结论可有如
1 1

下简 捷证法:数列

{(1 ? n) n }

m n 递 减 , 且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m) ? (1 ? n) , 即

(1 ? m) n ? (1 ? n) m 。
当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努力不等 式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决! 例 14 设 数 列

?an ? 满 足 an?1 ? an2 ? nan ? 1?n ? N ? ? , 当 a1 ? 3 时 证 明 对 所 有 n ? 1,
6



(i)an ? n ? 2 ; (ii)
解析

1 1 1 1 ? ??? ? (02 年全国高考题) 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2
时成立即

(i) 用 数 学 归 纳 法 : 当 n ? 1 时 显 然 成 立 , 假 设 当 n ? k

ak ? k ? 2 , 则 当

n ? k ? 1 时 ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。
(ii ) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 ak ?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得

ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ?
1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

1 1 ? k ?1 . ak ? 1 2

?
i ?1

n

n 1 1 1 ? ? i ?1 ? ? 1 ? a i i ?1 2 4

注:上述证明

(i)

用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:

ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1 。
五 利用单调性放缩 1. 构造数列 如对上述例 7,令 Tn ? S n ?

2n ? 3 (n ? 1) 2 则 Tn ?1 ? Tn ? (n ? 1)( n ? 2) ? ? 0, 2 2
2

? Tn ? Tn?1 ,?{Tn } 递减,有 Tn ? T1 ? 2 ? 2 ? 0 ,故 S n ? (n ? 1) .
2
1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) 3 5 2n ? 1 则 Tn?1 ? ? ? 再如例 9,令 T ? n Tn 2n ? 1

2n ? 2 2n ? 1 2n ? 3

? 1 ,即

Tn ? Tn?1 ,?{Tn } 递增,有 Tn ? T1 ?

2 3
1 3

? 1 ,得证!
1 5

1 2 3 )? 2n ? 1. 并可改造成为探 2n ? 1 3 1 1 1 索性问题:求对任意 n ? 1 使 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? k 2n ? 1 恒成立的正整数 k 的最 3 5 2n ? 1
注: 由此可得例 9 的加强命题 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? 大值;同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论,读者不妨一试! 2.构造函数

例 15 已知函数

f ( x) ? ax ?

3 2 x 的最大值不大于 1 ,又当 x ? [ 1 , 1 ] 时 2 4 2 6

1 f ( x) ? . (Ⅰ)求 a 的 8

值; (Ⅱ)设 0 ? a1 ?

1 1 . (04 年辽宁卷第 21 题) , an ?1 ? f (an ), n ? N ? ,证明 an ? n ?1 2

7

解析 (Ⅰ) a =1 ; (Ⅱ)由 an ?1

2 ? f (an ), 得 an?1 ? an ? 3 an ? ? 3 (an ? 1 ) 2 ? 1 ? 1 且 2 2 3 6 6

an ? 0. 用数学归纳法(只看第二步) ak ?1 ? f (ak ) 在 a ? (0, : k
ak ?1 ? f (ak ) ? f (
例 16 数列

1 是增函数,则得 ) k ?1

1 1 3 1 2 1 )? ? ( ) ? . k ?1 k ?1 2 k ?1 k?2

?xn ? 由下列条件确定: x1 ? a ? 0 , xn?1 ? 1 ? xn ? ? ?
2?

a? (I)证明: ?, n ? N . xn ? ?

对n

? 2 总有 xn ? a ;(II)证明:对 n ? 2 总有 xn ? xn?1 (02 年北京卷第(19)题)
f ( x) ? 1? a? ? x ? ?, 易知 f (x) 在 [ a ,??) 是增函数。 2? x?

解析 构造函数

当n

1? a ? ? k ? 1 时 x k ?1 ? ? x k ? ? 在 [ a ,??) 递增故 xk ?1 ? f ( a ) ? a. ? 2? xk ? ?

对(II)有 xn

1? a? 1? a ? ? xn?1 ? ? x n ? ? ,构造函数 f ( x) ? ? x ? ?, 它在 [ a ,??) 上是增 ? ? 2? xn ? 2? x?

函数,故有 xn

? xn?1 ? ? x n ? ? ? f ( a ) ? 0 ,得证。 2? xn ? ? ?

1?

a ?

注:①本题有着深厚的科学背景:是计算机开平方设计迭代程序的根据;同时有着高等数学背 景—数列

?xn ? 单调递减有下界因而有极限: an ?

a (n ? ??).



f ( x) ?

1? a? 1? a ? 研究其单调性对此数列 ? x ? ? 是递推数列 x n ?1 ? ? x n ? ? 的母函数, ? 2? x? 2? xn ? ?

本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。 六 换元放缩 例 17 求证 1 ? 简析 令 an
n

n ? 1?

2 (n ? N ? , n ? 2). n ?1

? n n ? 1 ? hn ,这里 hn ? 0(n ? 1), 则有
n(n ? 1) 2 hn ? 0 ? hn ? 2 2 2 (n ? 1) ,从而有 1 ? a n ? 1 ? hn ? 1 ? . n ?1 n ?1

n ? (1 ? hn ) n ?

注:通过换元化为幂的形式,为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。

例 18

n 2 (a ? 1) 2 设 a ? 1 , n ? 2, n ? N ,求证 a ? 4
n

.

简析 令 a

? b ? 1 ,则 b ? 0 , a ? 1 ? b ,应用二项式定理进行部分放缩有

8

0 1 2 n 2 a n ? (b ? 1) n ? C n b n ? C n b n ?1 ? C n b n ? 2 ? ? ? C n ? C n b n ? 2 ?
2 2 n ? 2, n ? N ,则 n(n ? 1) b 2 ? n b

n(n ? 1) 2 b , 注 意 到 2

2

4

2 2 (证明从略) ,因此 a n ? n (a ? 1)

4

七 递推放缩 递推放缩的典型例子,可参考上述例 14 中利用 (i ) 部分放缩所得结论 a k ?1 放 缩 来 证 明 (ii ) , 同 理 例 11

? 2ak ? 1 进行递推

(II )

中 所 得

ln a n ?1 ? ln a n ?

1 1 ? n n ?n 2
2



ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ?

1 n(n ? 1)

、例 12 中

1 1 1 ? ? 、 a n a n ?1 n

例 13(Ⅰ)之法 2 所得

2 2 ak ?1 ? ak ? 2 都是进行递推放缩的关键式。

八 分项讨论 例 19 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足

Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1.

(Ⅰ)写出数列 {an } 的前 3 项 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)证明:对任意的 整数 m ? 4 ,有 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7 (04 年全国卷Ⅲ)

a4

a5

am

8

简析

(Ⅰ)略, (Ⅱ) a n ?
n

2 n?2 2 ? (?1) n ?1 . ; 3

?

?

(Ⅲ)由于通项中含有 (?1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论:

当n

? 3 且 n 为奇数时 1 ? 1 ? 3 (
an an?1

1

2 2 n?2

3 2 n?2 ? 2 n?1 ) ? ? 2 n ?3 ? 1 2 n?1 ? 1 2 2 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1 ? 1

?

3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 ,于是 ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) (减项放缩) 2 n ?3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ①当 m ? 4 且 m 为偶数时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ( ? ) ??? ( ? ) a4 a5 a 6 a m?1 a m a 4 a5 am

?

1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2

②当 m

? 4 且 m 为奇数时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1
a4 a5 am
a4 a5 am

(添项放缩)由①知

a m?1

1 1 1 1 7 ? ??? ? ? . 由①②得证。 a 4 a5 a m a m?1 8

数列不等式是高考的一个考点,这类问题是把数列知识与不等式的内容整 合在一起,形成了证明不等式,求不等式中的参数范围,求数列中的最大项,最 小项,比较数列中的项的大小关系,研究数列的单调性等不同解题方向的问题, 而数列的条件的给出是多种多样的,可以是已知的等差数列,等比数列,也可以
9

是一个递推公式,或者是一个函数解析式。数列不等式的证明和解决,要调动证 明不等式的各种手段,如比较法,放缩法,函数法,反证法,均值不等式法,数 学归纳法,分析法等等,因此,这类题目从已知条件给出的信息,求解目标需求 的信息中, 可寻求的解题过程所用的方法是相当丰富的, 并且对于考查逻辑推理, 演绎证明, 运算求解,归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素 材。

放缩法放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法,如当证明 A<B 成立不 容易, 而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小,以达到证明不等式的 方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有:(1)不等式的传递性;(2)等量加不 等量为不等量;(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放 缩技巧有:① 舍掉(或加进)一些项;② 在分式中放大或缩小分子或分母;③ 应用均 值不等式进行放缩。 常用数列不等式证明中的裂项形式: (1)( (2)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ); n(n+1) n n ? 1 n(n+k) k n k ? 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) 2 k k ?1 2 k ?1 k ?1

(3) (4)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k

? 1 1? 1 1 ; ? ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ?
n 1 1 ? ? ? n ? 1?! n! ? n ? 1?!
2 n ? n ?1 ? 1 1 1 2 ? ? ? 2( n ? n ? 1) ) 2 n n(n ? 1) n n ? n ?1

(5)

(6) 2 n ? 1 ? n ?

(7) 0 1 2 3 n n 0 1 n n 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2n ? 1

10

已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 { an } 的 前 n 项 和 满 足 S n ? 1 , 且

6S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N *
(1)求{ an }的通项公式; (2)设数列{ bn }满足 an (2bn ? 1) ? 1 ,并记 Tn 为{ bn }的前 n 项和,求证:

3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3), n ? N *
(Ⅰ)解:由 a1 ? S1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1=1 或 a1=2,由假设 a1=S1>1, 因此 a1=2。 又由 an+1=Sn+1- Sn= (an?1 ? 1)(an?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) , 得 an+1- an-3=0 或 an+1=-an 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。 因此 an+1- an-3=0。从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故{an}的通 项为 an=3n-2。 (Ⅱ)证法一:由 an (2 b ? 1) ? 1 可解得
? 1 ? 3n ? ? log z ; b z ? log z ?1 ? ? ? an ? 3n ? 1 ?

1 6

1 6

1 6

? 从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log z ? · · ·
?3 6 ?2 5
3

?3 6 ?2 5

3n ? ?。 3n ? 1 ?

因此 3Tn ? 1 ? log z (a n ? 3) ? log z ? · ·?·
?3 6 ?2 5 3n ? 2 ,则 ? · 3n ? 1 ? 3n ? 2
3
3

3n ? 2 。 ? · 3n ? 1 ? 3n ? 2

令 f ( x) ? ? · ·?·

f (n ? 1) 3n ? 2 ? 3n ? 3 ? (3n ? 3) 3 。 ? ·? ? ? f (n) 3n ? 5 ? 3n ? 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2

因 (3n ? 3) 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ? 9n ? 7>0 ,故
f (n ? 1)>f (n) .

特别的 f (n) ? f (1) ?

27 >1 。从而 3Tn ? 1 ? log(a n ? 3) ? log f (n)>0 , 20
11

> 即 3Tn ? 1 log2 (a n ? 3) 。

证法二:同证法一求得 bn 及 Tn。 由二项式定理知当 c>0 时,不等式
(1 ? c) 3> ? 3c 成立。 1

由此不等式有
1? ? 1? 1 ? ? ? 3Tn ? 1 ? log2 2?1 ? ? ?1 ? ? ??1 ? ? 2? ? 5? 3n ? 1 ? ? ?
3 ?? 3? ? 3 ? ? >log2 2?1 ? ??1 ? ? ? ?1 ? ? 2 ?? 5? ? 3n ? 1 ? ?
3 3 3

= log2 2· · ·? ·

5 8 2 4

3n ? 2 ? log2 (3n ? 2) ? log2 (an ? 3) 。 3n ? 1

证法三:同证法一求得 bn 及 Tn。 令 An= · ·?· 因
3 6 2 5 3n 3 7 3n ? 1 5 8 3n ? 2 ,Bn= · ·?· ,Cn= · ·? 。 · 3n 4 6 3n 4 7 3n ? 1

3n 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 2 3 ,因此 An>An Bn Cn ? 。 > > 3n ? 1 3n 3n ? 1 2
3n ? ?2 6 3Tn ? 1 ? l o 2 2? · ·? g · g 3 ? ? l o 2 2 Ax 3 5 3n ? 1 ? ?
3

从而

> log2 2 An Bn C n ? log2 (3n ? 2) ? log2 (a n ? 3)

在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1 , n ? N .
*

(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立.
*

(Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1 ,得

an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .
又 a1 ? 1 ? 1 ,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列.
12

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为

an ? 4n?1 ? n .
所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?

4n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2

(Ⅲ)证明:对任意的 n ? N ,
*

S n ?1 ? 4 S n ?

? 4 n ? 1 n( n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3

1 ? ? (3n 2 ? n ? 4) ≤ 0 . 2
所以不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立.
*

已知函数 f(x)=x2-4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的 交点为(xn+1,u) (u,N +) ,其中为正实数. (Ⅰ)用 xx 表示 xn+1; (Ⅱ)若 a1=4,记 an=lg 通项公式; (Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3. 解析:本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、计 算及解决问题的能力. (Ⅰ)由题可得 f '( x) ? 2 x . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 ( xn , f ( xn )) 处的切线方程是: y ? f ( xn ) ? f '( xn )( x ? xn ) .
2 即 y ? ( xn ? 4) ? 2xn ( x ? xn ) . 2 令 y ? 0 ,得 ?( xn ? 4) ? 2xn ( xn?1 ? xn ) .

xn ? 2 ,证明数列{a1}成等比数列,并求数列{xn}的 xn ? 2

13

2 即 xn ? 4 ? 2xn xn?1 .

显然 xn ? 0 ,∴ xn ?1 ?

xn 2 ? . 2 xn
2

x x (x ? 2 ) 2 2 (Ⅱ) xn ?1 ? n ? , xn?1 ? 2 ? n ? ? 2 ? n 由 知 2 xn 2 xn 2 xn

( xn ? 2)2 , 同理 xn?1 ? 2 ? . 2 xn



xn ?1 ? 2 x ?2 2 ?( n ) . xn ?1 ? 2 xn ? 2

从而 lg

xn?1 ? 2 x ?2 ,即 an?1 ? 2an .所以,数列 {an } 成等比数列. ? 2lg n xn?1 ? 2 xn ? 2
x1 ? 2 ? 2n?1 lg 3 . x1 ? 2

故 an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 lg

即 lg

xn ? 2 ? 2n?1 lg 3 . xn ? 2
n?1 xn ? 2 ? 32 xn ? 2

从而

所以 xn ?

2(32 ? 1) 32 ? 1 2(32 ? 1) 32 ? 1
n?1 n?1 n?1

n?1

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 xn ? ∴ bn ? xn ? 2 ?
n?1



4 32 ? 1
n?1

?0

b 32 ? 1 1 1 1 1 ∴ n?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 21?1 ? bn 3 3 ?1 3 ? 1 3 3
当 n ? 1 时,显然 T1 ? b1 ? 2 ? 3 .
1 1 1 当 n ? 1 时, bn ? bn ?1 ? ( ) 2 bn ? 2 ? ? ? ( ) n ?1 b1 3 3 3

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
1 1 ? b1 ? b1 ? ? ? ( ) n ?1 b1 3 3

14

1 b1[1 ? ( ) n ] 3 ? 1 1? 3 1 ? 3 ? 3 ? ( )n ? 3 . 3
综上, Tn ? 3 (n ? N *) .

已知实数列 {an }是 等比数列,其中 a 7 ? 1, 且a4 ,45 ? 1, a5 成等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , 证明: S n , <128 (n ? 1,2,3, ?). 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q(q ? R ) , 由 a7 ? a1q6 ? 1,得 a1 ? q?6 ,从而 a4 ? a1q3 ? q?3 , a5 ? a1q4 ? q?2 , a6 ? a1q5 ? q?1 . 因为 a4,a5 ? 1,a6 成等差数列,所以 a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) , 即 q?3 ? q?1 ? 2(q?2 ? 1) , q?1 (q?2 ? 1) ? 2(q?2 ? 1) .
1 ?1? 所以 q ? .故 an ? a1q n?1 ? q ?6 ? n?1 ? 64 ? ? q 2 ?2?
n ?1



? ? 1 ?n ? 64 ?1 ? ? ? ? n a (1 ? q n ) ? ?2? ? ? ? 128 ?1 ? ? 1 ? ? ? 128 . (Ⅱ) Sn ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 1? q ? ?2? ? ? ? 1? 2
3 ? an ?1 ,n ? 2,4,… . 3, 2

1) 设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,an ?

(1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? an 3 ? 2an ,证明 bn ? bn?1 ,其中 n 为正整数. 解: (1)由 an ?
3 ? an ?1 ,n ? 2,4,…, 3, 2
15

1 整理得 1 ? an ? ? (1 ? an ?1 ) . 2

又 1 ? a1 ? 0 ,所以 {1 ? an } 是首项为 1 ? a1 ,公比为 ?

1 的等比数列,得 2

? 1? an ? 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? ? 2?
(2)方法一: 由(1)可知 0 ? an ?
2 2 那么, bn?1 ? bn

n ?1

3 ,故 bn ? 0 . 2

2 2 ? an ?1 (3 ? 2an ?1 ) ? an (3 ? 2an )

3 ? an ? 2 ? 3 ? an ? ? ?? ? ?3 ? 2? ? ? an (3 ? 2an ) 2 ? ? 2 ? ? 9a ? n (an ? 1) 2 . 4
2

2 2 又由(1)知 an ? 0 且 an ? 1 ,故 bn?1 ? bn ? 0 ,

因此 方法二:

bn ? bn?1,n 为正整数.

3 由(1)可知 0 ? an ? ,an ? 1 , 2 3 ? an 因为 an ?1 ? , 2

所以

bn?1 ? an?1 3 ? 2an?1 ?

(3 ? an ) an . 2
3

? 3 ? an ? 由 an ? 1 可得 an (3 ? 2an ) ? ? ? , ? 2 ?

? 3 ? an ? 即 a (3 ? 2an ) ? ? ? ?an ? 2 ?
2 2 n

两边开平方得

an 3 ? 2an ?

3 ? an ? an . 2

即 bn ? bn?1,n 为正整数.

16

2, … 已知数列 ?an ? 中 a1 ? 2 , an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) , n ? 1, 3, .

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 中 b1 ? 2 , bn?1 ?
3bn ? 4 2, … , n ? 1, 3, , 2bn ? 3

2, … 证明: 2 ? bn ≤ a4n?3 , n ? 1, 3, .

解: (Ⅰ)由题设:

an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2)

? ( 2 ?1)(an ? 2) ? ( 2 ?1)(2 ? 2) ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? 2 , an?1 ? 2 ? ( 2 ?1)(an ? 2) .
所以,数列 an ? 2 是首项为 2 ? 2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列,

?

?

an ? 2 ? 2( 2 ?1)n ,
2, … 即 an 的通项公式为 an ? 2 ?( 2 ? 1)n ? 1? , n ? 1, 3, . ? ?

(Ⅱ)用数学归纳法证明. (ⅰ)当 n ? 1 时,因 2 ? 2 , b1 ? a1 ? 2 ,所以

2 ? b1 ≤ a1 ,结论成立.
(ⅱ)假设当 n ? k 时,结论成立,即 2 ? bk ≤ a4k ?3 , 也即 0 ? bk ? 2 ≤ a4k ?3 ? 3 . 当 n ? k ? 1 时,
bk ?1 ? 2 ? 3bk ? 4 ? 2 2bk ? 3

?

(3 ? 2 2)bk ? (4 ? 3 2) 2bk ? 3

17

?

(3 ? 2 2)(bk ? 2) ? 0, 2bk ? 3
1 1 ? ? 3? 2 2 , 2bk ? 3 2 2 ? 3



所以

bk ?1 ? 2 ?

( 3 ?

2 bk ? ( 2 ) 2bk ? 3

2 )

? (3 ? 2 2)2 (bk ? 2)

≤ ( 2 ?1)4 (a4k ?3 ? 2)
? a4k ?1 ? 2 .
也就是说,当 n ? k ? 1 时,结论成立.
2, … 根据(ⅰ)和(ⅱ)知 2 ? bn ≤ a4n?3 , n ? 1, 3, .

构造新数列与数列中的放缩法
数列问题中的构造新数列与放缩法证明不等式在近几年高考题中经常出现。 这类题目的 难度及区分度往往很大,考生不容易掌握,有时甚至无从下手。现通过几个具体问题的分析 谈谈常用的构造数列的方法与放缩手段,希望对众考生的备考有所帮助. 例 1 已知数列{a n }满足:a 1 =1 且 2an ? 3an?1 ? (1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 设 m ? N ? ,m ? n ? 2,证明(a n +
1 1 m2 ? 1 ) m (m-n+1) ? 2n m

1 2 n?2

(n ? 2) .

分析:这是 06 年河北省高中数学竞赛的一道解答题(1)大家都知道数列的递推公式往 往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推公式 由已知有 a n =

3 1 an?1 ? n?1 ,学生对形如 an ? Aan?1 ? B( AB ? 0, 且A ? 1 , A, 是常数) B 2 2

形式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生, 本题中的递推 关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?

x 3 x 3 c 3 1 ? (an?1 ? n?1 )( n ? 2) 即 an ? an?1 ? n?1 与 an ? an?1 ? n?1 比 n 2 2 2 2 2 2 2 1 3 n 1 3 1 较系数得 c=1.即 an ? n ? ( ) an ? n ? (an?1 ? n?1 ) 2 2 2 2 2
不妨设 an ?

18

1 3 1 3 3 ? ,故{ an ? n }是首项为 公比为 的等比数列, 2 2 2 2 2 3 n 1 故 an ? ( ) ? n 2 2
又 a1 ? (2) 这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.

即证 (

3 m m2 ? 1 ,当 m=n 时显然成立。易验证当且仅当 m=n=2 时, ) (m ? n ? 1) ? 2 m
n

等号成立。

3 设 bn ? ( ) m (m ? n ? 1) 下 面 先 研 究 其 单 调 性 。 当 m >n 2

n

时 ,

bn 3 ? m ? n ?1 3 ? 1 ? ( ) m( ) ? ( ) m (1 ? ), bn?1 2 m?n 2 m?n
1 1

?(

bn m 3 1 m 2 1 4 ) ? ( ) ?1 (1 ? ) ? (1 ? m ? ) ? ? 1? bn ? bn?1 bn?1 2 m?n 3 m 3
m2 ? 1 3 m ?1 , 即证 ( ) m ? 即数列{ bn }是递减数列.因为 n ? 2,故只须证 b2 ? 。 m 2 m
2

事实上, (

m ?1 m 1 1 5 1 9 1 2 ) ? 1 ? Cm ? ? Cm ? 2 ? ? ? 故上不等式成立。综上, m m m 2 2m 4

原不等式成立。无独有偶,在不到 1 个月的 06 年全国一卷高考题 22 中恰出现了本例 中构造数列求通项公式 an 的模型。有兴趣的同学可找做一做。 例 2 设数列{ an }满足 a1 ? 3, an?1 ? 2an ? n ? 1 (1) 求{ an }的通项公式; (2) 若 c1 ? 1, bn ? cn?1 ? cn ?

1 1 1 , dn ? ? an ? n cn cn?1
1 3

求证:数列{ bn ? d n }的前 n 项和 sn ?

分析: (1)此时我们不妨设 an?1 ? A(n ? 1) ? B ? 2(a n ? An ? B) 即 an?1 ? 2an ? An ? A ? B 与已知条件式比较系数得 A ? ?1, B ? 0.

? an?1 ? (n ? 1) ? 2(an ? n) 又 a1 ? 1 ? 2,?{an ? n} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。

? an ? n ? 2n ,即an ? 2n ? n .
(3) 由(1)知 an ? 2 ? n,? bn ?
n

1 . 当 n ? 2 时, 2n
19

cn ? c1 ? (c2 ? c1 ) ? (c3 ? c2 ) ? ... ? (cn ? cn?1 ) ? 1 ? b1 ? b2 ? ......? bn?1 1 1? n 1 1 1 2 ? 2? 1 . ? 1 ? ? 2 ? ... ? n?1 ? 1 2 2 2 2 n?1 1? 2
当 n=1 时 , c1 =1 也 适 合 上 式 , 所 以

cn ? 2 ?

1 2 n?1

, 故

bn d n ?

1 1 1 1 ( ? ) ? n?1 n 1 2 2? 1 (2 ? 2)(2n?1 ? 1) 2? n n?1 2 2
n?1

方法一:? 2

? 2 ? 2 n , 2 n?1 ? 1 ? 3 (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.

必须要有执果索因的分析才可推测出.)

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? 1 . ? bn d n ? ,? S n ? ? ? ... ? ? ? n 2 n 3? 2 3? 2 3? 2 3? 2 6 1? 1 3 2n 3 2
方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现 此种处理达不到目的.但是当 n ? 3 时,我们看:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? n?1 由前二项会得到 ? n ?1 2 ? 3 6 ? 7 14 ? 15 (2 ? 2) ? (2 ? 1) 3 7 1 1 1 1 1 1 1 这样S n ? ? ? ? ? ? ... ? n?1 ? n?1 我们可重新加括号得 6 6 7 14 15 2 ? 2 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( n ? n?1 )] ? n?1 3 7 14 15 30 2 ?1 2 ? 2 2 ?1 Sn ?
1 1 1 ? n?1 ? 0, n?1 ?0 2 ?1 2 ? 2 2 ?1 1 故sn ? 得证.这样也实现了我们的初 步想法.也易让学生接受 . 3 显然
n

易验证当 n=1,2 时 sn ?

1 1 . 综上 sn ? 3 3

下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题. 例 3 已知正项数列{ an }满足 a1 ? 1, an?1 ? (1) 判断数列{ an }的单调性; (2) 求证:

an ?

1 ? an , ( n ? N ? ) 2 (n ? 1)

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 an an?1 (n ? 1)

20

分析: (1)? an?1 ? an ?

1 ? 0故 an?1 ? an ,即 an?1 ? an (n ? 1) 2

故数列{ an }为递增数列.

1 1 1 ? ? 2 an?1 (n ? 1) (2) 不妨先证 an
an?1 ? an an an?1

1 1 ? ? an an?1
再证:

?

an (n ? 1)
2

an an?1

?

an 1 1 ? ? . 2 (n ? 1) an?1 (n ? 1) 2

1 1 1 1 原解答中放缩技巧太强,下面给出另一种证法 ? ? ? n ?1 n ? 2 an an?1

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 2 ? 2 ? ... ? ? 2 3 (n ? 1) 2 a1 an?1 a1 a2 a2 a3 an an?1

1 1 1 1 1 ? ? ... ? (用到了累差迭加法及 ? 这种常用的放缩手段 ). 2 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) (n ? 1) n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ... ? ? ? 1? 2 2 3 n n ?1 n ?1
? an?1 ? n ? 1 ? an?1 ? an ? ? ? an 1 an ? an [1 ? ] (n ? 1) 2 (n ? 1) 2

an an?1 ?1? an (n ? 1) 2 1 1 ? ? an an?1 an?1 ? an an an?1

?

an (n ? 1) 2 an an?1

?

1 (n ? 1) 2 an?1 an

?

1 (n ? 1) 2 [1 ? an ] (n ? 1) 2

?

1 an (n ? 1)(n ? 1 ? ) n ?1

这种证法还是比较自然 , 也易让学生接受 . 的 .

当 n ? 2 时,

an an ? ?1 n ?1 n

?

1 1 1 1 1 . ? ? ? ? an an?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
21

易验证当 n=1 时,上式也成立. 综上,故有

1 1 1 1 1 成立. ? ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 an an?1 (n ? 1)

通过以上三例,我们发现通过递推公式,有的数列可以通过构造新数列的方法,构造出一个我 们一个较熟悉的数列,从而求出通项公式,这也是一种化归能力的体现.有的数列题目虽不能 求出通项公式,但我们可以研究其隐含的性质如单调性等来解决问题.放缩法虽然技巧性较强, 但多数均是一些常用的放缩手段.此类问题考查了学生的灵活性与分析问题及运用知识解决 问题的能力.也正为此,这种类型的题目越来越受到高考命题者的青睐

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