2015-2016学年高中数学 1.2.2 绝对不等式的解法(一)练习 新人教A版选修4-5


1.2.2

绝对值不等式的解法(一)

会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:①|ax+b|≤c; ②|ax+b|≥c.

含有绝对值的不等式的两种基本的类型 第一种类型:设 a 为正数.根据绝对值的意义,不等式|x| <a 的解集是{x|-a< x< a},它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合,是开区间(-a,a),如右图 所示. 如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解. 思考 1 |x|<1 的解集为________. 答案: {x|-1<x<1} 第二种类型:设 a 为正数.根据绝对值的意义,不等式|x|>a 的解集是{x|x>a 或 x< -a}. 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合, 是两个开区间(-∞, -a), (a,+∞)的并集,如右图所示. 同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解. 思考 2 |x|>1 的解集为________. 答案: {x|x<-1 或 x>1}

一 层 练 习 1.不等式|3x-2|>4 的 解集是( A.{x|x>2}
? ? ? 2 C.?x?x<- 或x>2? 3 ? ? ? ? ? 2? B.?x?x<- ? 3? ? ? ? ? 2 ? D.?x?- <x<2? ? ? 3 ?

)

答案: C

1

2.不等式 x+3>|2x-1|的解集是________.

? 2 ? 答案: ?- ,4? ? 3 ?
3.不等式|x-1|≤x 的解集是________.

?1 ? 答案: ? ,+∞? ?2 ?
4.在实数范围内不等式||x-2|-1|≤1 的解集是________. 答案: [0,4]

二 层 练 习
? ?x(x+2)>0, ?|x|<1 ?

5.(2014·全国卷)不等式组?

的解集为(

)

A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1< x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}
?x(x+2)>0, ? ?x>0或x<-2, ? 解析:由? 得? ? ? ?|x|<1 ?-1<x<1,

即 0<x<1. 答案:C

6.不等式?

?x-2?>x-2的解集是( ? x ? x ?

)

A.(0,2) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞) 解析:由? 答案:A 7.已知 A={x||x+2|≥5},B={x||3-x|<2},则 A∪B 等于________. 答案:{x|x≤-7或x>1}
2

?x-2?>x-2可得x-2<0,即 0<x<2.故选 A. ? x x ? x ?

8.不等式|5x-x |<6 的解集是________. 答案:{x|-1<x<2 或 3<x<6} 9.若不等式|kx-4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3},则实数 k=________. 解析:解法一 由|kx-4|≤2 可得 -2≤kx-4≤2,即 2≤kx≤6,而 1≤x≤3,所以 k =2.

2

?|k-4|=2, ? 解法二 由题意可知 x=1,x=3 是|kx-4|=2 的两 根,则? 解得 k=2. ? ?|3k-4|=2,

答案:2 10.解不等式 x -2|x|-3>0. 2 解析:当 x≥0 时,原不等式可化为 x -2x-3>0, ∴不等式的解为 x>3. 2 当 x<0 时,原不等式可化为 x +2x-3>0, ∴不等式的解为 x<-3. 综上可得,原不等式的解集为: {x|x>3 或 x<-3}.
? ? 5 1? 11.(2014·湖南高考理科)若关于 x 的不等式|ax-2|<3 的解集为?x?- <x< ?,则 3? ? ? 3
2

a=______.
解析:由|ax-2|<3 得到-3<ax-2<3,-1<ax<5,
? ? 5 1? 又知道解集为?x?- <x< ? 3 3? ? ?

所以 a=-3. 答案:-3 12.解下列不等式: (1)2|x|+1>7; (2)|x-a|≤b(b>0); (3)|x-a|≥b(b>0) ; (4)|x-a|<|x-b|(a≠b). 解析:(1)不等式的解集为 {x|x>3 或 x<-3}. (2)不等式的解集为{x|a-b≤x≤a+b}. (3)不等式的解集为{x|x≤a-b 或 x≥a+b}. (4)①如果 a>b,则 b-a<0, 故|x-a|<|x-b|?x>

a+b
2

.

②如果 a<b,则 b-a>0, 故|x-a|<|x-b|?x< 故原不等式的解集: 当 a >b 时为?x?x>
? ?, 2 ? ? ? a+b? ?. 当 a<b 时为?x?x< 2 ? ? ? ?

a+b
2

.

? ?

a+b?

三 层 练 习

3

3 1 * 13.设不等式|x-2|<a(a∈N )的解集为 A,且 ∈A, ?A. 2 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值. 3 1 解析:(1)因为 ∈A,且 ?A, 2 2 3 1 所以| -2|<a 且| -2|≥a, 2 2 1 3 * 解得 <a≤ ,又因为 a∈N ,所以 a=1. 2 2 (2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2 时取等号,所以 f(x)的最小值为 3.

14.设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值. 解析:(1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1| ≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤-1.故不 等式 f(x)≥3x+2 的解集为 {x|x≥3 或 x≤-1}. (2) 由 f(x)≤0 得 |x - a| + 3x≤0. 此 不 等 式 化 为 不 等 式 组 ?
? ?x≥a, ?x-a+3x≤0 ?



? ?x≤a, ? ? ? 即? a ? ?a-x+3x≤0, ?x≤ ?
4

x≥a, ?x≤a, ? 或? a ?x≤- .

?

2

因为 a>0,所以不等式组的解集为?x|x≤- ?. 2? ? 由题设可得- =-1,故 a=2. 2

?

a?

a

解含有绝对值的不等式的总体思路是: 将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等 式去解,依据的是同解性,对同解性 应理解为:“|x|”中的 x 可以是任何有意义的数学式 子 f(x), 因此从结论上说, |f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解, |f(x)|>g(x)与 f(x) >g(x)或 f(x)<-g(x)同解.掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键,数形结合法解不 等式是另一个重要的解题途径,为此要熟练掌握函数|f(x)|的图象和画法.

4


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