浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高二上学期第一次质检数学(理)试卷 Word版含解析


a

2014-2015 学年浙江省杭州市富阳市场口中学高二(上)第一次 质检数学试卷(理科)
一.选择题(每小题 4 分,计 40 分) 1.垂直于同一条直线的两条直线一定( ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能 2.下面 4 个命题: ①若直线 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面 ②若直线 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交 ③若直线 a∥b,b∥c,则 a∥b∥c ④若直线 a∥b,则 a,b 与直线 c 所成的角相等. 其中真命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.一直异面直线 a,b 分别在α,β内,面α∩β=c,则直线 c( ) A. 一定与 a,b 中的两条都相交 B. 至少与 a,b 中的一条平行 C. 至多与 a,b 中的一条相交 D. 至少与 a,b 中的一条相交 4.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图) ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则 所形成的旋转体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

5.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图为 正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( )

A.

B.

C. 6 D. 12

6.一个骰子由 1﹣6 六个数字组成,请你根据图中的三种状态所显示的数字,推出“?”处

的数字式(



A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 7.下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的 一个图是( )

A.

B.

C.

D.

8.一棱台两底面周长的比为 1:5,过侧棱的中点作平行于底面的截面,则该棱台被分成两 部分的体积比是( ) A. 1:125 B. 27:125 C. 13:49 D. 13:62 9. α、 β、 γ表示不同平面, m、 n 表示不同直线, 则下列说法中可以判定α∥β的是 ( ①α⊥γ,β⊥γ; ②由α内不共线的三点作平面β的垂线,各点与垂足间线段的长度都相等; ③m∥n,m⊥α,n⊥β; ④m、n 是α内两条直线,且 m∥β,n∥β. A. ①② B. ② C. ③④ D. ③ )

10.如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1、BC1 的中点,则以下结论中不成 立的是( )

A. EF 与 BB1 垂直 B. EF 与 BD 垂直 C. EF 与 CD 异面 D. EF 与 A1C1 异面

二.填空题(每小题 4 分,计 28 分) 11.直线 AB、AD? α,直线 CB、CD? β,点 E∈AB,点 F∈BC,点 G∈CD,点 H∈DA,若直 线 EH∩直线 FG=M,则点 M 在 上. 12.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,若过 A、C、B1 三点的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 l,则 l 与 A1C1 的位置关系是 . 13.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,若 AC=BD=a,且 AC 与 BD 所成的角为 60°,则四边形 EFGH 的面积是 . 14.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H 为垂足,α截球 O 所得 截面的面积为π,则球 O 的表面积为 . 15.如图所示,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面 直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是 .

16.已知三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥面 BCD,BC⊥CD,AB=BC=CD=1,则 BD 与平面 ACD 所成角的 大小为 . 17.已知球面(x﹣1) +(y+2) +(z﹣3) =9 与点 A(﹣3,2,5) ,则球面上的点与点 A 的距离的最大值和最小值分别为 .
2 2 2

三.解答题(共 5 小题,计 52 分) 18.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) (1)试画出它的直观图;

(2)求它的表面积和体积.

19.已知平面α∥β,直线 AB? β,且直线 AB∥α,求证:AB∥β. 20.如图,斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=3,AC=2,AB⊥AC,A1C1⊥BC1 侧棱与底面成 60°角. (1)求证:AC⊥平面 ABC1; (2)求证:C1 在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上; (3)求此三棱柱体积的最小值.

21.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=2,AB=AC=1,∠BAC=90°,点 M 是 BC 的中点, 点 N 在侧棱 CC1 上,NM⊥AB1. (1)求证:平面 AB1M⊥平面 AMN; (2)求异面直线 B1N 与 AB 所成的角的正切值; (3)求二面角 A﹣B1N﹣M 的大小.

22. 如图, 在矩形 ABCD 中, , BC=3, 沿对角线 BD 将△BCD 折起, 使点 C 移到点 C′, 且 C′在平面 ABD 的射影 O 恰好在 AB 上,则以 C′,A,B,D 为顶点,构成一个四面体. (1)求证:BC′⊥面 ADC'; (2)求二面角 A﹣BC′﹣D 的正弦值; (3)求直线 AB 和平面 BC′D 所成的角的正弦值.

2014-2015 学年浙江省杭州市富阳市场口中学高二(上) 第一次质检数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 4 分,计 40 分) 1.垂直于同一条直线的两条直线一定( ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 分类讨论. 分析: 根据在同一平面内两直线平行或相交,在空间内两直线平行、相交或异面判断. 解答: 解:分两种情况:①在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行; ②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面. 故选 D 点评: 本题主要考查在空间内两条直线的位置关系. 2.下面 4 个命题: ①若直线 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面 ②若直线 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交 ③若直线 a∥b,b∥c,则 a∥b∥c ④若直线 a∥b,则 a,b 与直线 c 所成的角相等. 其中真命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:在①中:如图 1 所示:直线 a 与 b 异面,b 与 c 异面, 但是直线 a 与 c 平行,所以①错误; 在②中:如图 2 所示:直线 a 与 b 相交,b 与 c 相交, 但是直线 a 与 c 异面,所以②错误;

在③中:根据公理 4 可知:平行具有传递性, 即若直线 a∥b,b∥c,则直线 a∥b∥c,所以③正确; 在④中:不管是平面中的直线所成的角,还是异面直线所成角, 根据等角定理可知:若直线 a∥b, 则 a、b 与 c 所成的角相等,即④正确. 故选:B. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 3.一直异面直线 a,b 分别在α,β内,面α∩β=c,则直线 c( ) A. 一定与 a,b 中的两条都相交 B. 至少与 a,b 中的一条平行 C. 至多与 a,b 中的一条相交 D. 至少与 a,b 中的一条相交 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据平行公理,异面直线判定,逐项进行判断,进而得到答案. 解答: 解:对于 A:若直线 c 与 a,b 中的一条相交,另一条平行也可以,故 A 错误; 对于 B:c 与 a,b 都平行,得出 a,b 平行,与 a,b 异面矛盾,故 B 错误; 对于 C:c 可以和 a,b 都相交,故 C 错误; 对于 D:如果 c 与 a,b 均不相交,则直线 c 与 a,b 均平行,与已知矛盾,故 D 正确; 故选 D 点评: 本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系,其中熟练掌握空间直线不 同位置关系的定义及几何特征是解答本题的关键. 4.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图) ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则 所形成的旋转体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 组合几何体的面积、体积问题. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积,结合题意计算可得答案. 解答: 解:依题意可知,旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥, 所以 OA= ,OB=1 所以旋转体的体积: 故选:A. =

点评: 本题考查圆锥的体积,考查空间想象能力,是基础题. 5.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图为 正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( )

A.

B.

C. 6 D. 12

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;图表型. 分析: 由三视图及题设条件知,此几何体为一个正六棱锥,其标点在底面的投影是底面的 中心,底面是一个正六边形,欲求侧视图的面积,由于其是一个等腰三角形,其高为棱锥的 高,底面边长是六边形相对边长的距离,求出此两量的长度,即可求其面积. 解答: 解:此几何体为一个正六棱锥,其顶点在底面的投影是底面的中心 由于正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形,其高为 高为 又中心到边为的距离为 故侧视图的面积为 ,故侧视图中三角形的底边长为 = = ,即侧视图中三角形的

故选 B. 点评: 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考 查三视图与实物图之间的关系, 用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公式 求表面积与体积,本题求的是正六棱锥的侧视图的面积,由三角形面积公式直接求即可.三 视图的投影规则是: “主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等” ,三视 图是新课标的新增内容,在以后的高考中有加强的可能. 6.一个骰子由 1﹣6 六个数字组成,请你根据图中的三种状态所显示的数字,推出“?”处

的数字式(



A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 常规题型;空间位置关系与距离. 分析: 由图中的前两个状态可知, “?”处的数字可能为什 1 或 6,进一步看状态一可知, 不可能为 1. 解答: 解:由图中的前两个状态可知, 1 的周围为 2,3,4,5; 则“?”处的数字可能为什 1 或 6; 从状态一可知,不可能为 1; 故为 6, 故选 A. 点评: 本题考查了学生的空间想象力,属于基础题. 7.下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的 一个图是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 图表型. 分析: 由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行, 再判断是否在同一个平面内. 解答: 解:A、有题意和长方体知,PS∥QR,则 P、Q、R、S 四个点共面,故 A 不对; B、有题意和长方体知,PS∥QR,则 P、Q、R、S 四个点共面,故 B 不对; C、因 PR 和 QS 分别是相邻侧面的中位线,所以 PS∥QR,即 P、Q、R、S 四个点共面,故 C 不对; D、根据图中几何体得,P、Q、R、S 四个点中任意两个点都在两个平面内,并且任意两个点 的连线既不平行也不相交,故四个点共面不共面,故 D 对; 故选 D. 点评: 本题考查了公理 2 以及推论的应用、棱柱和棱锥的结构特征,主要根据中点构成中 位线的性质和几何体进行判断. 8. (4 分) (2014 秋? 富阳市校级月考)一棱台两底面周长的比为 1:5,过侧棱的中点作平 行于底面的截面,则该棱台被分成两部分的体积比是( ) A. 1:125 B. 27:125 C. 13:49 D. 13:62 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意可得 3 个面的面积比为 1:9:25,代入棱台的体积公式可得. 解答: 解:由题意设上、下底面对应的边的分别为 x:5x, 故截面上的对应边为 3x,棱台的高为 2h, 即对应边的比为:1:3:5,故面积比为 1:9:25, 不妨设为 s,9s,25s,

故体积比为

=

故选 C. 点评: 本题考查棱台的结构特点,涉及多边形的相似比和面积比的关系,属基础题. 9. α、 β、 γ表示不同平面, m、 n 表示不同直线, 则下列说法中可以判定α∥β的是 ( ①α⊥γ,β⊥γ; ②由α内不共线的三点作平面β的垂线,各点与垂足间线段的长度都相等; ③m∥n,m⊥α,n⊥β; ④m、n 是α内两条直线,且 m∥β,n∥β. A. ①② B. ② C. ③④ D. ③ )

考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:①若α⊥γ,β⊥γ,则由正方体的侧面都垂直于底面,但正方体的侧面平行 或相交, 由此知α与β平行或相交,故①不成立; ②由α内不共线的三点作平面β的垂线, 各点与垂足间线段的长度都相等,则不能判断α∥β, ∵α,β也可能相交,可以使其中两个点共线,另一点不共线, 使共线的两点在交点的同侧,另一点在异侧,此时α与β相交,故②不成立; ③若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则由平面与平面平行的判定定理知α∥β,故③成立; ④若 m、n 是α内两条直线,且 m∥β,n∥β, 若 m,n 相交,则α∥β,若 m∥n,则α不一定平行于β,故④不成立. 故选:D. 点评: 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 10.如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1、BC1 的中点,则以下结论中不成 立的是( )

A. EF 与 BB1 垂直 B. EF 与 BD 垂直 C. EF 与 CD 异面 D. EF 与 A1C1 异面 考点: 异面直线的判定. 专题: 作图题;综合题. 分析: 观察正方体的图形,连 B1C,则 B1C 交 BC1 于 F 且 F 为 BC1 中点,推出 EF∥A1C1;分析 可得答案. 解答: 解:连 B1C,则 B1C 交 BC1 于 F 且 F 为 BC1 中点,三角 形 B1AC 中 EF ,所以 EF∥平面 ABCD,而 B1B⊥面 ABCD,

所以 EF 与 BB1 垂直;又 AC⊥BD,所以 EF 与 BD 垂直,EF 与 CD 异面. 由 EF ,AC∥A1C1 得 EF∥A1C1

故选 D. 点评: 本题考查异面直线的判定,考查空间想象能力,是基础题. 二.填空题(每小题 4 分,计 28 分)

11.直线 AB、AD? α,直线 CB、CD? β,点 E∈AB,点 F∈BC,点 G∈CD,点 H∈DA,若直 线 EH∩直线 FG=M,则点 M 在 BD 上. 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 证明题. 分析: 由已知中直线 AB、AD? α,直线 CB、CD? β,可得平面α∩平面β=直线 BD,进而 由点 E∈AB,点 F∈BC,点 G∈CD,点 H∈DA,可得直线 EH? 平面α,直线 EH? 平面α,若 直线 EH∩直线 FG=M,进而由公理三,可得答案. 解答: 解:∵直线 AB、AD? α,E∈AB,H∈DA, ∴E∈α,且 H∈α,则直线 EH? α 同理可得直线直线 EH? α 又∵直线 AB、AD? α,直线 CB、CD? β, 可得α∩β=BD 若直线 EH∩直线 FG=M, 由公理三可得,M 在平面α与平面β的交线 BD 上 故答案为:BD 点评: 本题考查的知识点是平面的基本性质及推论,熟练掌握平面性质的三个公理及其推 论是解答的关键. 12.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,若过 A、C、B1 三点的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 l,则 l 与 A1C1 的位置关系是 l∥A1C1 . 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由 A1C1∥AC,得 A1C1∥平面 AB1C,平面 AB1C∩底面 A1B1C1D1=直线 l,由线面平行的性 质定理,得 l∥A1C1. 解答: 解:因为 A1C1∥AC, A1C1 不包含于平面 AB1C,AC? 平面 AB1C, 所以 A1C1∥平面 AB1C, 又因为 A1C1 在底面 A1B1C1D1 内, 平面 AB1C∩底面 A1B1C1D1=直线 l, 根据线面平行的性质定理, 得 l∥A1C1. 故答案为:l∥A1C1. 点评: 本题考查两直线的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维 能力的培养. 13.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,若 AC=BD=a,且 AC 与 BD 所成的角为 60°,则四边形 EFGH 的面积是 .

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 计算题.

分析: 先证明四边形 EFGH 为菱形,然后说明∠EFG=60°,最后根据三角形的面积公式即可 求出所求. 解答: 解:连接 EH,因为 EH 是△ABD 的中位线,所以 EH∥BD,且 EH= BD. 同理,FG∥BD,EF∥AC,且 FG= BD,EF= AC. 所以 EH∥FG,且 EH=FG. 所以四边形 EFGH 为平行四边形. 因为 AC=BD=a,AC 与 BD 所成的角为 60° 所以 EF=EH.所以四边形 EFGH 为菱形,∠EFG=60°. ∴四边形 EFGH 的面积是 2× 故答案为: × =

点评: 主要考查知识点:简单几何体和公理四,公理四:和同一条直线平行的直线平行, 证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等相等,以及面积公式属于基础 题. 14.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H 为垂足,α截球 O 所得 截面的面积为π,则球 O 的表面积为 .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 本题考查的知识点是球的表面积公式,设球的半径为 R,根据题意知由与球心距离 为 R 的平面截球所得的截面圆的面积是π,我们易求出截面圆的半径为 1,根据球心距、 截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,我们易求出该球的半径,进而求出球 的表面积. 解答: 解:设球的半径为 R,∵AH:HB=1:2,∴平面α与球心的距离为 R, ∵α截球 O 所得截面的面积为π,

∴d= R 时,r=1, 故由 R =r +d 得 R =1 +( R) ,∴R = ∴球的表面积 S=4πR = 故答案为: .
2 2 2 2 2 2 2 2



点评: 若球的截面圆半径为 r,球心距为 d,球半径为 R,则球心距、截面圆半径、球半径 构成直角三角形,满足勾股定理,即 R =r +d
2 2 2

15.如图所示,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面 直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是 90° .

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意设棱长为 a,补正三棱柱 ABC﹣A2B2C2,构造直角三角形 A2BM,解直角三角形 求出 BM,利用勾股定理求出 A2M,从而求解. 解答: 解:设棱长为 a,补正三棱柱 ABC﹣A2B2C2(如图) . 平移 AB1 至 A2B,连接 A2M,∠MBA2 即为 AB1 与 BM 所成的角, 在△A2BM 中,A2B= a,BM= = a,

A2M= ∴A2B +BM =A2M , ∴∠MBA2=90°. 故答案为 90°.
2 2 2

=

a,

点评: 此题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用,计算比较复杂,要仔细 的做. 16.已知三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥面 BCD,BC⊥CD,AB=BC=CD=1,则 BD 与平面 ACD 所成角的 大小为 30° . 考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 BD 与平面 ACD 所成角的大小. 解答: 解;如图,以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 由题意知 D(1,1,0) ,B(0,0,0) , C(1,0,0) ,A(0,0,1) , =(﹣1,﹣1,0) , =(1,0,﹣1) , =(1,1,﹣1) ,

设平面 ACD 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,

取 x=1,得



设 BD 与平面 ACD 所成角的大小为θ, sinθ=|cos< >|=| |= ,

∴θ=30°, ∴BD 与平面 ACD 所成角的大小为 30°. 故答案为:30°.

点评: 本题考查直线与平面所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向 量法的合理运用. 17.已知球面(x﹣1) +(y+2) +(z﹣3) =9 与点 A(﹣3,2,5) ,则球面上的点与点 A 的距离的最大值和最小值分别为 9,3 . 考点: 球面几何;空间两点间的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 首先判断该点是在球内部还是外部,代入 A 点坐标为 36 大于 9,所以在外部.球心 (1,﹣2,3)与 A 点距离为 6.球半径为 3.由此能求出球面上的点与点 A 的距离的最大值 和最小值. 解答: 解:把点 A(﹣3,2,5)代入球面(x﹣1) +(y+2) +(z﹣3) , 2 2 2 得(﹣3﹣1) +(2+2) +(5﹣3) =36>9, 所以点 A 在球面外部, ∵球心(1,﹣2,3)与 A 点(﹣3,2,5)距离: d= =6.球半径 R=3.
2 2 2 2 2 2

所以球面上的点与点 A 的距离的最大值是 6+3=9,最小值是 6﹣3=3. 故答案为:9,3. 点评: 本题考查球面几何的基本知识及其应用,是基础题.解题时要认真审题,注意空间 中两点间距离公式的合理运用. 三.解答题(共 5 小题,计 52 分) 18.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) (1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积.

考点: 由三视图求面积、体积;由三视图还原实物图. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)由三视图可知该几何体为棱柱,底面为直角梯形,上下底边长分别为 1 和 2, 高为 1,侧棱垂直于底面,长为 1.由此可画出直观图. (2)分别求出个面的面积,之和即为表面积; 法一:将该几何体看作一个长方体被截去一个角,而且被截去的部分为一直三棱柱,利用长 方体和棱柱的体积公式求解即可. 法二:该几何体为直四棱柱,体面为直角梯形,故利用棱柱的体积公式求解即可. 解答: 解: (1)由三视图可知该几何体为棱柱,底面为直角梯形,上下底边长分别为 1 和 2,高为 1,侧棱垂直于底面,长为 1.直观图如图所示: (2) 法一: 由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角, 且该几何体的体积是以 A1A, A1D1, A1B1 为棱的长方体的体积的 , 在直角梯形 AA1B1B 中,作 BE⊥A1B1 于 E,则 AA1EB 是正方形, ∴AA1=BE=1. 在 Rt△BEB1 中,BE=1,EB1=1, ∴BB1= . ∴几何体的表面积 S=S 正方形 AA1D1D+2S 梯形 AA1B1B+S 矩形 BB1C1C+S 正方形 ABCD+S 矩形 A1B1C1D1 =1+2× ×(1+2)×1+1× =7+ (m ) .
3 2

+1+1×2

∴几何体的体积 V= ×1×2×1= (m ) , ∴该几何体的表面积为(7+ )m ,体积为 m .
2 3

法二:几何体也可以看作是以 AA1B1B 为底面的直四棱柱,其表面积求法同法一, V 直四棱柱 D1C1CD﹣A1B1BA=Sh = ×(1+2)×1×1= (m ) .
3

∴几何体的表面积为(7+

)m ,体积为 m .

2

3

点评: 本题考查空间几何体的三视图、直观图、及几何体的表面积和体积,考查空间想象 能力和运算能力. 19.已知平面α∥β,直线 AB? β,且直线 AB∥α,求证:AB∥β. 考点: 平面与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 由平面α∥β,直线 AB? β,且直线 AB∥α,过直线 AB 作平面γ交α于 CD,交β 于 EF,知 CD∥EF,CD∥AB,故 EF∥AB,由此能够证明 AB∥β. 解答: 证明:∵平面α∥β,直线 AB? β,且直线 AB∥α, 过直线 AB 作平面γ交α于 CD,交β于 EF, ∴CD∥EF,CD∥AB, ∴EF∥AB, ∵EF? 平面β,直线 AB? β, ∴AB∥β. 点评: 本题考查平面与平面之间的位置关系和应用,是基础题,解题时要认真审题,仔细 解答,注意合理地进行等价转化. 20.如图,斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=3,AC=2,AB⊥AC,A1C1⊥BC1 侧棱与底面成 60°角. (1)求证:AC⊥平面 ABC1; (2)求证:C1 在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上; (3)求此三棱柱体积的最小值.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据棱柱的性质,我们可得 A1C1∥AC,又由已知中 A1C1⊥BC1,AB⊥AC,我们根 据线面垂直的判定定理可得 AC⊥面 ABC1;

(2)根据(1)的结论,由线面垂直的判定定理可得平面 ABC⊥平面 ABC1,在平面 ABC1 内, 过 C1 作 C1H⊥AB 于 H,则 C1H⊥平面 ABC,即 C1 点在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上; (3)连接 HC,由(2)的结论可得 C1H⊥平面 ABC,即∠C1CH 就是侧棱 CC1 与底面所成的角, 由已知中侧棱与底面成 60°角,故可得当 CH=AC 时,棱柱的体积取最小值,求出棱柱的底 面积和高,代入棱柱体积公式即可得到答案. 解答: 证明: (1)由棱柱性质,可知 A1C1∥AC,∵A1C1⊥BC1, ∴AC⊥BC1,又∵AC⊥AB,∴AC⊥平面 ABC1 (2)由(1)知 AC⊥平面 ABC1,又 AC? 平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 ABC1, 在平面 ABC1 内,过 C1 作 C1H⊥AB 于 H,则 C1H⊥平面 ABC 故点 C1 在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上. 解: (3)连接 HC,由(2)知 C1H⊥平面 ABC, ∴∠C1CH 就是侧棱 CC1 与底面所成的角, ∴∠C1CH=60°,C1H=CH? tan60°= CH V 棱柱=S△ABC? C1H= CH=3 CH

∵CA⊥AB,∴CH≥AC=2, 所以棱柱体积最小值 3 ×2=6 . 点评: 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,棱柱的体积,空间线面关系,其中熟 练掌握空间直线与平面平行或垂直的判定、性质、定义及几何特征是解答本题的关键. 21.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=2,AB=AC=1,∠BAC=90°,点 M 是 BC 的中点, 点 N 在侧棱 CC1 上,NM⊥AB1. (1)求证:平面 AB1M⊥平面 AMN; (2)求异面直线 B1N 与 AB 所成的角的正切值; (3)求二面角 A﹣B1N﹣M 的大小.

考点: 异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (1)首先证明线面垂直,进一步转化为面面垂直 (2)先找到异面直线所成角的平面角,再利用解三角形知识求解. (3)建立空间直角坐标系,利用向量知识来解决二面角问题,使用法向量是解题的关键 解答: (1)证明:在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=2,AB=AC=1,∠BAC=90°,点 M 是 BC 的中点 BB1⊥AM AM⊥BC AM⊥平面 B1BCC1

∴AM⊥MN ∵MN⊥AB1 ∴MN⊥平面 AB1M MN? 平面 AMN ∴平面 AB1M⊥平面 AMN (2)解:由(1)得:MN⊥B1M 设 CN=x 则:C1N=2﹣x

解得:x= 异面直线 B1N 与 AB 所成的角 即∠A1B1N 利用勾股定理得: tan∠A1B1N= (3)解:建立空间直角坐标系 A﹣xyz 由于 AM⊥平面 B1BCC1

设平面 AB1N 的法向量为 进一步求出:

利用 解得:



设二面角的平面角为θ cosθ= =﹣

由于二面角的大小为锐角 θ=45° 故答案为: (1)略 (2)tan∠A1B1N= (3)θ=45°

点评: 本题考查的知识点:线面垂直的判定和性质,面面垂直的判定,勾股定理得应用, 异面直线所成的角, 空间直角坐标系, 向量的数量积, 法向量, 夹角公式及相关的运算问题. 22. 如图, 在矩形 ABCD 中, , BC=3, 沿对角线 BD 将△BCD 折起, 使点 C 移到点 C′, 且 C′在平面 ABD 的射影 O 恰好在 AB 上,则以 C′,A,B,D 为顶点,构成一个四面体. (1)求证:BC′⊥面 ADC'; (2)求二面角 A﹣BC′﹣D 的正弦值; (3)求直线 AB 和平面 BC′D 所成的角的正弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 计算题;证明题;转化思想. 分析: (1)利用三垂线定理证明 DA⊥BC′,然后证明 BC′⊥面 ADC′; (2)通过 BC′⊥平面 ADC′,说明∠DC′A 是二面角 A﹣BC′﹣D 的平面角,通过△AC′D, 求二面角 A﹣BC′﹣D 的正弦值; (3)作 AM⊥DC′于 M,连接 BM,证明 AM⊥平面 BC′D,得到∠ABM 是 AB 与平面 BC′D 所成 的角,然后求直线 AB 和平面 BC'D 所成的角的正弦值. 解答: 解: (1)

…(4 分)

(2)BC′⊥平面 ADC′,C′D? 平面 ADC′,C′A? 平面 ADC′, 所以 BC′⊥C′D,BC′⊥C′A, 所以∠DC′A 是二面角 A﹣BC′﹣D 的平面角,…(6 分)



…(7 分)



.…(8 分)

(3)作 AM⊥DC′于 M,连接 BM, BC′⊥C′A,AM∩AC′=A,∴BC′⊥平面 ADC′ BC′? 平面 SDC′,∴平面 ADC′⊥平面 BDC′, 又 AM⊥DC′,DC′=平面 ADC′∩平面 BDC′, 所以 AM⊥平面 BC′D, 所以∠ABM 是 AB 与平面 BC′D 所成的角…(10 分) 在 在 (13 分) …(12 分)

点评: 本题是中档题,考查直线与平面垂直,二面角、直线与平面所成的角,考查空间想 象能力,计算能力.


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