等比数列的前n项和公式说课课件-新版


? 高中新课标教程人教A版必修五中第 2章第5节

§2.5 《等比数列的前n项和公式》

一、教材分析
教材地位、作用 教学目标 教学重点、难点

教材地位与作用
? 《等比数列的前n项和》,是在学生学习了等差数 列、等比数列的概念及通项公式,等差数列的前n 项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知 识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储 蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过 程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换 和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中 必备的数学素养.

教学目标
? 知识与技能目标: 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的 特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题. ? 过程与方法目标: 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到 一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、 比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. ? 情感、态度与价值观目标: 通过对公式推导方法的探索与发现,让学生体验数学 学习带来的自信和成功感,提高对数学的兴趣,树立学好 数学的信心。通过分类讨论的思想培养学生思维的严谨性。 通过发散思维的教学,培养学生思维灵活性。

教学重点、难点
? 等比数列前n项和公式的推导与简单应用是 教学重点。 ? 获得等比数列前n项和公式推导的思路是教 学难点。

二、教法分析:
主要采用的方法有: (1) “实例教学法”在教学中通过创设问题情景, 使学生利用已有知识和经验引出当前要学习的新 知识。 (2)“引导发现法”即通过教师的引导、启发, 调动学生参与教学活动的积极性,充分发挥教师 的主导作用和学生的主体作用。 (3)“讲练结合法”引导学生动脑、动手、动口, 使学生在开放、民主、和谐的教学氛围中获取知 识,提高能力,促进思维的发展。

三、学法分析
学生对等比数列前n项和公式的推导方 法——错位相减法比较陌生,学生思维上 存在障碍。 在本节课的教学中,引导学生开展“动脑想、 多交流、勤钻研、善提炼”的“研讨式学 习方法” 。

四、教学过程
(一)创设情景、引入新课

印度国王要奖赏国际象棋的 发明者西萨,问他有什么要 求,发明者说:“请在棋盘 的第1个格子里放1颗麦粒, 在第2个格子里放2颗麦粒, 在第3个格子里放4颗麦粒, 在第4个格子里放8颗麦粒, 依次类推,每个格子里放的 麦粒都是前一个格子里麦粒 数的2倍,直到第64个格子, 请给我足够的粮食来实现上 述要求。” 你认为国王有 能力满足发明者的上述要求 吗?

设计意图:
? 源于历史,富有人文气息. ? 图中算数,激发学习兴趣. ? 承上启下,探讨求和方法

1+ 2 + 2 + 2 + ?????? +2
2 3

63

(二)初步探索,体会方法
探讨1: S ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 263 64
有何特征? 探讨2:如果把每一项都乘以2有何变化?
让学生充分地比较,等比数列前n项和的公式推导关键是变 “加”为“减”,在教师看来这是“天经地义”的,但在学生 看来却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章, 从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机.

由刚才的分析可知:实际上就是一个以1为 首项,2为公比的等比数列的前64项的求和 问题,即:
S64
…… ? 1? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

?2 ?2
62

63



把上式左右两边同乘以2得:

2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

……

?2 ?2
63

64



由②- ①得:

S 64 ? 2 ? 1
64

(三)类比联想 推导公式
设等比数列?an ?, 首项为a1, 公比为q, 提出问题一:

如 何求其前n项和?

提出问题二:有没有其他方法推导等比数列前n项
和公式?
提出问题三: 1 ? q ) S n ? a1 ? a n q ( 能否得到
a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q

(1 ? q ) S n ? a1 (1 ? q n )或

为什么?

等比数列的求和公式
一般地,设有等比数列: a1 , a2 , a3 ,?

an ?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?? an?1 ? an qSn ? a2 ? a3 ? a4 ?an?1 ? an ? an q

?1 ? q?Sn ? a1 ? anq
? a1 ? a1q ? a1q 2 ? a 1 q 3 ? a1q n ? 2 ? a1q n ?1 Sn

qSn ?

a1q ? a1q 2 ? a1q3 ?a1q n?2 ? a1q n?1 ? a1q n

?1 ? q?Sn ? a1 ? a1q

n

等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? an?1 ? an
Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?2 ? a1qn?1
? a1 ? q(a1 ? a1q ? ?? a1q n?3 ? a1q n?2 ) ? a1 ? q ( Sn ? a1qn?1 )

?(1 ? q)Sn ? a1 ? a1qn

??

等比数列 {an } 前n项和为 Sn 公比为q 用和比定理推导

因为 所以

an a 2 a 3 a4 ? ? ? ??? ? ?q a1 a2 a3 an?1 S n ? a1 a2 ? a3 ? a4 ? ? ? ? ? an ?q ?q S n ? an a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ?1

a1 a a ? a2 ? 2 ? 1 b1 b2 b1 ? b2

n为奇数,q为 ? 1 时不适用

Sn ? ? a ? a q
na1
1 n

q ?1

1? q

q ?1

(四)基础演练, 提高认识
? 牛刀小试:
1. 口答填空: n }等比,q为公比 {a 2 1 ( )若a1 ? , q ? 则S n ? _ 1 3 3 ( 2)若a1 ? 2, q ? 1, 则S n ? _ 2.判断正误: 1 ? (1 ? 2 n ) ( )? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 11 1? 2
2 n

( 2)1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ( ?2) n ?1

1 ? 2n ? 1 ? ( ?2)

(五) 变式训练 、深化认识
例1: 求等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 前8项和; 2 4 8 16
采用变式教学设计题组, 深化学生对公式的认识 和理解,通过直接套用 公式、变式运用公式、 研究公式特点这三个层 次的问题解决,促进学 生新的数学认知结构的 形成.通过以上形式, 让全体学生都参与教学, 以此培养学生的参与意 识和竞争意识.

变式练习:
1 ,1 ,1 , 1 ,???前多少项的和是 63 ? 1、 等比数列 2 4 8 16 64
2、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , , 求第5项到第10项的和. ??? 2 4 8 16

(六)循序渐进、延伸拓展

例2:求和 1+a+a +a +?+a .
2 3 n-1

变式练习:求和 1 1 1 (1 ? ) ? (2 ? 2 ) ? ? ? (n ? n )(n ? N ? x ? 0 x x x
该题有助于培养学生对含有参数的问 题进行分类讨论的数学思想.训练学 生注意考察q是否为1的情况,突破易 错点。

(七)归纳总结、内化知识
? 等比数列前n项和求和公式。 ? 推导数列求和公式的错位相减法、提 取q法、和比定理法。

? 对含字母的等比数列要注意考察q是否 为1。

(八)作业布置 :
? 必做: P50练习A 1、2
? 选做: x ? 2x ? 3x ? ?nx ( x ? 0)
2 3 n

必做题,有助学生课后巩固提高,选 作题是注意分层教学和因材施教,让 学有余力的学生有思考的空间.

五、板书设计
§2.5等比数列的前n项和 1.公式推导 2.公式分类 3.公式运用 4.课堂小结 及课后作业

感谢各位专家和同行!


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