§3.1.1方程的根与函数的零点ppt PPT课件


问题探究
探究1:求下列一元二次方程的实数 根,画出相应二次函数的简图,并写 出函数图象与x轴交点的坐标。

(1) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

y ? x ? 2x ? 3
2

(2) x ? 2 x ? 1 ? 0
2

y ? x ? 2x ? 1
2

(3) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

y ? x ? 2x ? 3
2



x ? 2x ? 3 ? 0 ? x1 ? ?1, x2 ? 3
2



x ? 2x ?1 ? 0 ? x1 ? x2 ? 1
2



x ? 2x ? 3 ? 0
2

无实数根

y

y

y

-1 O

3

x

1
O 1

2 x
O

1
2

x

y ? x ? 2x ? 3
2

y ? x ? 2x ? 1
2

y ? x ? 2x ? 3

思考:方程根与相应函数图象有什么联系?

探究归纳

规律:
二次方程如果有实数根,那么方程 的实数根就是相应二次函数的图象与x 轴交点的横坐标。

新知学习
函数零点的概念
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 (1) 方程 f ( x) ? 0 有实数根

? ?

函数的图象与x轴有交点 函数 y ? f ( x) 有零点

(2)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标, 是实数,而不是点

探究2 如何求函数的零点?

练习1:求下列函数的零点

(1) f ( x) ? x ? 3x ? 4
2

(2) f ( x) ? log 2 x

1 方程法 2 图象法

探究3 现在有两组镜头(如图),哪 一组能说明她的行程一定曾渡河?

第1组

第2组

第1组情况,若将河流抽象成x轴,前 若所画曲线能表示为函数,设A点横坐标 后的两个位置视为A、B两点。请大家用连 为a,B点横坐标为b,问:函数的零点一定在 续不断的曲线画出她的可能路径。 区间(a,b)内?
y A b O a

x B

函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也 就是方程f(x)=0的根。 [思考] (1)如果函数的图象不是连续不断的,结论还成立? (2)若f(a)f(b)>0,函数在(a,b)一定没有零点?
y y

a

b

x

a

b

x

函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也 就是方程f(x)=0的根。 [思考] (3)函数y=f(x)在(a,b)内有零点,一定能得出f(a)f(b)<0 的结论? y

b
b b

b

b

b

bb

b bb b

0

a

x
bb

函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也 就是方程f(x)=0的根。 [思考] (4)满足定理条件时,函数在区间(a,b)上只有一个零点? (5)增加什么条件时,函数在区间(a,b)上只有一个零点? 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的

推论

一条曲线,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即
y

y

y

f(a)· f(b)<0,且是单调函数,那么,这个函数在(a,b)内必有 b b b 唯一的一个零点。 x 0 a

0

a

0

a

x

x

例1:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数. 解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表3-1和 图象3.1-3
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 y 14 表3-1

f(2)<0,f(3)>0 即f(2)· f(3)<0

12 10 8 6

函数在区间(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数,所以 它仅有一个零点。

4 2

0 -2 -4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

图3.1-3

例1:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
想一想 能否有其它方法也可得到本题结论?

将函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数转化为函数 g(x)=lnx与h(x)=-2x+6的图象交点的个数。
y
6

h(x)=-2x+6
1 0 1 2 3

g(x)=lnx x

课堂小结
(1)函数零点的概念; (2)方程的根与函数的零点; (3)函数零点的存在性定理; (4)学会函数与方程和数形结合的思想; (5)函数的零点判断方法 ①方程法 ②图象法 ③定理法

作业:P88 练习 1 、2


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